QCM : Raisonnement et théorie des ensembles (86 questions)

Explication

Une proposition, ou assertion, est un énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse. Un connecteur sert à combiner des propositions, une valeur de vérité est le résultat de leur évaluation, et une équivalence est un connecteur particulier.

Explication

Une conjonction est vraie si et seulement si ses deux propositions sont vraies; ici Q est fausse, donc P ∧ Q est fausse. La disjonction demande qu’au moins une proposition soit vraie, tandis que la valeur d’une conjonction dépend des deux propositions.

Explication

La disjonction est vraie lorsqu’au moins l’une des propositions est vraie; Q étant vraie, P ∨ Q est vraie. La conjonction exigerait que les deux propositions soient vraies, et la fausseté des deux propositions rendrait la disjonction fausse.

Explication

L’implication P ⇒ Q est fausse lorsque l’hypothèse P est vraie et que la conclusion Q est fausse; dans les autres combinaisons, elle est vraie. Inverser P et Q ou appliquer la règle de la conjonction conduit à une autre condition.

Explication

Le quantificateur universel ∀ signifie « pour tout » et affirme ici que P(x) est vraie pour chaque élément de E. ∃ signifie qu’au moins un élément convient, tandis que ∃! indique qu’il y en a un seul.

Explication

Le quantificateur existentiel ∃ affirme qu’il existe au moins un élément de E pour lequel P(x) est vraie. ∀ impose que tous les éléments conviennent, tandis que ∃! ajoute une exigence d’unicité.

Explication

La réciproque de P ⇒ Q s’obtient en échangeant l’hypothèse et la conclusion : elle est donc Q ⇒ P. La forme « si le nombre n’est pas pair, alors il n’est pas divisible par 4 » est la contraposée, et non la réciproque.

Explication

Une implication et sa contraposée ¬Q ⇒ ¬P ont toujours la même valeur de vérité. La réciproque Q ⇒ P n’est pas forcément équivalente à l’implication initiale; l’inversion des négations ou l’affirmation d’une équivalence complète ne découle pas non plus de sa seule vérité.

Explication

La négation prend la valeur de vérité opposée à celle de $P$ : elle est donc vraie lorsque $P$ est fausse. « Elle est fausse » conserve la valeur initiale, tandis que les autres réponses ne décrivent pas cette inversion.

Explication

La loi de De Morgan transforme la négation d’une conjonction en une disjonction des négations : $\neg(P \land Q) \Leftrightarrow (\neg P) \lor (\neg Q)$. La conjonction des négations nie trop fortement les cas où une seule proposition est fausse.

Explication

La négation d’une affirmation universelle signifie qu’il existe au moins un élément pour lequel la propriété échoue. $\forall x \in E,\ \neg P(x)$ nie trop largement en exigeant l’échec pour chaque élément.

Explication

Une implication est fausse dans le cas où son hypothèse est vraie et sa conclusion fausse, d’où $\neg(P \Rightarrow Q) \Leftrightarrow P \land \neg Q$. Les expressions avec $\neg P$ n’activent pas le cas où l’implication échoue.

Explication

Le raisonnement direct part de l’hypothèse $P$ et enchaîne des arguments jusqu’à établir $Q$. La contradiction, la disjonction de cas et la récurrence sont des méthodes distinctes.

Explication

L’analyse-synthèse comporte une recherche de conditions nécessaires, puis une vérification que les solutions potentielles obtenues satisfont le problème initial. Déduire des conditions nécessaires ne suffit pas, à lui seul, à garantir qu’elles sont suffisantes.

Explication

La récurrence exige une initialisation au rang $n_0$ et une étape d’hérédité allant de $P(n)$ à $P(n+1)$. Sans l’initialisation, la chaîne de déductions ne démarre pas.

Explication

Une affirmation universelle est réfutée par un seul contre-exemple appartenant à son domaine : il suffit de trouver $a \in E$ tel que $P(a)$ soit fausse. Un élément où $P(a)$ est vraie ne contredit pas l’affirmation.

Explication

La convention générale désigne l’ensemble par une lettre majuscule et ses éléments par des lettres minuscules. L’inversion des lettres confond les rôles, et les deux autres réponses emploient une même casse pour les deux.

Explication

Le symbole $\notin$ indique que l’objet considéré n’est pas un élément de l’ensemble. $\in$ affirme au contraire l’appartenance, tandis que les deux autres écritures confondent l’ordre des objets ou l’appartenance avec l’inclusion.

Explication

Tous les éléments de $A$, soit $2$ et $4$, appartiennent à $B$; donc $A\subset B$. L’égalité néglige les éléments supplémentaires de $B$, l’inclusion inverse échoue, et $A\in B$ traite à tort un ensemble comme un élément.

Explication

Deux ensembles sont égaux lorsque chacun est inclus dans l’autre, ce qui garantit qu’ils ont exactement les mêmes éléments. Une seule inclusion n’exclut pas des éléments supplémentaires, tandis que l’intersection vide et l’appartenance ne caractérisent pas l’égalité.

Explication

L’union rassemble les éléments qui appartiennent à $A$ ou à $B$, en ne comptant pas deux fois l’élément commun $3$. $\{3\}$ correspond à l’intersection, $\{1,5\}$ oublie les éléments de $B$, et $2$ n’appartient à aucun des deux ensembles.

Explication

L’intersection contient les éléments présents à la fois dans $A$ et dans $B$, ici $b$ et $c$. L’ensemble de quatre éléments applique la règle de l’union; les ensembles $\{a\}$ et $\{d\}$ ne contiennent que des éléments propres à un seul des deux ensembles.

Explication

La distributivité donne $A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)$. L’expression avec deux unions correspond à l’autre loi de distributivité, l’intersection entre les termes change l’opération, et le dernier terme omet l’intersection avec $A$.

Explication

La loi de De Morgan donne $(A\cup B)^c=A^c\cap B^c$ : le complémentaire d’une union est l’intersection des complémentaire. $A^c\cup B^c$ correspond à la loi pour le complémentaire d’une intersection, tandis que les autres écritures omettent ou modifient un complémentaire.

Explication

Une application attribue à chaque élément de l’ensemble de départ un et un seul élément de l’ensemble d’arrivée. Plusieurs éléments de départ peuvent toutefois avoir la même image, et certains éléments d’arrivée peuvent n’avoir aucun antécédent.

Explication

L’injectivité signifie que deux éléments ayant la même image sont nécessairement égaux ; ici, deux personnes distinctes ne peuvent donc pas recevoir le même numéro. La surjectivité, évoquée par l’idée que chaque numéro est attribué, concerne l’existence d’antécédents.

Explication

Une application est surjective lorsque chaque élément de l’ensemble d’arrivée possède au moins un antécédent ; l’absence d’antécédent pour $c$ suffit donc à exclure cette propriété. La non-injectivité concerne au contraire des éléments distincts ayant la même image.

Explication

La somme indexée de $3$ à $6$ comprend chaque terme dont l’indice est compris entre ces bornes, donc $u_3+u_4+u_5+u_6$. Commencer à $u_4$ omet le premier terme, tandis que le produit utilise une autre opération.

Explication

La linéarité permet de séparer la somme d’une somme, puis de sortir un facteur constant : le résultat est $3\sum_{k=1}^{4}u_k+\sum_{k=1}^{4}v_k$. Appliquer le facteur aux termes en $v_k$ ou aux deux sommes modifie l’expression initiale.

Explication

Quand le rapport vaut $1$, la somme géométrique est égale au nombre de termes ; ici, elle vaut donc $6$. La formule fractionnaire exige un rapport différent de $1$, et compter les intervalles donne ici une unité de moins que le nombre de termes.

Explication

Par définition, $5!=1\times2\times3\times4\times5=120$. La valeur $15$ correspond à une somme, tandis que $24$ omet le facteur $5$.

Explication

Le cardinal d’un ensemble fini est le nombre de ses éléments : ici $|E|=5$. La valeur 0 correspond à l’ensemble vide, 4 oublie un élément et 32 compte les sous-ensembles.

Explication

Comme les équipes sont disjointes, la réunion contient la somme de leurs effectifs : $7+5=12$. La soustraction traite à tort les équipes comme se recouvrant, le produit relève d’un produit cartésien et 13 ajoute une intersection inexistante.

Explication

Pour compter l’union, on additionne les deux effectifs puis on retire les 5 personnes comptées deux fois : $16+11-5=22$. La somme sans correction donne 27, 11 ne représente qu’un groupe et 5 correspond à l’intersection.

Explication

Chaque élément de $A$ peut être associé à chacun des 6 éléments de $B$, donc $|A\times B|=4\times6=24$. 10 provient d’une addition, 2 d’une soustraction et 4096 d’une puissance inadaptée.

Explication

Une liste de longueur 4 est un quadruplet dont chaque terme appartient à $E$, sans exigence de distinction entre les termes. Le sous-ensemble ignore l’ordre, la distinction des termes caractérise une contrainte supplémentaire et le classement de tous les éléments est une permutation.

Explication

Chaque position offre 5 choix indépendants, donc le nombre de listes est $5^3=125$. Le nombre 60 interdit les répétitions, 5 oublie les positions et 15 additionne au lieu de multiplier les choix.

Explication

Les trois places sont ordonnées et les personnes distinctes : $A_7^3=7\times6\times5=210$. 35 ignore l’ordre, 343 autorise les répétitions et 5040 classe l’ensemble des sept finalistes.

Explication

Une combinaison est une partie de cardinal fixé, et l’ordre des éléments choisis n’intervient pas. Un arrangement tient compte de l’ordre, une permutation porte sur tous les éléments, et choisir 5 livres ne correspond pas au lot décrit.

Explication

Le nombre de groupes est $\binom{6}{2}=\frac{6!}{2!4!}=15$. Le résultat 30 ne tient pas compte de la correction du double comptage lié aux deux ordres possibles, tandis que 12 et 6 proviennent d’autres calculs incomplets.

Explication

La symétrie donne $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$, donc $\binom{12}{7}=\binom{12}{5}$. Le coefficient $\binom{12}{4}$ correspond à un complément de 8 éléments, et les autres choix ne conservent pas le même ensemble de départ et le bon complément.

Explication

La relation de Pascal donne $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1}$, d’où $\binom{9}{4}=\binom{8}{4}+\binom{8}{3}$. Le complément utilise ici les mauvais indices, la soustraction ne suit pas la relation, et le dernier calcul mélange des rangs.

Explication

La formule donne $\binom{3}{0}x^3+\binom{3}{1}x^2(2)+\binom{3}{2}x(2^2)+\binom{3}{3}2^3=x^3+6x^2+12x+8$. L’expression qui commence par $8x^3$ inverse les puissances, celle sans coefficients binomiaux les omet, et les coefficients de la dernière expression ne sont pas ceux du binôme.

Explication

L’ensemble des parties, noté 𝒫(E), rassemble tous les sous-ensembles de E. E désigne l’ensemble de départ, ses éléments ne sont pas l’ensemble de ses sous-ensembles, et un produit cartésien est une construction différente.

Explication

Une distance à 0 au plus égale à 4 signifie que $|x| \le 4$, donc $-4 \le x \le 4$. Les régions extérieures correspondent à une distance au moins égale à 4, tandis que l’intervalle ouvert exclut à tort les bornes.

Explication

La condition $|x-2| \le 3$ équivaut à $2-3 \le x \le 2+3$, soit l’intervalle [-1, 5]. L’intervalle centré en 0 oublie le centre 2, les demi-droites correspondent à une distance au moins égale à 3 et l’intervalle ouvert exclut les bornes.

Explication

La partie entière est le plus grand entier relatif inférieur ou égal au réel : ici, $-3 \le -2{,}4 < -2$, donc $E(-2{,}4)=-3$. L’arrondi au plus proche et le plafond donnent -2, tandis que prendre la valeur absolue change le nombre considéré.

Explication

L’inégalité triangulaire donne $|x+y| \le |x|+|y|$ ; ici, le membre de droite vaut $7+4=11$, et la somme vaut 3. Égaler la valeur absolue de la somme à 3 ou à 11 confond une borne avec une égalité, tandis que le sens inverse est erroné.

Explication

Un majorant doit être supérieur ou égal à chaque élément de A ; 6 convient puisque tout élément de $[-2,5[$ est inférieur à 5. La valeur -1 appartient à l’ensemble mais ne le majore pas, 4 est dépassé par certains éléments, et -3 est une borne inférieure plutôt qu’un majorant.

Explication

Le maximum doit appartenir à l’ensemble, or 6 est exclu de $[1,6[$ ; il n’y a donc pas de maximum. Toutefois, 6 est le plus petit des majorants, donc le supremum ; le prendre pour maximum confond une borne avec un élément de A.

Explication

La borne supérieure est le plus petit des majorants, ici 4, et la borne inférieure le plus grand des minorants, ici 0. Intervertir les valeurs inverse les rôles ; 1 n’est pas le plus grand minorant, et 5 est un majorant mais pas le plus petit.

Explication

L’unité imaginaire est définie par la relation $i^2=-1$, ce qui permet d’introduire une solution à $x^2=-1$ dans les complexes. La relation $i^2=1$ ou $i=1$ ne donne pas cette unité, et $i^2=0$ caractériserait un élément nul.

Explication

L’expression $z=a+ib$, où $a,b\in\mathbb R$, est l’écriture algébrique unique du complexe. La représentation dans le plan associe plutôt un point au complexe, tandis que la forme polaire et la décomposition en facteurs désignent d’autres présentations.

Explication

Deux complexes sont égaux si leurs parties réelle et imaginaire coïncident séparément : $3x=6$ donne $x=2$, et $y-2=5-y$ donne $y=\frac{7}{2}$. Choisir $x=3$ oublie le facteur 3, tandis que $y=\frac{3}{2}$ résulte d’une erreur de signe dans l’égalité des parties imaginaires.

Explication

Pour $z=a+ib$, son inverse vaut $\frac{a-ib}{a^2+b^2}$. Ici, le conjugué du dénominateur est $2+3i$ et $2^2+(-3)^2=13$; garder $-3i$ au numérateur oublie le conjugué, et utiliser 5 ne calcule pas la somme des carrés.

Explication

Le conjugué d’un produit est le produit des conjugués : $\overline{zz'}=\overline z\,\overline{z'}$. Conjuguer un seul facteur ne respecte pas cette règle, remplacer le produit par une somme change l’opération, et laisser les facteurs inchangés ne conjugue pas leur produit.

Explication

Pour $z=a+ib$, le produit $z\overline z=a^2+b^2$ est réel. Ici, $(-3)^2+4^2=9+16=25$; la différence des carrés donne 7, le module vaut 5, et le produit des parties vaut $-12$.

Explication

Le module vaut $\sqrt{a^2+b^2}$, donc ici $\sqrt{3^2+4^2}=5$. La somme directe donne $7$, la différence des carrés donne $\sqrt{7}$ et l’omission de la racine donne $25$ plutôt que le module.

Explication

La distance $OM$ est égale à $|z|$, soit $\sqrt{(-5)^2+12^2}=13$. La valeur $5$ ne retient que la partie réelle, $17$ additionne les valeurs absolues des coordonnées et $7$ en prend la différence.

Explication

La distance entre les points est $|z-z'|=|{-5+4i}|=\sqrt{25+16}=\sqrt{41}$. Les modules séparés ne donnent pas la distance, l’addition des affixes inverse la relation géométrique, et l’écart horizontal seul vaut $5$.

Explication

Les propriétés du module donnent $\left|\frac{u^2}{\overline v}\right|=\frac{|u|^2}{|\overline v|}=\frac{3^2}{2}=\frac{9}{2}$, puisque le conjugué conserve le module. La valeur $\frac{3}{2}$ oublie le carré, le signe négatif contredit la positivité du module et $18$ correspond à une multiplication.

Explication

Par définition, une racine carrée complexe de $a$ est un nombre $w$ dont le carré vaut $a$. L’égalité au conjugué, l’égalité des modules et le produit égal à un décrivent d’autres relations.

Explication

En développant $(x+iy)^2$, on obtient $x^2-y^2=5$ et $2xy=12$; de plus, $x^2+y^2=|z|=13$. La somme des carrés ne vaut pas la partie réelle, la partie imaginaire contient le facteur $2$ et la norme fournit une somme, non une différence.

Explication

La formule donne $z=\frac{-b\pm\delta}{2a}$; ici $-b=6$ et $2a=4$, d’où les deux expressions indiquées. Les réponses sans dénominateur omettent $2a$, celles avec $4i$ substituent le discriminant à sa racine, et le numérateur $-6$ prend le mauvais signe.

Explication

L’argument décrit, modulo $2\pi$, l’angle orienté de l’axe réel positif vers la demi-droite reliant l’origine au point d’affixe considérée. La distance est le module, l’axe de référence n’est pas l’axe imaginaire, et les coordonnées ne sont pas un angle.

Explication

Les arguments d’un même nombre complexe diffèrent de multiples entiers de $2\pi$, donc ils s’écrivent $\frac{\pi}{6}+2k\pi$ pour $k\in\mathbb{Z}$. L’argument n’est pas unique, un multiple de $\pi$ ne suffit pas, et les entiers doivent inclure les deux signes.

Explication

Le module vaut $2$, donc le cosinus est $-\frac12$ et le sinus est $\frac{\sqrt3}{2}$; ces signes placent l’angle au deuxième quadrant, à $\frac{2\pi}{3}$. L’angle $\frac{\pi}{3}$ ignore le signe négatif du cosinus, tandis que les deux autres ont un signe de sinus ou de cosinus incompatible.

Explication

La forme trigonométrique est $z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$, avec le module $r=5$ et l’argument $\theta=\frac{\pi}{4}$. Placer le facteur seulement devant le sinus ou l’omettre ne donne pas cette forme, et doubler l’angle change le nombre.

Explication

L’argument d’un quotient est la différence entre l’argument du numérateur et celui du dénominateur : $\frac{\pi}{3}-\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{6}$. La somme correspond à la règle du produit, la différence inversée change le signe, et le produit des angles n’est pas la règle.

Explication

La formule de Moivre donne $\cos(n\theta)+i\sin(n\theta)$; ici, $3\times\frac{\pi}{6}=\frac{\pi}{2}$. L’angle inchangé oublie l’exposant, la division de l’angle est erronée, et l’élévation séparée des fonctions ne correspond pas à la formule.

Explication

La forme exponentielle est $z=re^{i\theta}$, où le facteur $r>0$ est le module et $e^{i\theta}$ représente $\cos\theta+i\sin\theta$. La forme trigonométrique est une autre écriture, l’exposant doit inclure $i$, et omettre $r$ impose un module égal à $1$.

Explication

La formule d’Euler pour le sinus est $\sin\theta=\frac{e^{i\theta}-e^{-i\theta}}{2i}$. La somme sur $2$ correspond au cosinus, tandis que l’absence de $i$ ou l’inversion de la différence modifie la formule.

Explication

La méthode enchaîne le remplacement par les formes exponentielles, le développement et la réduction, le regroupement des termes opposés, puis le retour aux fonctions trigonométriques. Regrouper avant de développer inverse les étapes, tandis que conserver les exponentielles omet le retour trigonométrique.

Explication

L’amplitude vaut $\sqrt{a^2+b^2}$, donc ici $\sqrt{3^2+4^2}=5$. La somme des coefficients confond la norme avec une addition, et la différence des carrés applique une formule inadéquate.

Explication

Par définition, une racine n-ième de $z$ est un complexe $w$ dont la puissance n-ième est $z$. L’équation $w^n=1$ définit plutôt une racine n-ième de l’unité, tandis que $nw=z$ remplace à tort la puissance par une multiplication.