QCM : Nombres premiers et fractions irréductibles (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quel critère permet de reconnaître un nombre premier parmi les entiers ?

Il est impair et possède exactement deux diviseurs.
Il possède exactement deux diviseurs, sans compter 1.
Il possède exactement deux multiples positifs.
Il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Il possède exactement deux diviseurs : 1 et lui-même.

Explication

Un nombre premier a exactement deux diviseurs, qui sont 1 et lui-même. L’imparité ne définit pas les nombres premiers, et les multiples ne sont pas les diviseurs.

2. Lina affirme que 1 est premier parce qu’il est divisible par lui-même. Quelle vérification invalide son affirmation ?

Il a pour diviseurs 1 et tous les nombres premiers.
Il a une infinité de diviseurs positifs.
Il a deux diviseurs : 1 et 2.
Il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.

Il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.

Explication

Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs, alors que 1 n’en a qu’un : lui-même. L’option évoquant 1 et 2 ajoute un diviseur qui ne divise pas 1.

3. Un élève décompose l’entier 18, supérieur ou égal à 2, en facteurs premiers. Quelle propriété doit vérifier le résultat obtenu ?

La décomposition est unique seulement si l’on choisit une méthode particulière.
La décomposition existe et est unique à l’ordre des facteurs près.
La décomposition dépend de la méthode, mais garde les mêmes facteurs.
La décomposition existe avec un ordre des facteurs imposé.

La décomposition existe et est unique à l’ordre des facteurs près.

Explication

Tout entier supérieur ou égal à 2 possède une décomposition en facteurs premiers, unique à l’ordre des facteurs près. L’ordre peut donc varier, mais la décomposition ne dépend pas de la méthode utilisée.

4. En décomposant 350, une élève obtient les facteurs premiers 2, 5, 5 et 7. Quelle écriture condensée représente cette décomposition ?

350=2×5×7350 = 2 \times 5 \times 7
350=22×5×7350 = 2^2 \times 5 \times 7
350=2×52×7350 = 2 \times 5^2 \times 7
350=2×5×72350 = 2 \times 5 \times 7^2

$$350 = 2 \times 5^2 \times 7$$

Explication

Les deux facteurs 5 s’écrivent 525^2, d’où 350=2×52×7350 = 2 \times 5^2 \times 7. L’écriture sans exposant omet un facteur 5, tandis que les exposants de 2 ou de 7 comptent incorrectement les facteurs.

5. Que signifie qu’un entier est divisible par 3 ?

La somme de ses chiffres est divisible par 3.
Le produit de ses chiffres est divisible par 3.
Son chiffre des unités est divisible par 3.
Son chiffre des dizaines est divisible par 3.

La somme de ses chiffres est divisible par 3.

Explication

La divisibilité par 3 se vérifie en calculant la somme des chiffres de l’entier et en vérifiant que cette somme est divisible par 3. Le chiffre des unités sert plutôt à tester la divisibilité par 2.

6. Quelle fraction irréductible obtient-on en simplifiant 35084\frac{350}{84} ?

2512\frac{25}{12}
5021\frac{50}{21}
256\frac{25}{6}
3512\frac{35}{12}

$$\frac{25}{6}$$

Explication

La simplification par les facteurs premiers communs de 350 et 84 donne 256\frac{25}{6}, dont le numérateur et le dénominateur n’ont pas de diviseur commun autre que 1. Par exemple, 5021\frac{50}{21} n’est pas une forme équivalente, car les termes ne résultent pas de la même division du numérateur et du dénominateur.

7. À quoi sert le nombre de diviseurs d’un entier dans la définition d’un nombre premier ?

À déterminer si l’entier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.
À savoir si l’entier possède un nombre pair de chiffres.
À établir si l’entier peut être écrit comme une somme de deux entiers.
À vérifier si l’entier est divisible par 2 ou par 3.

À déterminer si l’entier a exactement deux diviseurs, 1 et lui-même.

Explication

Le nombre de diviseurs sert à caractériser un nombre premier : il doit en avoir exactement deux, soit 1 et lui-même. La divisibilité par 2 ou par 3 peut aider à tester certains nombres, mais elle ne constitue pas la définition générale d’un nombre premier.

8. En quoi la décomposition en facteurs premiers de 350 illustre-t-elle la propriété générale de ces décompositions ?

Elle dépend de critères de divisibilité différents selon l’ordre choisi pour les facteurs.
Elle est unique seulement lorsque l’entier possède exactement deux diviseurs.
Elle peut varier selon les diviseurs premiers retenus pour former le produit.
Elle est unique à l’ordre des facteurs près, comme celle de tout entier supérieur ou égal à 2.

Elle est unique à l’ordre des facteurs près, comme celle de tout entier supérieur ou égal à 2.

Explication

La décomposition de 350, 350=2×52×7350 = 2 \times 5^2 \times 7, illustre que tout entier supérieur ou égal à 2 admet une décomposition unique en facteurs premiers, à l’ordre des facteurs près. La condition d’avoir exactement deux diviseurs caractérise les nombres premiers, et non les entiers dont on peut effectuer une décomposition.

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Combien de diviseurs un nombre premier possède-t-il ?

Exactement deux.

Quelle propriété garantit l’unicité de la décomposition en facteurs premiers d’un entier supérieur ou égal à 2 ?

Elle est unique à l’ordre des facteurs près.

Pourquoi 1 n’est-il pas un nombre premier ?

Il n’a qu’un seul diviseur : lui-même.

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