QCM : Factorisation et polynômes du second degré — 16 questions

Explication

La différence de deux carrés se factorise en multipliant la différence des bases par leur somme. Les carrés d’une somme ou d’une différence contiennent en plus un terme double en $ab$.

Explication

Lorsque $a<0$, la parabole est tournée vers le bas : la fonction augmente jusqu’à l’abscisse du sommet $\alpha$, puis diminue. Le comportement inverse correspond au cas $a>0$.

Explication

La courbe représentative d’un polynôme du second degré est une parabole décrite par $y=ax^2+bx+c$. Une expression affine produit une droite, tandis que les deux autres équations correspondent à d’autres types de courbes.

Explication

Le facteur commun est mis en évidence devant une parenthèse, qui contient les facteurs restants. Distribuer ce facteur dans la parenthèse réaliserait l’opération inverse, c’est-à-dire un développement.

Explication

Si $a=0$, le terme en $x^2$ disparaît et l’expression devient $bx+c$, qui est affine. Le caractère du second degré exige un coefficient quadratique non nul.

Explication

Factoriser consiste à réécrire une somme sous la forme d’un produit de facteurs. Transformer un produit en somme correspond plutôt au développement d’une expression.

Explication

Un produit est nul dès qu’au moins un de ses facteurs est nul, ce qui donne les deux équations $x-x_1=0$ et $x-x_2=0$. La moyenne des racines détermine l’abscisse du sommet, mais elle ne fournit pas directement les solutions de $f(x)=0$.

Explication

La forme factorisée s’écrit comme un produit de deux facteurs associés aux racines, multiplié par un coefficient non nul. La forme canonique fait apparaître l’abscisse et l’ordonnée du sommet, notées $\alpha$ et $\beta$, plutôt que les racines.

Explication

Dans la forme canonique $a(x-\alpha)^2+\beta$, le sommet possède les coordonnées $S(\alpha\,;\,\beta)$. Ici, $\alpha=2$ et $\beta=-5$ ; le coefficient 3 ne modifie pas les coordonnées du sommet.

Explication

La forme canonique s’écrit $a(x-\alpha)^2+\beta$ et permet d’identifier directement le sommet. La forme développée expose plutôt les coefficients de $x^2$, de $x$ et le terme constant.

Explication

Un polynôme du second degré s’écrit $ax^2+bx+c$ avec $a\ne0$ ; ici, le coefficient de $x^2$ vaut 3. Une expression affine ne possède pas de terme quadratique, tandis qu’un terme en $x^3$ donne un degré supérieur.

Explication

Lorsque les coefficients développés $a$ et $b$ sont connus, l’abscisse du sommet se calcule avec $\alpha=-\frac{b}{2a}$. La formule utilisant la moyenne des racines s’applique lorsque $x_1$ et $x_2$ sont disponibles.

Explication

Le coefficient devant le carré vaut $-2<0$, donc la parabole est ouverte vers le bas et sa valeur au sommet, $\beta=4$, est un maximum. L’abscisse du sommet est $-1$, mais elle ne représente pas la valeur extrême.

Explication

À partir des racines, l’abscisse du sommet est la moyenne de leurs abscisses : $\alpha=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{2+8}{2}=5$. La formule $-\frac{b}{2a}$ s’emploie à partir des coefficients de la forme développée.

Explication

La forme développée regroupe les termes selon les puissances de $x$ sous la forme $ax^2+bx+c$. La forme canonique fait apparaître le sommet, tandis que la forme factorisée met en évidence les racines.

Explication

Les nombres $x_1$ et $x_2$ sont les racines de la fonction et correspondent donc aux abscisses des points où la parabole coupe l’axe des abscisses. L’abscisse du sommet est notée $\alpha$, ce qui la distingue des racines.