Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles et nature des nombres
2. Encadrement décimal
3. Intervalles de R
4. Valeur absolue et distance

📖 1. Ensembles et nature des nombres

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres réels : Ensemble des abscisses des points d’une droite graduée, noté R.
• Nombres naturels : Ensemble des entiers positifs ou nuls, noté N, avec N={0;1;2;3;4;...}.
• Nombres relatifs : Ensemble formé par les entiers naturels et leurs opposés, noté Z.
• Nombres décimaux : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, où a est un entier relatif et n un entier naturel.
• Nombres rationnels : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, où a et b sont des entiers relatifs et b≠0.

★ À maîtriser

📌 Les inclusions successives entre les ensembles de nombres sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

📌 Tout nombre réel est soit rationnel, soit irrationnel, et un nombre irrationnel est un réel qui n’est pas rationnel.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Encadrement décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Encadrement de x par deux nombres décimaux d1 et d2 tels que d1≤x≤d2 et d2−d1=10^-n.
• Amplitude : Différence entre sa borne supérieure et sa borne inférieure, soit d2−d1.

📝 Points essentiels

• L’encadrement 3,14≤π≤3,15 a une amplitude de 0,01=10^-2.

• À 10^-3 près, on peut encadrer 4/7 par 0,571≤4/7≤0,572.

💡 Astuce mémo

Amplitude 10⁻ⁿ → précision de l’encadrement

📖 3. Intervalles de R

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Ensemble des réels x tels que a≤x≤b.
• Intervalle non borné : Les intervalles non bornés sont [a;+∞[, ]a;+∞[, ]−∞;a] et ]−∞;a[, selon que l’inégalité est large ou stricte.

★ À maîtriser

📌 Les intervalles [a;b[, ]a;b] et ]a;b[ correspondent respectivement à une borne gauche incluse et une borne droite exclue, une borne gauche exclue et une borne droite incluse, et deux bornes exclues.

Compléments

📌 R se note ]−∞;+∞[, R+ se note [0;+∞[ et R− se note ]−∞;0].

• Pour traduire une inégalité en intervalle, on détermine les bornes, on inclut une borne si l’inégalité est large, puis on utilise un crochet ouvert vers l’infini.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 4. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance entre le point d’abscisse a et l’origine de la droite réelle.
• Distance entre deux nombres : La distance entre deux réels a et b est |a−b|, et elle est aussi égale à |b−a|.

★ À maîtriser

📌 Pour un réel a, |a|=a si a≥0 et |a|=−a si a<0.

📌 Pour r>0, l’ensemble des réels x tels que |x−a|≤r est l’intervalle [a−r;a+r].

Compléments

• La distance entre −3 et 1 est 4, car |−3−1|=|−4|=4.

• L’inégalité |x−3|≤4 équivaut à x∈[−1;7].

💡 Astuce mémo

Sur la droite réelle, la valeur absolue mesure la distance jusqu’à l’origine

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques