QCM : Suites numériques — 12 questions

Questions et réponses du QCM

1. Que caractérise une suite numérique ?

Une collection finie de nombres rangés selon leur valeur croissante
Une équation reliant deux nombres réels sans position numérotée
Une liste infinie de nombres ordonnée selon une logique et numérotée
Un tableau de résultats associés à des intervalles réels

Une liste infinie de nombres ordonnée selon une logique et numérotée

Explication

Une suite numérique est une liste infinie de nombres organisés selon une logique et repérés par des indices. Un ensemble fini ou une équation entre nombres ne possède pas cette structure de succession numérotée.

2. Dans la notation unu_n d’une suite, quelle distinction entre nn et unu_n est correcte ?

nn désigne la règle de calcul, tandis que unu_n désigne le premier terme
nn indique la position du terme, tandis que unu_n en indique la valeur
nn représente le terme précédent, tandis que unu_n représente le terme suivant
nn indique la valeur du terme, tandis que unu_n en indique la position

$$n$$ indique la position du terme, tandis que $$u_n$$ en indique la valeur

Explication

L’indice nn repère la position du terme dans la suite, alors que unu_n désigne le nombre situé à cette position. Confondre ces deux notations revient à prendre le rang pour la valeur.

3. Quelle forme décrit une relation explicite pour une suite ?

un+1=f(un)u_{n+1}=f(u_n), avec chaque terme obtenu du précédent
un=f(un)u_n=f(u_n), avec chaque terme déterminé par lui-même
un=f(un−1)u_n=f(u_{n-1}), avec chaque terme défini par le suivant
un=f(n)u_n=f(n), avec chaque terme calculé à partir de sa position

$$u_n=f(n)$$, avec chaque terme calculé à partir de sa position

Explication

Une relation explicite donne directement unu_n en fonction de l’indice nn, sans recourir aux termes précédents. La forme faisant intervenir unu_n pour calculer un+1u_{n+1} correspond à une relation de récurrence.

4. Quel élément est nécessaire pour définir une suite par récurrence ?

Une liste complète des termes classés dans l’ordre des indices
Une fonction définie sur un intervalle réel contenant tous les indices
Une formule directe donnant chaque terme à partir de son indice
Un premier terme et une règle reliant chaque terme au précédent

Un premier terme et une règle reliant chaque terme au précédent

Explication

Une définition par récurrence associe un terme initial à une relation permettant de calculer le terme suivant à partir du précédent. Une formule directe en fonction de l’indice relève plutôt d’une définition explicite.

5. Pour la suite définie par un=−2n+4u_n=-2n+4, quelle est la valeur de u100u_{100} ?

204204
−204-204
−196-196
196196

$$-196$$

Explication

La relation explicite permet de remplacer directement nn par 100100 : u100=−2×100+4=−196u_{100}=-2\times100+4=-196. Il n’est pas nécessaire de calculer les termes intermédiaires pour obtenir ce terme.

6. Pour la suite définie par u0=1u_0=1 et un+1=−2un+4u_{n+1}=-2u_n+4, quelle est la valeur de u3u_3 ?

−4-4
44
00
22

$$4$$

Explication

On calcule successivement u1=−2×1+4=2u_1=-2\times1+4=2, puis u2=−2×2+4=0u_2=-2\times2+4=0 et enfin u3=−2×0+4=4u_3=-2\times0+4=4. La valeur obtenue dépend donc des termes précédents calculés étape par étape.

7. Comment définit-on la représentation graphique des termes d’une suite (un)\left(u_n\right) dans un repère du plan ?

Elle est formée des points de coordonnées (un;n)(u_n;n) pour les entiers naturels nn.
Elle est formée d’une courbe passant par toutes les valeurs de unu_n.
Elle est formée des points de coordonnées (n;un)(n;u_n) pour les entiers naturels nn.
Elle est formée des points de coordonnées (n;n+un)(n;n+u_n) pour les entiers naturels nn.

Elle est formée des points de coordonnées $$(n;u_n)$$ pour les entiers naturels $$n$$.

Explication

Chaque terme unu_n est représenté par le point dont l’abscisse est nn et l’ordonnée est unu_n. L’inversion des coordonnées ne respecte pas la définition, tandis qu’une courbe continue correspond plutôt à une fonction définie sur un intervalle.

8. Pourquoi les points représentant les termes d’une suite ne sont-ils pas reliés dans le repère ?

Parce qu’une suite est définie sur les entiers naturels, qui forment un ensemble discret.
Parce qu’une suite ne possède pas de valeurs positives entre deux indices consécutifs.
Parce que les coordonnées des points d’une suite sont toujours des nombres entiers.
Parce qu’une suite est représentée par une fonction continue sur chaque intervalle.

Parce qu’une suite est définie sur les entiers naturels, qui forment un ensemble discret.

Explication

Les indices d’une suite sont des entiers naturels, et il n’existe donc pas de termes correspondant aux valeurs intermédiaires entre deux indices. Relier les points suggérerait à tort une définition sur un intervalle continu.

9. Quelle condition caractérise une suite (un)\left(u_n\right) croissante ?

Pour tout entier naturel nn, on a un+1=unu_{n+1}=u_n.
Pour tout entier naturel nn, on a un+1≤unu_{n+1}\leq u_n.
Pour tout entier naturel nn, on a un+1>unu_{n+1}>u_n.
Pour tout entier naturel nn, on a un+1≥unu_{n+1}\geq u_n.

Pour tout entier naturel $$n$$, on a $$u_{n+1}\geq u_n$$.

Explication

Une suite croissante vérifie que chaque terme est supérieur ou égal au précédent, ce qui autorise aussi des termes consécutifs égaux. L’inégalité inverse caractérise une suite décroissante, tandis que l’inégalité stricte impose une croissance stricte.

10. Quelle condition caractérise une suite (un)\left(u_n\right) décroissante ?

Pour tout entier naturel nn, on a un+1≤unu_{n+1}\leq u_n.
Pour tout entier naturel nn, on a un+1=un+1u_{n+1}=u_n+1.
Pour tout entier naturel nn, on a un+1<unu_{n+1}<u_n.
Pour tout entier naturel nn, on a un+1≥unu_{n+1}\geq u_n.

Pour tout entier naturel $$n$$, on a $$u_{n+1}\leq u_n$$.

Explication

Une suite décroissante vérifie que chaque terme est inférieur ou égal au précédent, y compris lorsque deux termes consécutifs sont égaux. La comparaison opposée décrit une suite croissante, et l’inégalité stricte correspond à une décroissance stricte.

11. Pour générer dans un tableur une suite récurrente dont le terme initial est placé en B2, quelle organisation convient ?

Placer les indices en ligne 2, saisir en B3 une formule indépendante du terme précédent, puis étirer cette formule vers la droite.
Placer les indices en colonne A, saisir en B3 une formule dépendant de B2, puis étirer cette formule vers le bas.
Placer les indices en colonne A, saisir en B2 une formule dépendant directement de l’indice, puis étirer cette formule vers le bas.
Placer les indices en colonne B, saisir en A2 une formule dépendant de l’indice, puis étirer cette formule vers la droite.

Placer les indices en colonne A, saisir en B3 une formule dépendant de B2, puis étirer cette formule vers le bas.

Explication

Dans une suite récurrente, chaque nouveau terme se calcule à partir du terme précédent : la formule de B3 dépend donc de B2, puis elle est recopiée vers le bas. Une formule dépendant directement de l’indice correspond au calcul explicite.

12. Quelle procédure Python calcule une suite récurrente en répétant la relation uk+1=−2uk+4u_{k+1}=-2u_k+4 pendant nn étapes, avec u0=1u_0=1 ?

Initialiser uu à 00, répéter nn fois u=−2u+4u=-2u+4, puis renvoyer uu.
Initialiser uu à 11, calculer u=−2n+4u=-2n+4, puis renvoyer uu.
Initialiser uu à 11, répéter nn fois u=2u−4u=2u-4, puis renvoyer uu.
Initialiser uu à 11, répéter nn fois u=−2u+4u=-2u+4, puis renvoyer uu.

Initialiser $$u$$ à $$1$$, répéter $$n$$ fois $$u=-2u+4$$, puis renvoyer $$u$$.

Explication

Le calcul récurrent commence avec la valeur initiale u0=1u_0=1 et applique la mise à jour u=−2u+4u=-2u+4 à chaque étape. L’expression −2n+4-2n+4 donne un calcul explicite, tandis qu’une autre initialisation ou une autre mise à jour modifie la suite.

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Qu'est-ce qu'une suite numérique ?

Une liste infinie de nombres suivant une logique et numérotés.

À quoi correspond l'indice n dans une suite (uₙ) ?

À la position du terme dans la suite.

Que désigne uₙ dans une suite (uₙ) ?

La valeur du nombre situé à l'indice n.

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