Fiche de révision : Nombres et géométrie en sixième

📋 Plan du Cours

1. Nombres entiers et ordre
2. Vocabulaire des éléments géométriques
3. Opérations sur les nombres entiers
4. Durées et calculs horaires
5. Segments et vocabulaire du cercle
6. Fractions et nombres quotients
7. Droites perpendiculaires et parallèles
8. Médiatrice d’un segment
9. Écritures et repérage décimaux
10. Comparer et arrondir les décimaux
11. Scratch et déplacements
12. Ordres de grandeur
13. Ordres de grandeur et calculs décimaux
14. Multiplications et divisions décimales
15. Longueurs, masses et capacités
16. Priorités et division décimale
17. Périmètres et aires
18. Tableaux et graphiques statistiques
19. Symétrie axiale
20. Axes de symétrie des figures
21. Solides et perspective cavalière
22. Volumes et capacités

📖 1. Nombres entiers et ordre

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier : Nombre constitué d’un ou plusieurs chiffres et ne comportant pas de virgule.
• Demi-droite graduée : Demi-droite qui possède une origine zéro, un sens indiqué par une flèche et une unité de longueur fixée permettant de la graduer.
• Comparer deux nombres : Déterminer si le premier nombre est inférieur, supérieur ou égal au second.
• Ordre croissant : Ranger des nombres dans l’ordre croissant consiste à les écrire du plus petit au plus grand en les séparant par le symbole <.
• Intercaler un nombre : Intercaler un nombre entre deux nombres donnés consiste à placer ce nombre entre les deux nombres donnés.

★ À maîtriser

📌 Dans un nombre écrit en toutes lettres, mille est invariable, tandis que million et milliard prennent un s au pluriel.

📌 Cent et vingt prennent un s au pluriel seulement lorsqu’ils ne sont suivis d’aucun mot-nombre ; les mots million et milliard ne comptent pas comme mots-nombres pour cette règle.

• Sur une demi-droite graduée, chaque point est représenté par un nombre appelé son abscisse, et chaque nombre correspond à un point unique.

Compléments

• Les dix chiffres sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 et 9.

• Pour trouver le nombre de centaines d’un entier, on prend tous les chiffres depuis le premier jusqu’au chiffre des centaines inclus.

• Les tirets se placent entre chaque mot-nombre dans l’écriture d’un nombre en lettres.

• 🔄 Pour déterminer la valeur d’une graduation inconnue :

  1. Calculer la différence entre deux graduations connues.
  2. Compter les intervalles qui les séparent.
  3. Diviser la différence par le nombre d’intervalles.

📖 2. Vocabulaire des éléments géométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Droite : La droite passant par A et B se note (AB) ou (BA) ; lorsqu’elle est désignée par une lettre minuscule, elle se note par exemple (d).
• Demi-droite : La demi-droite d’origine C passant par D se note [CD) ; l’ordre des lettres ne peut pas être inversé.
• Segment : Le segment joignant F et G se note [FG] ou [GF].
• Polygone : Figure fermée dont les côtés sont des segments.

📝 Points essentiels

• Le symbole ∈ signifie « appartient à » et le symbole ∉ signifie « n’appartient pas à » ; des points appartenant à une même droite sont alignés.

• Les polygones à 3 côtés sont des triangles, ceux à 4 des quadrilatères, ceux à 5 des pentagones, ceux à 6 des hexagones et ceux à 8 des octogones.

📖 3. Opérations sur les nombres entiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme : La somme est le résultat d’une addition, et les nombres additionnés sont appelés les termes.
• Produit : Le produit est le résultat d’une multiplication, et les nombres multipliés sont appelés les facteurs.
• Division euclidienne : Déterminer le quotient entier et le reste de la division de g par p.
• Multiple : Si un nombre g se trouve dans la table de multiplication d’un nombre p, alors g est un multiple de p et p est un diviseur de g.
• Différence : La différence est le résultat d’une soustraction, et les nombres utilisés sont appelés les termes.

★ À maîtriser

📌 On peut échanger les termes d’une addition sans modifier son résultat, mais on ne peut pas appliquer cette propriété à une soustraction.

📌 On peut échanger l’ordre des facteurs d’un produit sans modifier son résultat.

📐 Formule - Dans une division euclidienne, $\text{dividende} = \text{diviseur} \times \text{quotient} + \text{reste}$.

📌 Un nombre est divisible par 2 s’il se termine par 0, 2, 4, 6 ou 8, par 3 ou 9 si la somme de ses chiffres est divisible respectivement par 3 ou 9, par 4 si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par 4, par 5 s’il se termine par 0 ou 5, et par 10 s’il se termine par 0.

Compléments

📌 Pour poser une addition ou une soustraction de nombres entiers, on aligne les nombres par la droite.

• 🔄 Pour poser une multiplication sans virgule :

  1. Aligner les nombres à droite.
  2. Multiplier le premier facteur par chaque chiffre du second en commençant par la droite.
  3. Additionner les produits intermédiaires.

• La division euclidienne de 2 023 par 5 donne un quotient de 404 et un reste de 3, soit 2 023 = 5 × 404 + 3.

📖 4. Durées et calculs horaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Durée : Une durée s’exprime en secondes, notées s, ou dans d’autres unités comme le dixième de seconde, la minute et l’heure.

★ À maîtriser

• Pour trouver une heure de fin à partir de l’heure de début et de la durée, on additionne la durée à l’heure de début.

• Pour trouver une durée à partir de l’heure de début et de l’heure de fin, on soustrait l’heure de début de l’heure de fin.

Compléments

• Un élève arrivé à 8 h 32 et reparti à 16 h 07 est resté au collège 7 h 35 min.

💡 Astuce mémo

Début + durée → fin ; fin − début → durée ; fin − durée → début.

📖 5. Segments et vocabulaire du cercle

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur d’un segment : La longueur du segment [AB] est la distance entre les points A et B et se note AB, sans crochets.
• Milieu d’un segment : Le milieu d’un segment est l’unique point du segment équidistant de ses extrémités ; si M est le milieu de [AB], alors AM = MB.
• Cercle : Ensemble des points situés à la même distance du centre O.
• Diamètre : Corde qui passe par le centre du cercle.
• Corde : Segment dont les extrémités sont deux points du cercle.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le diamètre D d’un cercle vaut deux fois son rayon R : $D = 2 \times R$, et son rayon vaut la moitié du diamètre : $R = D \div 2$.

Compléments

• Le codage de longueur sur une figure sert à repérer les segments de même longueur.

📌 Un point M appartient au cercle de centre O et de rayon r si et seulement si OM = r.

💡 Astuce mémo

Le rayon peut désigner le segment [OM] ou sa longueur OM.

📖 6. Fractions et nombres quotients

🔑 Notions clés & Définitions

• Fraction de l’unité : Part obtenue lorsqu’une unité est partagée en parts égales.
• Numérateur : Dans une fraction, le numérateur indique combien de parts sont prises et le dénominateur indique en combien de parts égales l’unité est partagée.
• Fraction quotient : La fraction F sur p est le nombre qui, multiplié par p, donne F ; elle est égale au quotient F ÷ p.

★ À maîtriser

📌 Une fraction est inférieure à 1 si son numérateur est inférieur à son dénominateur, supérieure à 1 s’il lui est supérieur, et égale à 1 s’ils sont égaux.

• Pour décomposer une fraction ou l’encadrer à l’unité, on effectue la division euclidienne du numérateur par le dénominateur ; le quotient donne la partie entière, et le reste donne le numérateur de la fraction restante.

• Pour placer une fraction sur une demi-droite graduée, on divise chaque unité de longueur en autant de parts égales que le dénominateur, puis on compte les graduations selon le numérateur à partir de zéro.

Compléments

📌 Une écriture sans virgule au numérateur ni au dénominateur est une fraction ; si une virgule apparaît au numérateur ou au dénominateur, l’écriture est un quotient ou une écriture fractionnaire.

• La fraction 3/5 est égale à 3 ÷ 5 et vaut 0,6, tandis que 3/4 vaut 0,75.

• Des fractions différentes peuvent représenter le même nombre, par exemple 4/5 = 16/20 = 0,8.

• Certaines fractions ont une écriture décimale exacte, comme 3/4 = 0,75, 1/2 = 0,5 et 3/5 = 0,6, tandis que d’autres n’en ont pas, comme 1/3 ≈ 0,33 et 6/7 ≈ 0,86.

• Pour écrire un nombre décimal sous forme de fraction décimale, on place au numérateur le nombre sans virgule et au dénominateur 1 suivi d’autant de zéros qu’il y a de chiffres après la virgule.

• La division de 23 par 9 donne un quotient de 2 et un reste de 5, donc 23/9 = 2 + 5/9 et 2 < 23/9 < 3.

• Pour lire l’abscisse fractionnaire d’un point, le nombre de subdivisions de l’unité donne le dénominateur et la graduation du point donne le numérateur.

• La calculatrice peut afficher le résultat d’une fraction sous forme fractionnaire simplifiée ou, après commande, sous forme décimale approchée.

📖 7. Droites perpendiculaires et parallèles

🔑 Notions clés & Définitions

• Droites perpendiculaires : Deux droites perpendiculaires sont sécantes et se coupent en formant quatre angles droits égaux de 90° ; on note leur relation $(d) \perp (d')$ sans espace entre les délimiteurs mathématiques.
• Droites parallèles : Deux droites sont parallèles lorsqu’elles ne sont pas sécantes ; on note leur relation $(d) // (d')$.

★ À maîtriser

• Pour construire la perpendiculaire à une droite (d) passant par A, on pose un côté de l’angle droit de l’équerre sur (d), l’autre sur A, puis on trace la droite en la prolongeant de l’autre côté de (d).

• Le segment perpendiculaire entre un point et une droite donne la plus courte distance entre ce point et cette droite.

📌 Deux droites sont soit parallèles, soit sécantes ; deux droites sécantes sont soit perpendiculaires, soit non perpendiculaires.

Compléments

• Au collège, un seul angle droit est codé pour deux droites perpendiculaires, ce qui permet quatre codages différents.

• 🔄 La construction à la règle et à l’équerre se fait ainsi :

  1. Placer l’équerre comme pour construire la perpendiculaire à (d) passant par A.
  2. Appuyer la règle contre le côté de l’équerre qui touche A et la maintenir.
  3. Faire glisser l’équerre le long de la règle jusqu’à ce que l’angle droit touche A.
  4. Maintenir l’équerre, retirer la règle, puis tracer la parallèle en la prolongeant.

• Il n’existe pas de codage officiel des droites parallèles ; leur parallélisme doit donc être indiqué dans l’énoncé.

💡 Astuce mémo

La perpendiculaire forme un angle droit ; la parallèle ne coupe pas.

📖 8. Médiatrice d’un segment

🔑 Notions clés & Définitions

• Médiatrice : La droite perpendiculaire à ce segment et passant par son milieu.

★ À maîtriser

• Pour construire au compas la médiatrice de [AB], on choisit une ouverture supérieure à la moitié de AB, on trace deux arcs de cercle de chaque côté depuis B, on recommence depuis A sans changer l’ouverture, puis on relie les deux points d’intersection des arcs.

Compléments

📌 Le codage d’une médiatrice doit montrer l’angle droit et l’égalité des deux longueurs découpées par le milieu.

• Une droite perpendiculaire à [MM′] et passant par son milieu est la médiatrice de [MM′] ; si elle est aussi perpendiculaire à [AB] et passe par son milieu, elle est également la médiatrice de [AB].

📖 9. Écritures et repérage décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Dixième : Un dixième est une des 10 parts égales obtenues en partageant une unité ; $\frac{1}{10}=0{,}1$ et $1=\frac{10}{10}$.
• Centième : Un centième est une des 100 parts égales obtenues en partageant une unité ; $\frac{1}{100}=0{,}01$ et $1=\frac{100}{100}$.
• Fraction décimale : Une fraction décimale est une fraction dont le numérateur est un entier et dont le dénominateur est 1, 10, 100, 1 000 ou une autre puissance de 10.
• Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction décimale ; son écriture décimale comporte une partie entière avant la virgule et une partie décimale après la virgule.
• Millième : Un millième est une des 1 000 parts égales obtenues en partageant une unité ; $\frac{1}{1\,000}=0{,}001$ et $1=\frac{1\,000}{1\,000}$.

★ À maîtriser

• Un nombre décimal peut avoir les écritures suivantes :

  • Une décomposition selon les rangs des chiffres.
  • Une fraction décimale.
  • Une somme d’un entier et d’une fraction décimale.
  • Une fraction simplifiée.
  • Une somme d’un entier et d’une fraction inférieure à 1.
  • Une écriture en toutes lettres.

• Sur une demi-droite graduée, si l’unité est partagée en 10 parts, on compte de 0,1 en 0,1 ; en 5 parts, de 0,2 en 0,2 ; en 4 parts, de 0,25 en 0,25 ; et en 2 parts, de 0,5 en 0,5.

Compléments

• Dans l’écriture décimale, le premier chiffre après la virgule indique les dixièmes, le deuxième les centièmes et le troisième les millièmes.

• Pour trouver le nombre de centièmes d’un nombre, on le place dans le tableau de numération, on barre les chiffres à droite des centièmes, puis on enlève la virgule ; la même méthode s’applique à un autre rang en adaptant la coupure.

📌 Dans un nombre décimal, on peut supprimer les zéros au début de la partie entière et ceux à la fin de la partie décimale sans changer sa valeur.

• Le nombre 170,616 s’écrit $170{,}616=1\times100+7\times10+0+\frac{6}{10}+\frac{1}{100}+\frac{6}{1\,000}=\frac{170\,616}{1\,000}=170+\frac{616}{1\,000}=\frac{21\,327}{125}=170+\frac{77}{125}$ et se lit « cent-soixante-dix unités et six-cent-seize millièmes ».

📌 Dans les nombres écrits en toutes lettres, « cent » à partir de 200 et « vingt » pour 80 prennent un s au pluriel uniquement lorsqu’ils ne sont suivis d’aucun autre mot-nombre.

📖 10. Comparer et arrondir les décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrondir un nombre : Arrondir un nombre consiste à lui donner une valeur proche afin de limiter le nombre de chiffres après la virgule.
• Ordre croissant : Ranger des nombres dans l’ordre croissant consiste à les écrire du plus petit au plus grand ; l’ordre décroissant les écrit du plus grand au plus petit.
• Encadrement : Encadrer un nombre consiste à trouver deux nombres, l’un inférieur et l’autre supérieur au nombre donné ; la différence entre ces deux bornes est l’amplitude de l’encadrement.

★ À maîtriser

• 🔄 La comparaison se fait ainsi :

  1. Comparer les parties entières si elles sont différentes.
  2. Si elles sont égales, ajouter des zéros pour égaliser le nombre de chiffres après la virgule.
  3. Comparer les parties décimales.

• Pour arrondir au dixième, on barre les chiffres après le chiffre des dixièmes ; si le premier chiffre barré est 0, 1, 2, 3 ou 4, on conserve les dixièmes, et s’il est 5, 6, 7, 8 ou 9, on augmente leur chiffre de 1.

Compléments

• Pour comparer 98,2 et 98,14, on écrit 98,20 et 98,14 ; comme 20 est supérieur à 14, on obtient 98,2 > 98,14.

📌 Un résultat arrondi doit être précédé du symbole ≈, qui signifie « environ égal à ».

📌 Pour une valeur approchée par défaut, on choisit le nombre inférieur ; pour une valeur approchée par excès, on choisit le nombre supérieur.

💡 Astuce mémo

Comparer les parties entières, puis aligner les décimales ; pour arrondir, regarder le premier chiffre barré.

📖 11. Scratch et déplacements

★ À maîtriser

• Dans Scratch, les blocs sont assemblés par glisser-déposer, le code est visuel et l’absence de syntaxe à saisir facilite la prise en main ; les scripts peuvent démarrer à la suite d’un événement et les objets peuvent communiquer par messages.

• Dans un déplacement absolu sur une grille, les directions Scratch sont 0° vers le haut, 90° vers la droite, 180° vers le bas et −90° vers la gauche ; le bloc « s’orienter à » permet de choisir la direction.

📌 Un déplacement absolu suit une direction fixe (nord, sud, est ou ouest), tandis qu’un déplacement relatif avance ou tourne en fonction de l’orientation actuelle.

Compléments

• Scratch est un logiciel libre et gratuit conçu pour initier les élèves dès 8 ans à des concepts fondamentaux en informatique au moyen de programmes créés avec des blocs de commande.

• Scratch permet notamment de travailler :

  • Les boucles.
  • Les tests.
  • Les affectations de variables.
  • La manipulation d’objets.
  • Les sons et les vidéos.

• Dans Scratch, la zone de scripts accueille les blocs empilés, la scène montre l’exécution, le lutin est le personnage auquel on attribue un script et l’arrière-plan est l’image placée derrière lui.

• Les instructions de déplacement relatif signifient :

  • A : avancer d’une case dans la direction de la flèche.
  • D : se déplacer d’une case vers la droite par rapport à la flèche.
  • G : se déplacer d’une case vers la gauche par rapport à la flèche.

• Dans Scratch, le bloc « répéter 4 fois », associé à « avancer de 10 » et « tourner de 90 degrés », permet de tracer un carré de côté 10 pas.

💡 Astuce mémo

Absolu : s’orienter ; relatif : tourner.

📖 12. Ordres de grandeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre de grandeur : Un ordre de grandeur d’une opération s’obtient en remplaçant les nombres par des nombres proches et plus simples pour calculer mentalement une valeur proche du résultat exact.

📝 Points essentiels

• Pour estimer 198 + 303,2, on remplace 198 par 200 et 303,2 par 300 ; l’ordre de grandeur est alors 500, tandis que le résultat exact est 501,2.

• Les ordres de grandeur s’appliquent aux quatre opérations et aux nombres isolés, et servent notamment à estimer une vitesse moyenne à partir de valeurs arrondies.

📖 13. Ordres de grandeur et calculs décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre de grandeur : Valeur obtenue en remplaçant les nombres d’une opération par des nombres proches et plus simples afin d’effectuer un calcul mental donnant une valeur proche, mais pas nécessairement égale, au résultat exact.

📝 Points essentiels

• Pour estimer 198 + 303,2, on remplace les termes par 200 et 300, ce qui donne environ 500, tandis que le résultat exact est 501,2.

• Pour estimer la vitesse du record du marathon de Paris de Kenenisa Bekele, battu en 2014 en 2 h 05 min 03 s, on assimile 42,195 km à 40 km et la durée à 2 h, soit environ 20 km/h ; le calcul exact indiqué est 20,2455018 km/h.

• Les ordres de grandeur s’appliquent aux quatre opérations et aux nombres isolés, servent notamment à vérifier la place de la virgule dans un calcul posé et sont utiles en sciences et en calcul mental.

📖 14. Multiplications et divisions décimales

★ À maîtriser

• Pour additionner ou soustraire des nombres décimaux posés en colonnes, on aligne les virgules plutôt que les nombres à droite.

• Multiplier un nombre par 10, 100 ou 1 000 décale ses chiffres respectivement d’un, deux ou trois rangs vers la gauche.

• Diviser un nombre par 10, 100 ou 1 000 décale ses chiffres respectivement d’un, deux ou trois rangs vers la droite.

• Pour multiplier deux nombres décimaux, on calcule les produits intermédiaires comme si les facteurs étaient entiers, on les additionne, puis on place la virgule au produit afin qu’il ait autant de chiffres décimaux que les deux facteurs réunis.

Compléments

• Un nombre entier possède une virgule cachée à la fin, par exemple 25 = 25,0.

📌 Avant de poser une soustraction, on égalise le nombre de chiffres après la virgule en ajoutant si nécessaire des zéros, par exemple 12,10 − 6,70 = 5,40.

📌 Multiplier un nombre par 0,1, 0,01 ou 0,001 revient à le diviser respectivement par 10, 100 ou 1 000.

• Le produit 20 × 0,8 vaut 16, qui est inférieur à 20 ; une multiplication par un nombre décimal inférieur à 1 ne donne donc pas nécessairement un résultat supérieur.

💡 Astuce mémo

Multiplier décale à gauche ; diviser décale à droite.

📖 15. Longueurs, masses et capacités

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur : Mesure la distance entre deux points précis et s’exprime en mètres, notés m.
• Masse : Permet de peser un objet et s’exprime en grammes, notés g.
• Capacité : Mesure la quantité de liquide qu’un objet peut contenir et s’exprime en litres, notés L.

📝 Points essentiels

• Les unités de longueur vont du kilomètre au millimètre, celles de masse du kilogramme au milligramme et celles de capacité du kilolitre au millilitre, selon les préfixes kilo, hecto, déca, unité principale, déci, centi et milli.

📌 La masse mesure la quantité de matière d’un objet, tandis que le poids correspond à la force d’attraction gravitationnelle exercée sur cet objet.

📖 16. Priorités et division décimale

🔑 Notions clés & Définitions

• Division décimale : Division de deux nombres pour déterminer combien de fois l’un peut être contenu dans l’autre ; elle correspond à une division avec virgule.

★ À maîtriser

📌 Dans un calcul, on effectue d’abord les opérations entre parenthèses, puis les multiplications et divisions, et enfin les additions et soustractions.

📌 Dans une division, le dividende et le diviseur ne sont pas interchangeables : 4 ÷ 2 = 2, alors que 2 ÷ 4 = 0,5.

• Pour poser une division décimale, on abaisse tous les chiffres, on place la virgule au quotient après avoir abaissé le premier chiffre de la partie décimale, puis on poursuit jusqu’à obtenir un reste nul ou à retrouver le reste de référence.

📌 Pour convertir entre deux unités d’aire immédiatement voisines, on multiplie ou divise par 100, contrairement aux unités de longueur pour lesquelles le facteur est 10.

Compléments

• Dans 4 × 5 + 3, la multiplication est prioritaire : le résultat est 20 + 3 = 23.

📌 Un reste nul signifie que le quotient est exact ; retrouver le reste de référence signifie que les chiffres du quotient se répètent à l’infini et qu’il faut arrondir selon la consigne.

• La division 123,4 ÷ 7 produit un quotient périodique : 17,6285714285714… ; l’affichage de la calculatrice peut arrondir le dernier chiffre affiché.

📌 Dans un tableau de conversion des unités d’aire, la virgule doit être placée à la fin de la colonne de l’unité visée.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → multiplications et divisions → additions et soustractions.

📖 17. Périmètres et aires

🔑 Notions clés & Définitions

• Hauteur relative à un côté : La hauteur relative à [BC] dans un triangle est la droite passant par le sommet opposé A et perpendiculaire à (BC).

★ À maîtriser

📐 Formule - Le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ est $P=2(L+\ell)=2L+2\ell$.

📐 Formule - Le périmètre d’un cercle de rayon R est $P=2\pi R$, avec $\pi\approx3{,}14$.

📐 Formule - L’aire d’un rectangle de longueur L et de largeur ℓ est $A=L\times\ell$.

📐 Formule - L’aire d’un disque de rayon R est $A=\pi R^2$.

📐 Formule - L’aire d’un triangle de base b et de hauteur h est $A=\frac{b\times h}{2}$.

Compléments

📐 Formule - Le périmètre d’un carré de côté c est $P=4c$.

📐 Formule - Le périmètre d’un losange de côté c est $P=4c$.

📌 Pour calculer le périmètre d’une figure autre que celles couvertes par une formule spécifique, on additionne les mesures de ses côtés.

📐 Formule - L’aire d’un carré de côté c est $A=c\times c$.

• Un triangle possède trois hauteurs, ce qui permet d’appliquer sa formule d’aire en choisissant chacune de ses bases possibles.

📌 Pour calculer l’aire d’un disque, le rayon doit être déterminé avant d’utiliser la formule ; si le diamètre est donné, le rayon est sa moitié.

📖 18. Tableaux et graphiques statistiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Tableau d’effectifs : Tableau qui organise et regroupe des données en comptant le nombre de fois où chaque valeur apparaît.
• Graphique cartésien : Représentation d’une grandeur en fonction d’une autre à l’aide d’une courbe.
• Diagramme en bâtons : Diagramme où la hauteur de chaque bâton est proportionnelle à l’effectif de la valeur représentée.
• Diagramme circulaire : Représentation où chaque valeur est une part de disque ou de demi-disque proportionnelle à son effectif.
• Tableau à double entrée : Tableau qui présente deux grandeurs, par exemple les pays et les types de médailles.

📝 Points essentiels

📌 Dans un diagramme en bâtons, les bâtons sont séparés et leur largeur est sans importance, tandis que dans un histogramme, les bâtons sont accolés.

📌 Un graphique doit comporter un titre et identifier ses différentes parties pour être compris sans le tableau d’effectifs.

• Pour construire un diagramme circulaire, on complète le tableau avec les angles et le total, on trace un cercle et un premier rayon, puis on construit successivement les angles des catégories à partir des rayons obtenus, on vérifie l’angle restant et on identifie les parts avec une légende et un titre.

📖 19. Symétrie axiale

🔑 Notions clés & Définitions

• Symétrie axiale : Deux figures distinctes qui se superposent par pliage selon une droite.

★ À maîtriser

• Pour construire le symétrique A′ d’un point A par rapport à une droite (d), on trace par A la perpendiculaire à (d), on reporte de l’autre côté de (d) la distance de A à cette droite, puis on marque A′ et on code les longueurs égales et l’angle droit.

• La symétrie axiale conserve :

  • Les distances.
  • Les angles.
  • L’alignement.
  • Les aires.

Compléments

• Le symétrique d’un segment se construit en construisant les symétriques de ses extrémités puis en les reliant ; celui d’une droite se construit à partir de deux points de cette droite ; celui d’un cercle se construit en symétrisant son centre et en reportant son rayon.

📖 20. Axes de symétrie des figures

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe de symétrie : Droite selon laquelle le pliage superpose une figure à elle-même.

★ À maîtriser

📌 Un point situé sur la médiatrice d’un segment est à égale distance de ses extrémités, et tout point équidistant de celles-ci appartient à la médiatrice.

• Un rectangle possède deux axes de symétrie : les médiatrices de ses côtés ; ses diagonales ne sont pas des axes de symétrie.

Compléments

• Un segment [AB] possède deux axes de symétrie : la droite (AB) et la médiatrice de [AB].

• Un triangle isocèle possède un seul axe de symétrie, la médiatrice de sa base, qui est aussi la bissectrice de son angle principal.

• Un triangle équilatéral possède trois axes de symétrie, qui sont les médiatrices de ses côtés et les bissectrices de ses angles.

• Dans un triangle isocèle, les angles à la base ont la même mesure.

• Dans un triangle équilatéral, tous les angles mesurent 60°.

• Un losange possède deux axes de symétrie, ses diagonales, qui sont aussi les bissectrices de ses angles.

• Un carré possède quatre axes de symétrie : ses diagonales et les médiatrices de ses côtés.

• Dans un rectangle, les diagonales ont la même longueur et se coupent en leur milieu.

• Dans un losange, les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en leur milieu.

• Dans un carré, les diagonales sont perpendiculaires, de même longueur et se coupent en leur milieu.

📖 21. Solides et perspective cavalière

🔑 Notions clés & Définitions

• Parallélépipède : Solide dont les faces sont des rectangles superposables deux à deux ; les faces se rencontrent selon des arêtes, qui se rencontrent aux sommets.
• Perspective cavalière : Technique de représentation d’un solide sur un support plat où la face avant est en grandeur réelle ou à l’échelle, les droites parallèles restent parallèles et les arêtes cachées sont en pointillés.
• Patron d’un solide : Figure plane qui, après découpage et pliage, permet d’obtenir le solide ; elle correspond au solide déplié.

★ À maîtriser

📌 Une figure plane est en deux dimensions, tandis qu’un solide de l’espace est un objet en trois dimensions.

Compléments

• Un cube est un parallélépipède dont toutes les faces sont des carrés.

• Les solides à connaître sont :

  • Le cube.
  • Le pavé droit.
  • Le prisme.
  • Le cylindre.
  • La pyramide.
  • Le cône.
  • La boule ou la sphère.

• Le patron d’un pavé droit comprend six faces rectangulaires qui vont par deux, et un même parallélépipède peut avoir plusieurs patrons.

📖 22. Volumes et capacités

🔑 Notions clés & Définitions

• Volume : Mesure de l’espace contenu dans un solide.
• Centimètre cube : Volume d’un cube de 1 cm de côté.

★ À maîtriser

• Un cube de 1 dm de côté contient 1 000 cubes de 1 cm de côté, donc 1 dm³ = 1 000 cm³.

• Un décimètre cube équivaut à un litre : 1 dm³ = 1 L.

📐 Formule - Le volume d’un cube de côté c est $V=c\times c\times c$.

📐 Formule - Le volume d’un pavé droit de longueur L, de largeur ℓ et de hauteur h est $V=L\times\ell\times h$.

Compléments

📌 Dans un tableau de conversion des volumes, la virgule doit arriver à la fin de la colonne de l’unité choisie, tandis que les colonnes de capacité ne sont pas divisées.

• Une boîte de 17 cm sur 11 cm sur 5,5 cm a un volume de 1 028,5 cm³, soit 1,0285 dm³.