QCM : Nombres premiers et numération (17 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété définit un nombre premier ?

Il possède un seul diviseur positif distinct, qui est lui-même.
Il possède exactement deux diviseurs entiers, qui peuvent être négatifs.
Il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.
Il possède au moins trois diviseurs positifs distincts, dont 1 et lui-même.

Il possède exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même.

Explication

Un nombre premier a exactement deux diviseurs positifs distincts : 1 et lui-même. Un entier ayant au moins trois diviseurs positifs distincts est composé, et non premier.

2. Quelle affirmation décrit correctement 0, 1 et 2 du point de vue des nombres premiers ?

0 et 1 sont composés, tandis que 2 est le plus petit nombre premier impair.
0 et 1 ne sont pas premiers, tandis que 2 est premier mais n’est pas le plus petit nombre premier.
0 et 1 ne sont pas premiers, tandis que 2 est le plus petit nombre premier et le seul nombre premier pair.
0 n’est pas premier, tandis que 1 et 2 sont les deux plus petits nombres premiers.

0 et 1 ne sont pas premiers, tandis que 2 est le plus petit nombre premier et le seul nombre premier pair.

Explication

Ni 0 ni 1 n’est premier, et 2 est le plus petit nombre premier ainsi que le seul nombre premier pair. L’affirmation selon laquelle 1 serait premier confond le nombre de ses diviseurs avec la définition d’un nombre premier.

3. Que peut-on conclure sur la quantité de nombres premiers ?

Il en existe une quantité qui s’arrête après les nombres premiers inférieurs à 100.
Il en existe une infinité.
Il en existe exactement autant que de nombres pairs.
Il en existe un nombre fini, mais leur quantité dépasse celle des carrés parfaits.

Il en existe une infinité.

Explication

Les nombres premiers ne s’épuisent pas : il en existe une infinité. La liste des nombres premiers inférieurs à 100 est limitée par la borne choisie, mais elle ne représente pas l’ensemble des nombres premiers.

4. Quand deux entiers non nuls sont-ils premiers entre eux ?

Lorsqu’ils ont le même nombre de diviseurs positifs.
Lorsqu’ils n’ont aucun diviseur positif commun, y compris 1.
Lorsqu’ils n’ont aucun diviseur positif commun autre que 1.
Lorsqu’ils sont tous deux des nombres premiers distincts.

Lorsqu’ils n’ont aucun diviseur positif commun autre que 1.

Explication

Deux entiers non nuls sont premiers entre eux si leur seul diviseur positif commun est 1. Ils n’ont donc pas besoin d’être eux-mêmes premiers, et 1 fait bien partie de leurs diviseurs communs.

5. Que représente le PGCD de deux entiers aa et bb ?

Le nombre de diviseurs positifs communs à aa et bb.
Le plus grand entier positif qui divise au moins l’un de aa et bb.
Le plus grand diviseur positif commun à aa et bb.
Le plus petit diviseur positif commun à aa et bb.

Le plus grand diviseur positif commun à $$a$$ et $$b$$.

Explication

Le PGCD est le plus grand des diviseurs positifs communs aux deux entiers. Un diviseur commun plus petit peut aussi exister, mais il ne constitue pas pour autant leur PGCD.

6. Que précise la base d’un système de numération ?

Le nombre de chiffres nécessaires et suffisants et la taille des paquets constitués.
La valeur du plus grand nombre que le système permet d’écrire et la taille de ses nombres.
Le nombre de positions utilisées et la quantité de nombres premiers représentables.
La valeur du premier chiffre écrit et la taille des nombres composés.

Le nombre de chiffres nécessaires et suffisants et la taille des paquets constitués.

Explication

La base indique combien de chiffres sont nécessaires et suffisants pour écrire les nombres, ainsi que la taille des paquets formés. Elle ne fixe pas de plus grand nombre représentable, puisque les écritures peuvent comporter davantage de positions.

7. Comment décomposer un nombre écrit en base bb à partir de ses chiffres ?

Comme le produit de tous les chiffres par la plus grande puissance de bb de l’écriture.
Comme la somme des puissances de bb correspondant aux chiffres non nuls.
Comme la somme de chaque chiffre multiplié par la puissance de bb correspondant à sa position.
Comme la somme de chaque chiffre multiplié par la même puissance de bb.

Comme la somme de chaque chiffre multiplié par la puissance de $$b$$ correspondant à sa position.

Explication

Chaque chiffre contribue à la valeur du nombre en étant multiplié par la puissance de la base associée à sa position, puis les contributions sont additionnées. Multiplier tous les chiffres par une seule puissance ne tient pas compte de leurs positions distinctes.

8. Dans une numération positionnelle, pourquoi un même chiffre peut-il représenter des valeurs différentes ?

Sa valeur dépend de sa couleur, qui change selon la base utilisée.
Sa valeur reste la même, mais les chiffres voisins en modifient l’écriture.
Sa valeur dépend du nombre total de chiffres, sans lien avec leur position.
Sa valeur dépend de sa position, déterminée par les puissances de la base.

Sa valeur dépend de sa position, déterminée par les puissances de la base.

Explication

Dans une numération positionnelle, la position d’un chiffre détermine sa valeur en fonction des puissances de la base. Dans une numération non positionnelle comme le système romain, la valeur d’un symbole ne dépend pas de cette règle de position.

9. Quels chiffres peuvent apparaître dans l’écriture d’un nombre en base deux ?

1 et 2
0 à 9
0, 1 et 2
0 et 1

0 et 1

Explication

La base deux utilise deux chiffres, 0 et 1, et les positions correspondent aux puissances de 2. Les chiffres de 0 à 9 sont ceux de la base dix.

10. Quelle méthode permet de convertir un nombre binaire en base dix ?

Diviser le nombre successivement par 2 et lire les restes de bas en haut
Regrouper les chiffres par paquets de quatre et remplacer chaque paquet par une lettre
Multiplier chaque chiffre par la puissance de 10 correspondant à sa position, puis additionner les résultats
Multiplier chaque chiffre par la puissance de 2 correspondant à sa position, puis additionner les résultats

Multiplier chaque chiffre par la puissance de 2 correspondant à sa position, puis additionner les résultats

Explication

La conversion du binaire vers la base dix consiste à additionner les valeurs positionnelles, calculées avec les puissances de 2. La division successive par 2 sert plutôt à convertir un entier décimal en binaire.

11. En convertissant un entier décimal en binaire par divisions successives, comment obtient-on l’écriture finale ?

On multiplie par 2 et on lit les chiffres de droite à gauche
On divise par 10 et on lit les restes de bas en haut
On divise par 2 et on lit les restes de haut en bas
On divise par 2 et on lit les restes de bas en haut

On divise par 2 et on lit les restes de bas en haut

Explication

La méthode consiste à effectuer des divisions successives par 2, puis à lire les restes en remontant de la dernière division à la première. Lire les restes de haut en bas inverse l’ordre nécessaire pour former l’écriture binaire.

12. En numération hexadécimale, quelles valeurs représentent les lettres A à F ?

Les valeurs décimales de 16 à 21
Les valeurs décimales de 10 à 15
Les valeurs décimales de 11 à 16
Les valeurs décimales de 0 à 5

Les valeurs décimales de 10 à 15

Explication

En base seize, les lettres A, B, C, D, E et F représentent les valeurs décimales de 10 à 15. La suite ne commence pas à 11 : A correspond à 10.

13. Quelle procédure convertit un entier décimal en base 16 par divisions successives ?

Diviser par 10, puis lire les restes de bas en haut
Multiplier par 16 et additionner les valeurs positionnelles
Diviser par 16, puis lire les restes de haut en bas
Diviser par 16, puis lire les restes de bas en haut

Diviser par 16, puis lire les restes de bas en haut

Explication

Pour passer d’un entier décimal à la base 16 avec cette méthode, on divise successivement par 16 et on lit les restes de bas en haut. L’addition des valeurs positionnelles correspond plutôt à une conversion depuis la base 16 vers la base dix.

14. Pour convertir un nombre binaire en hexadécimal, comment faut-il organiser les bits ?

Remplacer chaque bit séparément par un chiffre hexadécimal
Regrouper les bits par paires en partant de la droite, puis convertir chaque groupe
Les regrouper par quatre en partant de la droite, puis convertir chaque groupe
Les regrouper par quatre en partant de la gauche, puis convertir chaque groupe

Les regrouper par quatre en partant de la droite, puis convertir chaque groupe

Explication

La conversion du binaire vers l’hexadécimal se fait en formant des groupes de quatre bits à partir de la droite, puis en convertissant chacun d’eux. Le remplacement individuel de chaque chiffre hexadécimal par quatre bits décrit le sens inverse.

15. Comment convertir directement un nombre hexadécimal en binaire ?

Regrouper les chiffres hexadécimaux par quatre à partir de la droite
Convertir d’abord le nombre en base dix, puis le diviser par deux
Remplacer chaque chiffre hexadécimal par un seul bit selon sa parité
Remplacer chaque chiffre hexadécimal par son écriture binaire sur quatre chiffres

Remplacer chaque chiffre hexadécimal par son écriture binaire sur quatre chiffres

Explication

Chaque chiffre hexadécimal correspond à une valeur binaire exprimée sur quatre chiffres, qu’on substitue séparément. Le regroupement par quatre concerne les bits lors de la conversion du binaire vers l’hexadécimal.

16. En numération binaire, quel résultat obtient-on en additionnant trois chiffres 1, soit 1+1+11+1+1 ?

1002100_2, car trois chiffres 1 produisent deux retenues
1112111_2, car les chiffres s’additionnent sans retenue
11211_2, car la somme vaut trois en décimal
10210_2, car chaque paire de 1 produit une retenue

$$11_2$$, car la somme vaut trois en décimal

Explication

La somme de trois unités vaut trois en décimal, ce qui s’écrit 11211_2 en binaire. La réponse 10210_2 correspond à l’addition de deux chiffres 1, et non de trois.

17. Quel résultat donne l’addition binaire 110102+11110211010_2+11110_2 ?

1011002101100_2, qui représente 44 en base 10
1110002111000_2, qui représente 56 en base 10
1100002110000_2, qui représente 48 en base 10
1101002110100_2, qui représente 52 en base 10

$$111000_2$$, qui représente 56 en base 10

Explication

L’addition de 11010211010_2 et 11110211110_2 donne 1110002111000_2, soit 56 en base 10. 1100002110000_2 représente 48 en base 10 et ne correspond donc pas à cette somme.

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Combien de diviseurs positifs distincts possède un nombre premier ?

Exactement deux : 1 et lui-même.

Quel est le plus petit nombre premier et le seul nombre premier pair ?

2.

Quels entiers naturels ne sont pas des nombres premiers ?

0 et 1.

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