QCM : Nombres réels et intervalles (12 questions)

Question 1

1. Le nombre $-0.037$ peut-il s’écrire sous la forme $\frac{n}{10^k}$ avec $n$ entier relatif et $k$ naturel, et appartient-il donc à quel ensemble ?

À

\mathbb{Z}

, car toute écriture décimale finie est un entier

À

\mathbb{D}

, car

-0.037=\frac{-37}{10^3}

À

\mathbb{N}

, car son dénominateur est une puissance de dix

À

\mathbb{Q}

mais pas à

\mathbb{D}

, car le nombre est négatif

Explication

Un nombre décimal s’écrit avec un entier relatif au numérateur et une puissance de dix au dénominateur ; ici, $-0.037=\frac{-37}{10^3}$ . Le confondre avec un entier ignore la partie décimale, et le signe négatif n’empêche pas d’être décimal.

Answer

À $$\mathbb{D}$$, car $$-0.037=\frac{-37}{10^3}$$

Question 2

2. Un nombre $x$ est égal à $\frac{-14}{21}$ . Quelle propriété suffit à établir que $x$ est rationnel ?

Il possède une écriture décimale finie

Il est le quotient de deux entiers avec un dénominateur positif

Il est le quotient de deux nombres réels quelconques

Il est le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul

Explication

Un rationnel s’écrit comme le quotient de deux entiers, le dénominateur étant non nul ; le dénominateur n’a pas à être positif. Une écriture décimale finie est une condition plus restrictive, et deux réels quelconques ne suffisent pas à définir un rationnel.

Answer

Il est le quotient de deux entiers avec un dénominateur non nul

Question 3

3. Un nombre réel peut être classé dans quelle catégorie générale ?

Dans l’ensemble formé des seuls rationnels

Dans l’ensemble formé des seuls irrationnels

Dans l’ensemble formé des rationnels et des irrationnels

Dans l’ensemble formé des entiers et des décimaux

Explication

Les réels regroupent les nombres rationnels et les nombres irrationnels. Les rationnels seuls et les irrationnels seuls ne constituent chacun qu’une partie des réels, tandis que les entiers et les décimaux ne couvrent pas tous les réels.

Answer

Dans l’ensemble formé des rationnels et des irrationnels

Question 4

4. On classe un nombre connu comme entier naturel en choisissant le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ qui le contient. Quel est cet ensemble ?

\mathbb{Z}

\mathbb{R}

\mathbb{Q}

\mathbb{N}

Explication

Les inclusions suivent l’ordre $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ ; un entier naturel appartient donc déjà à $\mathbb{N}$ , le plus petit ensemble proposé qui le contient. Choisir $\mathbb{Z}$ ou un ensemble plus large néglige le critère du plus petit ensemble.

Answer

$$\mathbb{N}$$

Question 5

5. Un intervalle est noté $]-3;2]$ . Lesquelles de ses extrémités appartiennent à l’intervalle ?

-3

et

2

2

, mais pas

-3

Ni

-3

ni

2

-3

, mais pas

2

Explication

Une extrémité appartient à l’intervalle lorsqu’elle est fermée par un crochet correspondant : dans $]-3;2]$ , $2$ est inclus et $-3$ est exclu. Inclure les deux ou exclure les deux méconnaît l’un des deux types d’extrémité.

Answer

$$2$$, mais pas $$-3$$

Question 6

6. Quelle notation désigne l’ensemble de tous les nombres réels comme un intervalle ?

[-\infty;+\infty]

[0;+\infty[

]-1;1[

]-\infty;+\infty[

Explication

L’ensemble des réels se note comme l’intervalle ouvert $]-\infty;+\infty[$ . Les infinis ne sont pas des extrémités incluses, et les autres écritures ne représentent qu’une partie de la droite réelle.

Answer

$$]-\infty;+\infty[$$

Question 7

7. On considère les ensembles $A=\{1,2,3,4\}$ et $B=\{3,4,5\}$ . Quels éléments appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ ?

\{1,2,3,4,5\}

\{5\}

\{1,2\}

\{3,4\}

Explication

L’intersection rassemble les éléments communs aux deux ensembles : ici, 3 et 4. La réunion contient aussi les éléments non communs, tandis que $\{1,2\}$ et $\{5\}$ sont propres respectivement à A et à B.

Answer

$$\{3,4\}$$

Question 8

8. Une liste regroupe les élèves inscrits au club de théâtre ou au club de musique, y compris ceux inscrits aux deux clubs. Quelle opération ensembliste décrit cette liste ?

L’intersection des deux ensembles

La réunion des deux ensembles

La différence du club de musique avec le club de théâtre

La différence du club de théâtre avec le club de musique

Explication

La réunion comprend les éléments appartenant à au moins l’un des deux ensembles, donc aussi ceux qui appartiennent aux deux clubs. L’intersection ne retient que les élèves inscrits aux deux clubs, tandis que les différences excluent les élèves communs.

Answer

La réunion des deux ensembles

Question 9

9. Pour $x=-7$ , quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?

7

49

-49

-7

Explication

Comme $x\le 0$ , la valeur absolue est égale à $-x$ ; pour $x=-7$ , cela donne 7. $-7$ conserve le signe, tandis que $-49$ et 49 proviennent d’une confusion avec le carré.

Answer

Aucune solution réelle

Question 10

10. Sur une droite graduée, deux points ont pour abscisses $a=-4$ et $b=3$ . Quelle est leur distance ?

7

-12

-7

-1

Explication

La distance vaut $|a-b|=|-4-3|=|-7|=7$ . $-7$ omet la valeur absolue, $-1$ résulte de l’addition signée des abscisses et $-12$ de leur produit.

Question 11

11. Parmi les expressions suivantes, laquelle illustre une expression affine pouvant apparaître à l’intérieur d’une valeur absolue dans une équation ou une inéquation ?

|5|

|3-x|

|3x|

|x^2-5|

Explication

Une équation ou une inéquation en valeur absolue peut contenir une expression telle que $|3-x|$ . $|3x|$ correspond à un produit, $|5|$ ne contient pas de variable et $|x^2-5|$ comporte une expression quadratique.

Question 12

12. En résolvant dans $\mathbb{R}$ l’équation $|x+4|=-2$ , combien de solutions réelles obtient-on ?

Une infinité de solutions réelles

Deux solutions réelles

Aucune solution réelle

Une solution réelle

Explication

Une valeur absolue est positive ou nulle ; elle ne peut donc pas être égale à $-2$ . L’idée qu’une valeur absolue puisse être négative confond sa valeur avec un nombre signé, tandis que les réponses indiquant une ou plusieurs solutions négligent cette impossibilité.

QCM : Nombres réels et intervalles (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Le nombre $-0.037$ peut-il s’écrire sous la forme $\frac{n}{10^k}$ avec $n$ entier relatif et $k$ naturel, et appartient-il donc à quel ensemble ?

2. Un nombre $x$ est égal à $\frac{-14}{21}$ . Quelle propriété suffit à établir que $x$ est rationnel ?

3. Un nombre réel peut être classé dans quelle catégorie générale ?

4. On classe un nombre connu comme entier naturel en choisissant le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ qui le contient. Quel est cet ensemble ?

5. Un intervalle est noté $]-3;2]$ . Lesquelles de ses extrémités appartiennent à l’intervalle ?

6. Quelle notation désigne l’ensemble de tous les nombres réels comme un intervalle ?

7. On considère les ensembles $A=\{1,2,3,4\}$ et $B=\{3,4,5\}$ . Quels éléments appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ ?

8. Une liste regroupe les élèves inscrits au club de théâtre ou au club de musique, y compris ceux inscrits aux deux clubs. Quelle opération ensembliste décrit cette liste ?

9. Pour $x=-7$ , quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?

10. Sur une droite graduée, deux points ont pour abscisses $a=-4$ et $b=3$ . Quelle est leur distance ?

11. Parmi les expressions suivantes, laquelle illustre une expression affine pouvant apparaître à l’intérieur d’une valeur absolue dans une équation ou une inéquation ?

12. En résolvant dans $\mathbb{R}$ l’équation $|x+4|=-2$ , combien de solutions réelles obtient-on ?

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QCM : Nombres réels et intervalles (12 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Le nombre −0.037-0.037−0.037 peut-il s’écrire sous la forme n10k\frac{n}{10^k}10kn​ avec nnn entier relatif et kkk naturel, et appartient-il donc à quel ensemble ?

2. Un nombre xxx est égal à −1421\frac{-14}{21}21−14​. Quelle propriété suffit à établir que xxx est rationnel ?

3. Un nombre réel peut être classé dans quelle catégorie générale ?

4. On classe un nombre connu comme entier naturel en choisissant le plus petit ensemble parmi N,Z,D,Q,R\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}N,Z,D,Q,R qui le contient. Quel est cet ensemble ?

5. Un intervalle est noté ]−3;2]]-3;2]]−3;2]. Lesquelles de ses extrémités appartiennent à l’intervalle ?

6. Quelle notation désigne l’ensemble de tous les nombres réels comme un intervalle ?

7. On considère les ensembles A={1,2,3,4}A=\{1,2,3,4\}A={1,2,3,4} et B={3,4,5}B=\{3,4,5\}B={3,4,5}. Quels éléments appartiennent à la fois à AAA et à BBB ?

8. Une liste regroupe les élèves inscrits au club de théâtre ou au club de musique, y compris ceux inscrits aux deux clubs. Quelle opération ensembliste décrit cette liste ?

9. Pour x=−7x=-7x=−7, quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?

10. Sur une droite graduée, deux points ont pour abscisses a=−4a=-4a=−4 et b=3b=3b=3. Quelle est leur distance ?

11. Parmi les expressions suivantes, laquelle illustre une expression affine pouvant apparaître à l’intérieur d’une valeur absolue dans une équation ou une inéquation ?

12. En résolvant dans R\mathbb{R}R l’équation ∣x+4∣=−2|x+4|=-2∣x+4∣=−2, combien de solutions réelles obtient-on ?

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2. Un nombre $x$ est égal à $\frac{-14}{21}$ . Quelle propriété suffit à établir que $x$ est rationnel ?

4. On classe un nombre connu comme entier naturel en choisissant le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ qui le contient. Quel est cet ensemble ?

5. Un intervalle est noté $]-3;2]$ . Lesquelles de ses extrémités appartiennent à l’intervalle ?

7. On considère les ensembles $A=\{1,2,3,4\}$ et $B=\{3,4,5\}$ . Quels éléments appartiennent à la fois à $A$ et à $B$ ?

9. Pour $x=-7$ , quelle valeur obtient-on en appliquant la définition de la valeur absolue ?

10. Sur une droite graduée, deux points ont pour abscisses $a=-4$ et $b=3$ . Quelle est leur distance ?

12. En résolvant dans $\mathbb{R}$ l’équation $|x+4|=-2$ , combien de solutions réelles obtient-on ?