Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et inclusions
2. Intervalles et extrémités
3. Intersection et réunion d’ensembles
4. Valeur absolue et distance
5. Équations et inéquations absolues

📖 1. Ensembles de nombres et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Un nombre décimal est un nombre qui s’écrit sous la forme $d=\frac{n}{10^k}$, où n est un entier relatif et k un entier naturel.
• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un nombre qui s’écrit sous la forme $r=\frac{p}{q}$, où p et q sont des entiers et où $q\ne 0$.
• Nombre réel : Un nombre réel appartient à l’ensemble composé des nombres rationnels et des nombres irrationnels.
• Nombre irrationnel : Un nombre irrationnel est un nombre qui n’est pas rationnel.

★ À maîtriser

• Les ensembles de nombres sont inclus dans l’ordre $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$.

Compléments

• Le produit de deux nombres rationnels et la somme de deux nombres rationnels sont des nombres rationnels.

📖 2. Intervalles et extrémités

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle est un ensemble de nombres réels délimité par des extrémités et représentable sur une droite graduée.

★ À maîtriser

📌 Un intervalle fermé contient ses extrémités, tandis qu’un intervalle ouvert ne les contient pas.

Compléments

• L’ensemble des nombres réels est l’intervalle ouvert $]-\infty;+\infty[$.

💡 Astuce mémo

Crochets fermés : extrémité incluse ; crochets ouverts : extrémité exclue.

📖 3. Intersection et réunion d’ensembles

🔑 Notions clés & Définitions

• Intersection : L’intersection de deux ensembles A et B contient les éléments qui appartiennent à la fois à A et à B, et se note $A\cap B$.
• Réunion : La réunion de deux ensembles A et B contient les éléments qui appartiennent à au moins l’un des deux ensembles.

💡 Astuce mémo

L’intersection garde le commun ; la réunion rassemble ce qui appartient à l’un ou l’autre.

📖 4. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La valeur absolue d’un réel x est le nombre positif égal à x si $x\ge 0$ et à $-x$ si $x\le 0$.

📝 Points essentiels

📌 La distance entre deux points d’abscisses a et b sur une droite graduée est $|a-b|$.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, la valeur absolue mesure la longueur entre deux abscisses.

📖 5. Équations et inéquations absolues

📝 Points essentiels

• Une équation ou une inéquation en valeur absolue peut porter sur une expression telle que $|x-5|$ ou $|3-x|$.

📌 La valeur absolue d’un réel étant positive ou nulle, une équation de la forme $|u|=c$ n’a pas de solution réelle lorsque c est négatif.