Fiche de révision : Raisonnement et théorie des ensembles

📋 Plan du Cours

1. Connecteurs logiques
2. Quantificateur universel
3. Négation des propositions
4. Méthodes de raisonnement
5. Notions fondamentales sur les ensembles
6. Opérations sur les ensembles
7. Applications et fonctions réciproques
8. Sommes, produits et factorielles
9. Cardinal et unions d’ensembles
10. Listes, arrangements et permutations
11. Combinaisons et relations de Pascal
12. Binôme de Newton et parties
13. Droite réelle et valeur absolue
14. Bornes et extrema des ensembles
15. Premières opérations sur les complexes
16. Conjugué et module complexes
17. Module et géométrie complexe
18. Équations du second degré complexes
19. Arguments et forme trigonométrique
20. Calculs trigonométriques et exponentiels
21. Linéarisation et forme amplitude-phase
22. Définition et opérations sur les polynômes
23. Degré et division euclidienne
24. Racines et multiplicités
25. Factorisation et polynômes irréductibles

📖 1. Connecteurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition mathématique : Énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse.
• Conjonction : La conjonction P ∧ Q est vraie si et seulement si P et Q sont toutes les deux vraies.
• Disjonction : La disjonction P ∨ Q est vraie lorsqu'au moins l'une des deux propositions est vraie.
• Implication : L'implication P ⇒ Q est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse, et elle est équivalente à ¬P ∨ Q.
• Équivalence : L'équivalence P ⇔ Q est vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité et traduit les deux implications P ⇒ Q et Q ⇒ P.
• Négation : La négation ¬P est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

📝 Points essentiels

📌 Dans l'implication P ⇒ Q, P est une condition suffisante pour Q et Q est une condition nécessaire pour P.

📌 Dans une équivalence P ⇔ Q, P est une condition nécessaire et suffisante pour Q.

📖 2. Quantificateur universel

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantificateur universel : Le quantificateur universel ∀ se lit « pour tout » ou « quel que soit »; ∀x ∈ E, P(x) signifie que P(x) est vraie pour tous les éléments x de E.
• Quantificateur existentiel : Noté ∃, signifie qu'il existe au moins un élément de l'ensemble considéré pour lequel la propriété est vraie.
• Réciproque : L'implication Q ⇒ P, obtenue en échangeant l'hypothèse et la conclusion.
• Contraposée : L'implication ¬Q ⇒ ¬P.
• Quantificateur d'unicité : Noté ∃!, signifie qu'il existe un unique élément de l'ensemble considéré vérifiant la propriété.

★ À maîtriser

• Une implication et sa contraposée ont toujours la même valeur de vérité.

Compléments

• Les tables de vérité utilisent V pour une proposition vraie et F pour une proposition fausse; elles déterminent la valeur de vérité d'une proposition composée selon celles de ses constituants.

• Une implication et sa réciproque n'ont pas forcément la même valeur de vérité.

📖 3. Négation des propositions

🔑 Notions clés & Définitions

• Négation : Notée ¬P, est vraie lorsque P est fausse et fausse lorsque P est vraie.

★ À maîtriser

• Les lois de De Morgan sont $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$ et $\neg(P \lor Q) \Leftrightarrow (\neg P) \land (\neg Q)$.

• La négation d'une proposition universelle vérifie $\neg(\forall x \in E,\ P(x)) \Leftrightarrow \exists x \in E,\ \neg P(x)$.

• La négation d'une implication vérifie $\neg(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \land \neg Q$.

Compléments

• La négation de la négation vérifie $\neg(\neg P) \Leftrightarrow P$.

• La négation d'une proposition existentielle vérifie $\neg(\exists x \in E,\ P(x)) \Leftrightarrow \forall x \in E,\ \neg P(x)$.

📖 4. Méthodes de raisonnement

🔑 Notions clés & Définitions

• Contre-exemple : Le raisonnement par contre-exemple sert à montrer qu'une proposition est fausse.

★ À maîtriser

• Le raisonnement direct démontre P ⇒ Q en supposant P vraie, en enchaînant des arguments logiques, puis en établissant Q.

• Le raisonnement par disjonction de cas démontre une propriété sur E en partageant E en cas distincts, puis en prouvant la propriété dans chacun d'eux.

• Le raisonnement par analyse-synthèse recherche d'abord les conditions nécessaires d'une solution, puis vérifie que les solutions potentielles obtenues satisfont le problème initial.

• Le raisonnement par récurrence établit une propriété pour tout entier n ≥ n₀ en vérifiant l'initialisation P(n₀), puis l'hérédité P(n) ⇒ P(n + 1).

• Le raisonnement par l'absurde suppose fausse la proposition à démontrer, puis montre que cette hypothèse conduit à une contradiction pour conclure que la proposition est vraie.

📌 Pour réfuter une proposition universelle de la forme ∀x ∈ E, P(x), il suffit de trouver un élément a ∈ E tel que P(a) soit fausse.

Compléments

• Le raisonnement par contraposée démontre P ⇒ Q en établissant l'implication équivalente ¬Q ⇒ ¬P.

📖 5. Notions fondamentales sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Collection d’objets appelés éléments, généralement désignée par une lettre majuscule et dont les éléments sont désignés par des lettres minuscules.
• Appartenance : Un élément x appartient à un ensemble E lorsque x en est un élément, ce qui se note x ∈ E ; s’il n’en est pas un élément, on note x ∉ E.
• Inclusion : Un ensemble A est inclus dans B, noté A ⊂ B, lorsque tous les éléments de A appartiennent aussi à B, soit ∀x ∈ A, x ∈ B.
• Égalité d’ensembles : Deux ensembles A et B sont égaux s’ils possèdent exactement les mêmes éléments, ce qui équivaut à A ⊂ B et B ⊂ A.
• Produit cartésien : Le produit cartésien E × F est l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F ; lorsque E = F, on note E × E = E².
• Ensemble vide : Ensemble qui ne contient aucun élément.
• Intervalle : Un intervalle est un ensemble de nombres réels compris entre deux bornes ; par exemple, [1, 3] = {x ∈ ℝ ; 1 ≤ x ≤ 3}.
• Ensemble de points : Un ensemble de points du plan peut être décrit par E = {(x, y) ∈ ℝ² | P(x, y)}, où P(x, y) est une propriété commune aux coordonnées de ses points.

📝 Points essentiels

📌 Un ensemble peut être défini en extension en énumérant ses éléments, ou en compréhension en décrivant la propriété caractérisant ses éléments.

• Pour tout ensemble A, A ⊂ A et ∅ ⊂ A ; si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C.

📖 6. Opérations sur les ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Union : L’union A ∪ B est l’ensemble des éléments appartenant à A ou à B, c’est-à-dire x ∈ A ∪ B ⇔ (x ∈ A) ou (x ∈ B).
• Intersection : L’intersection A ∩ B est l’ensemble des éléments appartenant à la fois à A et à B, c’est-à-dire x ∈ A ∩ B ⇔ (x ∈ A) et (x ∈ B).
• Ensembles disjoints : Deux ensembles A et B sont disjoints lorsqu’ils n’ont aucun élément en commun, soit A ∩ B = ∅.
• Différence d’ensembles : La différence A \ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B, soit x ∈ A \ B ⇔ (x ∈ A) et (x ∉ B).
• Complémentaire : Le complémentaire de A dans E, noté Aᶜ, est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

★ À maîtriser

• Les distributivités sont A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) et A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).

• Les lois de De Morgan sont (A ∪ B)ᶜ = Aᶜ ∩ Bᶜ et (A ∩ B)ᶜ = Aᶜ ∪ Bᶜ.

Compléments

• A ⊂ A ∪ B et B ⊂ A ∪ B : l’union contient chacun des deux ensembles.

• A ∩ B ⊂ A et A ∩ B ⊂ B.

• L’union et l’intersection sont associatives : (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C) et (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C).

💡 Astuce mémo

L’union rassemble les éléments de A ou B ; l’intersection ne garde que ceux de A et B.

📖 7. Applications et fonctions réciproques

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application f de E dans F associe à chaque élément x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F ; E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.
• Application injective : Une application f : E → F est injective si, pour tous x₁, x₂ ∈ E, f(x₁) = f(x₂) implique x₁ = x₂ ; chaque élément de F a alors au plus un antécédent.
• Application surjective : Une application f : E → F est surjective si tout y ∈ F possède au moins un antécédent x ∈ E tel que f(x) = y.
• Application bijective : Une application f : E → F est bijective si chaque élément de F possède un unique antécédent dans E ; cela équivaut à dire que f est injective et surjective.
• Image directe : Pour A ⊂ E, l’image directe f(A) est l’ensemble des images des éléments de A : f(A) = {f(x) | x ∈ A}.
• Image réciproque : Pour B ⊂ F, l’image réciproque f⁻¹(B) est l’ensemble des éléments x ∈ E tels que f(x) ∈ B.
• Application réciproque : Si f : E → F est bijective, son application réciproque f⁻¹ : F → E associe à chaque y ∈ F son unique antécédent par f, avec f⁻¹(y) = x ⇔ f(x) = y.

★ À maîtriser

📌 Si des applications $f:E\to F$ et $g:F\to E$ vérifient $g\circ f=\mathrm{Id}_E$ et $f\circ g=\mathrm{Id}_F$, alors $f$ est bijective et $g=f^{-1}$.

Compléments

• Une application f : E → F est surjective si et seulement si f(E) = F.

• Pour une application bijective f : E → F, f⁻¹ ∘ f = IdE et f ∘ f⁻¹ = IdF.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un ; bijective : un unique.

📖 8. Sommes, produits et factorielles

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme finie : La somme des termes $u_k$ pour $k$ allant de $p$ à $n$, avec $p\le n$, s’écrit $\sum_{k=p}^{n}u_k=u_p+u_{p+1}+\cdots+u_n$.
• Factorielle : Pour $n\ge1$, la factorielle de $n$ est $n!=\prod_{k=1}^{n}k=1\times2\times\cdots\times n$, et par convention $0!=1$.
• Produit fini : Le produit des termes $u_k$ pour $k$ allant de $p$ à $n$, avec $p\le n$, s’écrit $\prod_{k=p}^{n}u_k=u_p\times u_{p+1}\times\cdots\times u_n$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme est linéaire : $\sum_{k=m}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=m}^{n}u_k+\sum_{k=m}^{n}v_k$ et $\sum_{k=m}^{n}\lambda u_k=\lambda\sum_{k=m}^{n}u_k$.

📐 Formule - Les sommes usuelles sont $\sum_{k=1}^{n}1=n,\quad \sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\quad \sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad \sum_{k=0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ pour $n\ge1$.

📐 Formule - Pour $q\ne1$, $\sum_{k=0}^{n}q^k=\frac{1-q^{n+1}}{1-q}$ et, pour $p\le n$, $\sum_{k=p}^{n}q^k=q^p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$ ; si $q=1$, $\sum_{k=p}^{n}q^k=n-p+1$.

Compléments

• Dans une somme ou un produit fini, l’indice est une variable muette, l’ordre des termes ne change pas la valeur et, de $m$ à $n$ inclus, il y a $n-m+1$ termes.

📐 Formule - La relation de Chasles donne, pour $m\le p<n$, $\sum_{k=m}^{n}u_k=\sum_{k=m}^{p}u_k+\sum_{k=p+1}^{n}u_k$.

📐 Formule - Pour tout entier naturel $n\ge1$, la factorielle vérifie $n!=n\times(n-1)!$.

📖 9. Cardinal et unions d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Cardinal : Un ensemble fini est vide ou peut être mis en bijection avec $\{1{,}2,\ldots,n\}$ pour un entier naturel non nul $n$ ; cet entier est son cardinal, noté $\operatorname{Card}(E)$ ou $|E|$, et $|\varnothing|=0$.

★ À maîtriser

📌 Si $A$ et $B$ sont des ensembles finis disjoints, alors $|A\cup B|=|A|+|B|$.

📐 Formule - Pour deux ensembles finis quelconques, $|A\cup B|=|A|+|B|-|A\cap B|$.

📐 Formule - Pour deux ensembles finis A et B, le produit cartésien A × B est fini et vérifie $|A \times B|=|A|\times|B|$.

Compléments

📌 Si $A\subseteq B$ et $B$ est fini, alors $A$ est fini, $|A|\le|B|$ et $|B\setminus A|=|B|-|A|$.

📐 Formule - Pour des ensembles finis A_1, A_2, …, A_n, le cardinal de leur produit cartésien est $|A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n|=|A_1|\times|A_2|\times\cdots\times|A_n|$.

📖 10. Listes, arrangements et permutations

🔑 Notions clés & Définitions

• Liste : p-uplet (x_1, x_2, …, x_p) dont chaque terme appartient à E.
• Arrangement : Choix de p éléments distincts en tenant compte de l’ordre.
• Permutation : Arrangement de ses n éléments, c’est-à-dire un classement de tous ses éléments en tenant compte de l’ordre.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Si E est un ensemble de cardinal n, le nombre de listes de longueur p formées avec ses éléments est $|E|^p=n^p$.

📐 Formule - Le nombre d’arrangements de p éléments parmi n vaut $A_n^p=n(n-1)(n-2)\cdots(n-p+1)=\frac{n!}{(n-p)!}$, avec $A_n^0=1$ par convention.

📐 Formule - Le nombre de permutations d’un ensemble de cardinal n est $P_n=n!$.

💡 Astuce mémo

Les listes autorisent les répétitions ; les arrangements imposent des éléments distincts.

📖 11. Combinaisons et relations de Pascal

🔑 Notions clés & Définitions

• Combinaison : Partie de E comportant p éléments, sans tenir compte de leur ordre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre de combinaisons de p éléments parmi n, appelé coefficient binomial et noté $\binom{n}{p}$ ou $C_n^p$, vaut $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$ pour 0 ≤ p ≤ n.

📐 Formule - Pour 0 ≤ p ≤ n, les coefficients binomiaux vérifient la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$.

📐 Formule - Pour n,p ∈ ℕ* tels que p<n, la relation de Pascal est $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1}$.

Compléments

• Pour tout entier naturel n, $\binom{n}{0}=1$ et $\binom{n}{n}=1$ ; si p>n, alors $\binom{n}{p}=0$.

• Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang n contient, dans l’ordre, $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$, et le coefficient en ligne n et colonne k est $\binom{n}{k}$.

📐 Formule - Pour des ensembles finis A, B et C, $|A\cup B\cup C|=|A|+|B|+|C|-|A\cap B|-|A\cap C|-|B\cap C|+|A\cap B\cap C|$.

💡 Astuce mémo

Dans le triangle de Pascal, chaque nombre intérieur est la somme des deux nombres juste au-dessus.

📖 12. Binôme de Newton et parties

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble des parties : Ensemble constitué de tous les sous-ensembles de E.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour a,b∈ℝ et n∈ℕ, la formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Compléments

• Les coefficients du développement de $(a+b)^n$ sont les coefficients binomiaux de la ligne de rang n du triangle de Pascal.

📐 Formule - Pour n∈ℕ*, $\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}2^k=3^n$.

• Si E={a,b,c}, alors 𝒫(E)={∅,{a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}} et |𝒫(E)|=8.

📖 13. Droite réelle et valeur absolue

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue de x, notée |x|, vaut x si x ≥ 0 et −x si x < 0 ; elle représente la distance entre x et 0 sur la droite réelle.
• Partie entière : La partie entière de x, notée E(x), est l'unique entier relatif vérifiant E(x) ≤ x < E(x)+1 ; c'est le plus grand entier relatif inférieur ou égal à x.

★ À maîtriser

📌 Pour r ≥ 0, |x| ≤ r équivaut à −r ≤ x ≤ r, tandis que |x| ≥ r équivaut à x ≤ −r ou x ≥ r.

📌 Pour a ∈ ℝ et r ≥ 0, |x−a| représente la distance entre x et a ; |x−a| ≤ r équivaut à a−r ≤ x ≤ a+r, et |x−a| ≥ r équivaut à x ≤ a−r ou x ≥ a+r.

📐 Formule - Pour tous réels x et y, $|x+y| \le |x|+|y|$ ; cette inégalité triangulaire exprime que la distance directe ne dépasse pas la longueur d'un chemin passant par un point intermédiaire.

📌 Pour tout entier n, E(x)=n si et seulement si n ≤ x < n+1, c'est-à-dire si x appartient à [n,n+1[.

Compléments

• La droite réelle est une droite graduée qui associe à chaque réel un unique point et réciproquement, et a ≤ b si et seulement si le point de a est à gauche de celui de b.

• Pour tous réels x et y, |x| ≥ 0, |x| = 0 si et seulement si x = 0, |−x| = |x| et |xy| = |x||y| ; si y ≠ 0, |x/y| = |x|/|y|.

📌 Pour tout réel x, x−1 < E(x) ≤ x.

💡 Astuce mémo

Sur la droite, |x−a| est la longueur du segment entre a et x.

📖 14. Bornes et extrema des ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble majoré : Une partie A de ℝ est majorée s'il existe un réel M tel que tout x ∈ A vérifie x ≤ M ; M est alors un majorant de A.
• Maximum et minimum : Le maximum de A, noté max(A), est un élément M ∈ A tel que tout x ∈ A vérifie x ≤ M ; le minimum min(A) est un élément m ∈ A tel que tout x ∈ A vérifie m ≤ x.
• Borne supérieure et borne inférieure : La borne supérieure sup(A) est le plus petit des majorants de A, et la borne inférieure inf(A) est le plus grand des minorants de A.
• Ensemble minoré : Une partie A de ℝ est minorée s'il existe un réel m tel que tout x ∈ A vérifie m ≤ x ; m est alors un minorant de A.
• Ensemble borné : Une partie de ℝ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

📝 Points essentiels

📌 Si A possède un maximum, alors max(A)=sup(A) ; si A possède un minimum, alors min(A)=inf(A).

💡 Astuce mémo

Un majorant peut être hors de A ; un maximum doit appartenir à A.

📖 15. Premières opérations sur les complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Unité imaginaire : L'unité imaginaire i vérifie i²=−1 et permet d'introduire les nombres complexes pour étendre ℝ, notamment afin de résoudre des équations comme x²=−1.
• Forme algébrique : Tout nombre complexe z s'écrit de manière unique sous la forme z=a+ib, où a et b sont réels ; cette écriture est sa forme algébrique.
• Partie réelle et partie imaginaire : Pour z=a+ib, la partie réelle Re(z) vaut a et la partie imaginaire Im(z) vaut b ; z est réel si b=0 et imaginaire pur si a=0.
• Conjugué : Le conjugué du nombre complexe z=a+ib est le nombre complexe \overline{z}=a−ib.

★ À maîtriser

📌 Deux nombres complexes a+ib et c+id sont égaux si et seulement si a=c et b=d ; un complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont nulles.

📐 Formule - Pour tout nombre complexe non nul $z=a+ib$, son inverse est $\frac{1}{z}=\frac{\overline z}{z\overline z}=\frac{a-ib}{a^2+b^2}$.

📐 Formule - Pour $z_1\in\mathbb C$ et $z_2\in\mathbb C^*$, le quotient vérifie $\frac{z_1}{z_2}=z_1\frac{1}{z_2}$.

Compléments

• Le point image du complexe z=a+ib dans un repère orthonormé a pour coordonnées (a,b) ; les points images de z et de son conjugué sont symétriques par rapport à l'axe réel.

📐 Formule - Pour z₁=a+ib et z₂=c+id, $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$.

📌 L'opposé de z=a+ib est −z=−a−ib et vérifie z+(−z)=0 ; la différence de z₁=a+ib et z₂=c+id vaut (a−c)+i(b−d).

📐 Formule - Si $z_1=a+ib$ et $z_2=c+id$ avec $z_2\ne0$, alors $\frac{z_1}{z_2}=\frac{(a+ib)(c-id)}{c^2+d^2}$.

📖 16. Conjugué et module complexes

★ À maîtriser

• Pour tous nombres complexes $z,z'$, le conjugué d'une somme est la somme des conjugués, celui d'une différence est la différence des conjugués et celui d'un produit est le produit des conjugués.

📐 Formule - Pour tout nombre complexe $z=a+ib$, $z\overline z=a^2+b^2$ est un nombre réel.

Compléments

📐 Formule - Pour tout nombre complexe $z=a+ib$, $z+\overline z=2a=2\operatorname{Re}(z)$ et $z-\overline z=2ib=2i\operatorname{Im}(z)$.

📌 Un nombre complexe est réel si et seulement s’il est égal à son conjugué, et il est imaginaire pur si et seulement si son conjugué est son opposé.

📖 17. Module et géométrie complexe

🔑 Notions clés & Définitions

• Module d’un nombre complexe : Le module d’un nombre complexe $z=a+ib$, noté $|z|$, est le réel positif $\sqrt{a^2+b^2}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $M$ est le point image de $z$ dans le plan complexe, alors $|z|=OM$.

📐 Formule - Pour tous $z,z'\in\mathbb C$ et tout $n\in\mathbb N$, $|z|\geq0$, $|z|=0\Longleftrightarrow z=0$, $|\overline z|=|z|$, $|zz'|=|z||z'|$, $|z^n|=|z|^n$ et, si $z'\ne0$, $\left|\frac{z}{z'}\right|=\frac{|z|}{|z'|}$.

• Si $M$ et $N$ ont pour affixes respectives $z$ et $z'$, alors la distance $MN$ vaut $|z-z'|$.

Compléments

• Dans le plan complexe, l’ensemble des points dont l’affixe $z$ vérifie $|z|=1$ est le cercle de centre l’origine et de rayon 1.

📌 Pour tous nombres complexes $z,z'$, l’inégalité triangulaire donne $|z+z'|\leq|z|+|z'|$.

💡 Astuce mémo

Le module est la longueur du segment reliant l’origine au point image.

📖 18. Équations du second degré complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée d’un nombre complexe : Une racine carrée d’un nombre complexe $a$ est un nombre complexe $w$ tel que $w^2=a$.
• Discriminant complexe : Pour l’équation $az^2+bz+c=0$ avec $a,b,c\in\mathbb C$ et $a\ne0$, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$.

★ À maîtriser

• Pour déterminer les racines carrées de $z=a+ib$, on écrit $w=x+iy$ et on impose $x^2-y^2=a$, $2xy=b$ et $x^2+y^2=|z|$.

📐 Formule - Si $\delta$ est une racine carrée du discriminant $\Delta$, les solutions de $az^2+bz+c=0$ sont $z_1=\frac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\delta}{2a}$.

• La résolution d’une équation du second degré à coefficients complexes se ramène à la détermination d’une racine carrée de son discriminant.

Compléments

📐 Formule - Le système de détermination des racines carrées de $z=a+ib$ donne $x^2=\frac{|z|+a}{2}$ et $y^2=\frac{|z|-a}{2}$.

• Les deux racines carrées d’un nombre complexe sont opposées l’une de l’autre, et le signe de $xy$ est déterminé par $2xy=b$.

📐 Formule - Si $a,b,c\in\mathbb R$ et $\Delta=b^2-4ac<0$, une racine carrée de $\Delta$ est $i\sqrt{|\Delta|}$.

• Lorsque les coefficients réels d’une équation du second degré donnent un discriminant négatif, ses deux solutions complexes sont conjuguées l’une de l’autre.

📖 19. Arguments et forme trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Argument : Une mesure, modulo 2π, de l’angle orienté entre l’axe réel positif et la demi-droite reliant l’origine au point d’affixe z.

★ À maîtriser

• Si θ est un argument de z, tous ses arguments sont de la forme θ + 2kπ, avec k ∈ ℤ, et l’on écrit arg(z) ≡ θ (mod 2π).

📐 Formule - Pour z = x + iy ≠ 0, un argument θ vérifie $\cos\theta=\frac{x}{|z|},\qquad \sin\theta=\frac{y}{|z|}$; son identification tient compte des signes de x et y.

• Tout nombre complexe non nul s’écrit sous la forme trigonométrique $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, où r = |z| > 0 et θ est un argument de z.

Compléments

📌 Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et des arguments congrus modulo 2π.

• Le nombre complexe 0 n’a pas d’argument défini.

📖 20. Calculs trigonométriques et exponentiels

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme exponentielle : La forme exponentielle d’un nombre complexe non nul est $z=re^{i\theta}$, où r=|z|>0 et θ est un argument de z; on note $e^{i\theta}=\cos\theta+i\sin\theta$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour z,z′ ≠ 0, $\arg(zz')\equiv\arg(z)+\arg(z')\pmod{2\pi},\qquad \arg\!\left(\frac{z}{z'}\right)\equiv\arg(z)-\arg(z')\pmod{2\pi}.$

📐 Formule - Pour tout entier n et tout réel θ, la formule de Moivre est $(\cos\theta+i\sin\theta)^n=\cos(n\theta)+i\sin(n\theta).$

📐 Formule - Les formules d’Euler donnent $\cos\theta=\frac{e^{i\theta}+e^{-i\theta}}{2},\qquad \sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}.$

Compléments

📐 Formule - Pour z ≠ 0 et n ∈ ℤ, $\arg(z^n)\equiv n\arg(z)\pmod{2\pi}.$

📐 Formule - Si z=r(\cos\theta+i\sin\theta), alors pour tout entier n, $z^n=r^n(\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)).$

📐 Formule - Pour tous réels a et b et tout entier n, $e^{ia}e^{ib}=e^{i(a+b)},\qquad \frac{e^{ia}}{e^{ib}}=e^{i(a-b)},\qquad (e^{ia})^n=e^{ina},\qquad e^{-ia}=\frac{1}{e^{ia}}.$

📖 21. Linéarisation et forme amplitude-phase

🔑 Notions clés & Définitions

• Amplitude : L’amplitude A de la forme A cos(t−φ) associée à a cos t+b sin t est $A=\sqrt{a^2+b^2}$.
• Phase : La phase φ de la forme A cos(t−φ) associée à a cos t+b sin t est un argument du nombre complexe a+ib.

★ À maîtriser

• La linéarisation par les formules d’Euler consiste à remplacer sinus et cosinus par leurs expressions exponentielles, développer et réduire avec les règles sur les exponentielles, regrouper les termes en exponentielles opposées, puis revenir aux fonctions trigonométriques.

📐 Formule - Pour a²+b²>0, $a\cos t+b\sin t=A\cos(t-\varphi),\qquad A=\sqrt{a^2+b^2},$ où φ est un argument de a+ib.

Compléments

• La linéarisation transforme des produits ou des puissances trigonométriques en sommes de sinus et de cosinus d’angles multiples, ce qui permet notamment de ramener des intégrales trigonométriques à des primitives usuelles.

📐 Formule - Pour α ≠ 0, $\int\cos(\alpha x)\,dx=\frac{1}{\alpha}\sin(\alpha x)+C,\qquad \int\sin(\alpha x)\,dx=-\frac{1}{\alpha}\cos(\alpha x)+C.$

📖 22. Définition et opérations sur les polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Une racine n-ième d’un nombre complexe z est un nombre complexe w tel que $w^n=z$, où n est un entier naturel non nul.
• Racine n-ième de l’unité : Une racine n-ième de l’unité est une solution complexe de l’équation $z^n=1$.
• Polynôme : Un polynôme à coefficients dans K, où K = ℝ ou ℂ, est une expression de la forme $P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ avec des coefficients $a_k\in K$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les n racines n-ièmes de l’unité sont $z_k=e^{i\frac{2k\pi}{n}},\qquad k=0,\ldots,n-1,$ et leurs points sont régulièrement répartis sur le cercle unité.

• Pour trouver les racines n-ièmes d’un complexe non nul écrit z=re^{i\theta}, on pose w=\rho e^{i\varphi} et l’équation wⁿ=z impose ρ=ⁿ√r et φ=(θ+2kπ)/n, pour k=0,…,n−1.

• La somme de deux polynômes s’obtient en regroupant les termes de même degré, et leur produit en développant puis en regroupant les termes de même degré.

📐 Formule - Deux polynômes $P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ et $Q(X)=\sum_{k=0}^{n}b_kX^k$ sont égaux si et seulement si $a_k=b_k$ pour tout $k\in\{0,\ldots,n\}$.

Compléments

• Dans un polynôme, les nombres $a_k$ sont les coefficients, les expressions $a_kX^k$ sont les monômes et, si $a_k\ne 0$, l’entier k est le degré du monôme $a_kX^k$.

📐 Formule - Pour $P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$, la dérivée est $P'(X)=a_1+2a_2X+\cdots+na_nX^{n-1}$.

📖 23. Degré et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Degré : Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand entier k dont le coefficient est non nul ; par convention, le degré du polynôme nul est $-\infty$.
• Division euclidienne : Pour des polynômes P et D avec $D\ne 0$, il existe un unique couple de polynômes (Q,R) tel que $P=DQ+R$ et $\deg(R)<\deg(D)$ ou $R=0$ ; Q est le quotient et R le reste.
• Divisibilité : Pour des polynômes P et D avec $D\ne 0$, D divise P s’il existe un polynôme Q tel que $P=DQ$ ; dans ce cas, P est un multiple de D.
• Polynôme unitaire : Un polynôme non nul est unitaire lorsque son coefficient dominant vaut 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux polynômes non nuls P et Q, $\deg(P+Q)\leq\max(\deg(P),\deg(Q))$, avec égalité lorsque leurs degrés diffèrent, et $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

Compléments

📐 Formule - Pour un polynôme P et un scalaire λ, $\deg(\lambda P)=\deg(P)$ si $\lambda\ne 0$ et $\deg(\lambda P)=-\infty$ si $\lambda=0$ ; de plus, $\deg(P')\leq\deg(P)-1$, avec égalité si $\deg(P)>0$.

• Pour diviser un polynôme P par D, on ordonne les polynômes selon les puissances décroissantes, on divise le terme dominant du dividende par celui du diviseur, on multiplie le diviseur par le terme obtenu et on soustrait, puis on recommence jusqu’à obtenir un reste nul ou de degré inférieur à celui du diviseur.

📌 Un polynôme D non nul divise P si et seulement si le reste de la division euclidienne de P par D est nul.

💡 Astuce mémo

Ordonner, diviser les termes dominants, soustraire, puis recommencer jusqu’au reste.

📖 24. Racines et multiplicités

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine : Un élément a de K est une racine d’un polynôme P si $P(a)=0$.
• Multiplicité d’une racine : Pour un polynôme non nul P ayant a pour racine, la multiplicité de a est le plus grand entier positif m tel que $(X-a)^m$ divise P ; une racine de multiplicité 1 est simple, de multiplicité 2 est double et de multiplicité 3 est triple.

★ À maîtriser

📌 Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines distinctes dans K ; s’il en admet n, il s’écrit $P(X)=a\prod_{k=1}^{n}(X-x_k)$ avec $a\ne 0$.

Compléments

📌 Pour un polynôme non nul P, a est une racine de multiplicité m si et seulement si $P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0$ et $P^{(m)}(a)\ne 0$.

📌 Si un polynôme à coefficients réels possède une racine complexe non réelle α, alors le conjugué de α est également une racine.

📖 25. Factorisation et polynômes irréductibles

★ À maîtriser

• Les polynômes irréductibles de ℂ[X] sont exactement les polynômes de degré 1, et tout polynôme non constant de ℂ[X] se factorise en facteurs de degré 1.

• Les polynômes irréductibles de ℝ[X] sont les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 dont le discriminant est strictement négatif.

Compléments

📐 Formule - Tout polynôme réel non constant s’écrit $P(X)=a\prod_{i=1}^{r}(X-\alpha_i)\prod_{j=1}^{s}(X^2+b_jX+c_j)$ avec $a\in\mathbb{R}^*$ et $b_j^2-4c_j<0$.

📌 Pour des réels S et P, les réels u et v vérifient $u+v=S$ et $uv=P$ si et seulement s’ils sont les racines de $Q(X)=X^2-SX+P$.

💡 Astuce mémo

Dans ℂ, les irréductibles sont linéaires ; dans ℝ, certains quadratiques restent irréductibles.

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des applications

Polynômes irréductibles selon le corps