Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres
2. Décimaux et rationnels
3. Intervalles et opérations
4. Valeur absolue et distances
5. Encadrement et amplitude

📖 1. Ensembles de nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers naturels : Les entiers naturels, notés N, comprennent notamment 0, 2 et 11.
• Entiers relatifs : Les entiers relatifs, notés Z, comprennent les nombres entiers positifs, négatifs et zéro, comme -4, -1 et 0.
• Nombres décimaux : Les nombres décimaux, notés D, sont des nombres dont l’écriture décimale comporte un nombre fini de chiffres après la virgule, comme 0,9 ou 13,4.
• Nombres rationnels : Les nombres rationnels, notés Q, sont les nombres qui peuvent s’écrire sous la forme $\frac{p}{q}$ avec p et q appartenant à Z et q non nul.
• Nombres réels : Les nombres réels, notés R, comprennent les nombres rationnels et les nombres irrationnels, comme √2 et π.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Décimaux et rationnels

★ À maîtriser

📐 Formule — Un nombre décimal peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$ avec a appartenant à Z et n appartenant à N.

Compléments

• Le développement décimal d’un nombre rationnel est périodique à partir d’un certain rang.

💡 Astuce mémo

Décimal : développement fini ; rationnel : développement périodique

📖 3. Intervalles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : L’intervalle fermé [A ; B] représente l’ensemble des réels x tels que A ≤ x ≤ B.

📝 Points essentiels

📌 L’union A ∪ B représente les nombres appartenant à l’un des deux ensembles, tandis que l’intersection A ∩ B représente les nombres appartenant aux deux ensembles.

💡 Astuce mémo

∪ signifie « ou », ∩ signifie « et »

📖 4. Valeur absolue et distances

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : La distance entre x et 0.
• Distance entre deux réels : Pour tous réels x et a, |x - a| représente la distance entre x et a.

★ À maîtriser

📌 Pour tout réel x, |x| = x si x ≥ 0 et |x| = -x si x < 0.

📌 Pour un réel R positif ou nul, |x - a| ≤ R équivaut à x appartenant à l’intervalle [a - R ; a + R].

Compléments

• La distance entre 4 et 9 est représentée par |4 - 9| = 5.

💡 Astuce mémo

Sur une droite graduée, la valeur absolue mesure la distance jusqu’au point de référence

📖 5. Encadrement et amplitude

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement : Encadrer un nombre réel x consiste à donner deux réels A et B tels que A ≤ x ≤ B.
• Amplitude d’un encadrement : L’amplitude de l’encadrement A ≤ x ≤ B est la différence B - A.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour l’intervalle [α ; β], le milieu est $\frac{α+β}{2}$ et l’amplitude est β - α.

📊 Tableaux de synthèse

Ensembles de nombres