Fiche de révision : Nombres premiers et numération

📋 Plan du Cours

1. Nombres premiers et divisibilité
2. Nombres premiers entre eux et PGCD
3. Principe des systèmes de numération
4. Conversion entre bases deux et dix
5. Numération hexadécimale
6. Conversions entre binaire et hexadécimal
7. Addition en numération binaire

📖 1. Nombres premiers et divisibilité

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre premier : Entier naturel possédant exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.
• Nombre composé : Entier naturel non premier.

★ À maîtriser

• 0 et 1 ne sont pas des nombres premiers, et 2 est le plus petit nombre premier ainsi que le seul nombre premier pair.

• Il existe une infinité de nombres premiers.

Compléments

• Les nombres premiers inférieurs à 100 sont 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 et 97.

• Le crible d'Ératosthène permet de trouver tous les nombres premiers inférieurs à un entier naturel donné.

💡 Astuce mémo

Premier : deux diviseurs ; composé : non premier.

📖 2. Nombres premiers entre eux et PGCD

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers premiers entre eux : Deux entiers non nuls n'ayant aucun diviseur positif commun autre que 1.
• PGCD : Plus grand diviseur positif commun à a et b, noté PGCD(a ; b).

📝 Points essentiels

• 21 et 26 sont premiers entre eux, car leur seul diviseur positif commun est 1.

• 165 et 253 ne sont pas premiers entre eux, car 11 est un diviseur commun différent de 1, comme le montrent 165 = 3 × 5 × 11 et 253 = 11 × 23.

• Pour deux entiers naturels non nuls, l'ensemble de leurs diviseurs communs positifs contient toujours 1 et n'est donc pas vide.

• PGCD(144 ; 132) = 12 et l'ensemble de leurs diviseurs communs positifs est {1, 2, 3, 4, 6, 12}.

📖 3. Principe des systèmes de numération

🔑 Notions clés & Définitions

• Base de numération : Nombre de chiffres nécessaires et suffisants à l'écriture des nombres ainsi que taille des paquets constitués.

★ À maîtriser

📐 Formule - En base b, un nombre s'écrit comme une somme de chiffres multipliés par les puissances correspondantes de la base : $a = c_n b^n + \cdots + c_2 b^2 + c_1 b^1 + c_0 b^0$.

• Dans une numération positionnelle, la position d'un chiffre détermine sa valeur en fonction des puissances de la base.

Compléments

• En base 10, les chiffres utilisables sont 0 à 9 et les paquets sont des puissances de 10, comme 10, 100 et 1 000.

• Dans 1515 en base 10, le chiffre 5 de gauche vaut 500, tandis que le chiffre 5 de droite vaut 5 unités.

💡 Astuce mémo

Imagine une pile de paquets de tailles b, b², b³, chacun placé sous son chiffre.

📖 4. Conversion entre bases deux et dix

★ À maîtriser

• En base 2, les seuls chiffres sont 0 et 1, et les paquets correspondent aux puissances de 2.

• Pour convertir un nombre binaire en base 10, on multiplie chaque chiffre par la puissance de 2 correspondant à sa position, puis on additionne les résultats.

• Pour convertir un entier décimal en binaire par divisions successives, on divise par 2 et l'on lit les restes de bas en haut.

Compléments

• En base 10, $1011_2 = 1×2^3 + 0×2^2 + 1×2^1 + 1×2^0 = 11_{10}$.

• Les conversions données comprennent 67₁₀ = 1000011₂, 208₁₀ = 11010000₂ et 58₁₀ = 111010₂.

💡 Astuce mémo

Base 2 vers 10 : multiplier chaque chiffre par sa puissance de 2, puis additionner.

📖 5. Numération hexadécimale

★ À maîtriser

• Les chiffres de la base 16 sont :

  • 0 à 9
  • A représentant 10
  • B représentant 11
  • C représentant 12
  • D représentant 13
  • E représentant 14
  • F représentant 15

• Pour convertir un entier décimal en base 16 par divisions successives, on divise par 16 et l'on lit les restes de bas en haut.

Compléments

• Les paquets de la base 16 correspondent aux puissances de 16, notamment 16, 256 et 4 096.

• Les conversions données sont 2B₁₆ = 43₁₀, 1A4₁₆ = 420₁₀ et A81₁₆ = 2689₁₀.

• La conversion fournie donne 207₁₀ = CF₁₆.

📖 6. Conversions entre binaire et hexadécimal

★ À maîtriser

• Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, on regroupe les chiffres binaires par groupes de quatre à partir de la droite et on convertit chaque groupe.

• Pour convertir un nombre hexadécimal en binaire, on remplace chaque chiffre hexadécimal par sa valeur binaire sur quatre chiffres.

Compléments

• Le tableau de correspondance relie les valeurs décimales 0 à 15 aux écritures binaires sur quatre bits et aux chiffres hexadécimaux 0 à F.

• Les conversions fournies comprennent 1000 1101₂ = 8D₁₆, 1010 1111₂ = AF₁₆ et 0011 0111 1011₂ = 37B₁₆.

• Les conversions fournies comprennent 37A₁₆ = 0011 0111 1010₂, 81₁₆ = 1000 0001₂ et FDA3₁₆ = 1111 1101 1010 0011₂.

💡 Astuce mémo

Regrouper les bits par quatre depuis la droite, puis lire chaque groupe en hexadécimal.

📖 7. Addition en numération binaire

★ À maîtriser

• En base 2, 1 + 1 s'écrit 10₂ et 1 + 1 + 1 s'écrit 11₂.

Compléments

• L'addition binaire 111101₂ + 101110₂ = 1101011₂ correspond à 61 + 46 = 107 en base 10.

• L'addition binaire 11010₂ + 11110₂ = 111000₂ correspond à 26 + 30 = 56 en base 10.

• L'addition binaire 1110₂ + 1111₂ + 1011₂ = 101000₂ correspond à 14 + 15 + 11 = 40 en base 10.