Fiche de révision : Factorisation et polynômes du second degré

📋 Plan du Cours

1. Principes de factorisation
2. Définition du second degré
3. Formes et géométrie de la parabole
4. Racines et variations
5. Relations entre les formes

📖 1. Principes de factorisation

🔑 Notions clés & Définitions

• Factoriser : Transformer une somme en un produit.

★ À maîtriser

• Pour factoriser avec un facteur commun, on met ce facteur en évidence devant une parenthèse contenant les termes restants.

📐 Formule — L’identité remarquable de la différence de deux carrés est $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$.

Compléments

• Une expression comme 3x² + 4x ou 5(x − 3) − 7 est une somme lorsque sa dernière opération est une addition ou une soustraction.

• L’expression $x^2-9$ se factorise en $(x+3)(x-3)$ grâce à l’identité de la différence de deux carrés.

💡 Astuce mémo

Somme à transformer en produit

📖 2. Définition du second degré

🔑 Notions clés & Définitions

• Polynôme du second degré : Fonction qui s’écrit $f(x)=ax^2+bx+c$ avec trois réels a, b et c et $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 Si a = 0 dans $f(x)=ax^2+bx+c$, la fonction devient une fonction affine et n’est plus un polynôme du second degré.

• La courbe représentative d’un polynôme du second degré est une parabole d’équation $y=ax^2+bx+c$.

Compléments

• Pour $g(x)=5x^2-x+1$, les coefficients sont a = 5, b = −1 et c = 1.

• La fonction $i(x)=5x^2-2x^3+3$ n’est pas un polynôme du second degré, car elle contient un terme de degré 3.

💡 Astuce mémo

ABC : ax² + bx + c

📖 3. Formes et géométrie de la parabole

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme développée : $f(x)=ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$.
• Forme canonique : $f(x)=a(x-\alpha)^2+\beta$ avec $a\ne0$.

★ À maîtriser

📌 Dans la forme canonique, le sommet de la parabole a pour coordonnées S(α ; β).

📌 Si a > 0, la parabole est ouverte vers le haut et β est un minimum ; si a < 0, elle est ouverte vers le bas et β est un maximum.

Compléments

📌 Dans la forme développée, l’ordonnée à l’origine est f(0)=c.

💡 Astuce mémo

Une parabole qui s’ouvre vers le haut ou vers le bas

📖 4. Racines et variations

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme factorisée : $f(x)=a(x-x_1)(x-x_2)$ avec $a\ne0$.

📝 Points essentiels

📌 Les nombres x₁ et x₂ sont les abscisses des points d’intersection de la parabole avec l’axe des abscisses et les solutions de f(x)=0.

• Pour résoudre f(x)=0 sous forme factorisée, on annule chaque facteur : x−x₁=0 ou x−x₂=0, donc x=x₁ ou x=x₂.

📌 Pour a > 0, la fonction décroît jusqu’à x=α puis croît ; pour a < 0, elle croît jusqu’à x=α puis décroît.

💡 Astuce mémo

Signe de a → sens d’ouverture → variations

📖 5. Relations entre les formes

★ À maîtriser

📐 Formule — À partir des racines, l’abscisse du sommet se calcule par $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}$ et son ordonnée par $\beta=f(\alpha)$.

📐 Formule — À partir de la forme développée, l’abscisse du sommet se calcule par $\alpha=-\frac{b}{2a}$ et son ordonnée par $\beta=f(\alpha)$.

Compléments

📌 La droite d’équation x=α est un axe de symétrie de la parabole.

📌 La forme factorisée permet de résoudre des équations et inéquations comme f(x)=0, f(x)>0 ou f(x)≤0 et de construire le tableau de signes de f.

💡 Astuce mémo

Développée → canonique → factorisée

📊 Tableaux de synthèse

Les trois formes d’un polynôme