Fiche de révision : Nombres, intervalles et puissances

📋 Plan du Cours

1. Entiers et division euclidienne
2. Divisibilité et nombres premiers
3. Nombres réels et sous-ensembles
4. Intervalles de la droite réelle
5. Valeur absolue et distances
6. Puissances et règles de calcul
7. Puissances de dix et notation scientifique
8. Ordre de grandeur

📖 1. Entiers et division euclidienne

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres naturels : Ensemble des nombres entiers naturels contenant 0, 1, 2, 3, etc.
• Nombres relatifs : Ensemble des nombres entiers positifs, négatifs et nul.
• Division euclidienne : Pour deux entiers relatifs a et b avec b différent de zéro, il existe un unique couple d’entiers q et r tel que $a=qb+r$ et $0\le r<b$, où q est le quotient et r le reste.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier naturel est aussi un entier relatif, ce qui se note $N \subset Z$.

Compléments

• La division euclidienne de 46 par 7 donne le quotient 6 et le reste 4, car $46=6\times7+4$.

💡 Astuce mémo

N est inclus dans Z : naturel contre relatif

📖 2. Divisibilité et nombres premiers

🔑 Notions clés & Définitions

• Multiple et diviseur : Un entier a est un multiple d’un entier b non nul, ou b est un diviseur de a, s’il existe un entier q tel que $a=qb$, ce qui équivaut à avoir un reste nul dans la division euclidienne.
• Nombre pair : Un entier a est pair lorsqu’il existe un entier n tel que $a=2n$.
• Nombre impair : Un entier a est impair lorsqu’il existe un entier m tel que $a=2m+1$.
• Nombre premier : Un entier a est premier lorsqu’il est différent de 1 et n’admet que deux diviseurs positifs : 1 et lui-même.

★ À maîtriser

📌 Tout entier strictement supérieur à 1 se décompose de manière unique, à l’ordre des facteurs près, en un produit de nombres premiers.

Compléments

• Les nombres premiers positifs inférieurs à 20 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 et 19.

💡 Astuce mémo

Reste nul → multiple et diviseur

📖 3. Nombres réels et sous-ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée munie d’un repère.
• Nombre décimal : Un nombre réel est décimal s’il peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^k}$, avec a entier relatif et k entier naturel; l’ensemble est noté D.
• Nombre irrationnel : Un nombre réel non rationnel est appelé irrationnel; √2 et π sont des nombres irrationnels.

★ À maîtriser

📌 Les ensembles sont emboîtés selon $N\subset Z\subset D\subset Q\subset R$.

Compléments

📌 Tout nombre rationnel s’écrit de manière unique sous la forme $r=\frac{a}{b}$ avec a entier relatif, b entier naturel non nul, et a et b ayant pour seul diviseur commun 1.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 4. Intervalles de la droite réelle

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Pour a<b, un intervalle de R est un ensemble de nombres réels défini par des bornes incluses ou exclues.

★ À maîtriser

📌 Les intervalles [a;b], ]a;b], [a;b[ et ]a;b[ correspondent respectivement à $a\le x\le b$, $a<x\le b$, $a\le x<b$ et $a<x<b$.

Compléments

• Les intervalles [a;b] et ]a;b[ sont respectivement appelés fermé et ouvert, et les intervalles entre deux bornes finies sont bornés.

📌 Les intervalles non bornés s’écrivent [a;+∞[, ]a;+∞[, ]−∞;b] et ]−∞;b[, tandis que $R=]−∞;+∞[$.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 5. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour un réel x, sa valeur absolue est définie par $|x|=x$ si $x\ge0$ et $|x|=-x$ si $x<0$.

★ À maîtriser

• La valeur absolue de x représente la distance entre x et 0.

• Pour deux réels x et a, $|x-a|$ représente la distance entre x et a et vaut $x-a$ si $x\ge a$, sinon $a-x$.

• Pour r>0, l’ensemble défini par $|x-a|\le r$ est [a−r;a+r], tandis que celui défini par $|x-a|<r$ est ]a−r;a+r[.

Compléments

📌 Une valeur approchée a de x à la précision p>0 vérifie $|x-a|\le p$.

💡 Astuce mémo

La valeur absolue mesure la distance entre un nombre et un point

📖 6. Puissances et règles de calcul

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance entière : Pour un réel a et un entier naturel non nul n, $a^n$ est le produit de n facteurs égaux à a, et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

★ À maîtriser

📌 Pour a réel non nul, $a^1=a$, $a^0=1$ et $a^{-1}=\frac1a$.

📐 Formule — Pour a et b réels non nuls et m,p entiers relatifs, les règles sont $a^m\times a^p=a^{m+p}$, $\frac{a^m}{a^p}=a^{m-p}$, $(a^m)^p=a^{mp}$, $(ab)^m=a^mb^m$ et $\left(\frac ab\right)^m=\frac{a^m}{b^m}$.

Compléments

• Un octet peut prendre 256 valeurs, car $2^8=256$.

💡 Astuce mémo

Produit, quotient, puissance : on additionne, soustrait, puis multiplie les exposants

📖 7. Puissances de dix et notation scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Notation scientifique : Tout réel x>0 peut s’écrire sous la forme $a\times10^n$ avec n entier relatif et $1\le a<10$; cette écriture est la notation scientifique de x.

★ À maîtriser

📌 Pour tout entier naturel non nul n, $10^n$ s’écrit 1 suivi de n zéros et $10^{-n}$ s’écrit 0, suivi de n−1 zéros puis 1.

Compléments

• Les écritures scientifiques de 12345 et 0,00543 sont respectivement $1{,}2345\times10^4$ et $5{,}43\times10^{-3}$.

• Les préfixes kilo, méga et giga correspondent respectivement à 10³, 10⁶ et 10⁹, tandis que micro et nano correspondent à 10⁻⁶ et 10⁻⁹.

💡 Astuce mémo

Coefficient entre 1 et 10, puis puissance de dix

📖 8. Ordre de grandeur

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre de grandeur : L’ordre de grandeur d’un nombre s’obtient en l’arrondissant à un chiffre significatif.

📝 Points essentiels

• L’ordre de grandeur de 5794 est 6000, soit $6\times10^3$, et celui de $2{,}45\times10^{-7}$ est $2\times10^{-7}$.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques