QCM : Nombres réels et intervalles — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quel ensemble contient les nombres 00, 11, 22 et tous les entiers positifs ?

L’ensemble D\mathbb{D} des nombres décimaux
L’ensemble Z\mathbb{Z} des entiers relatifs
L’ensemble Q\mathbb{Q} des nombres rationnels
L’ensemble N\mathbb{N} des nombres naturels

L’ensemble $$\mathbb{N}$$ des nombres naturels

Explication

Les nombres naturels sont les entiers positifs ou nuls, donc ils comprennent 00. L’ensemble Z\mathbb{Z} contient aussi les entiers négatifs, ce qui le distingue de N\mathbb{N}.

2. Quel ensemble contient à la fois les entiers naturels et leurs opposés ?

L’ensemble Z\mathbb{Z} des entiers relatifs
L’ensemble R\mathbb{R} des nombres réels
L’ensemble N\mathbb{N} des nombres naturels
L’ensemble D\mathbb{D} des nombres décimaux

L’ensemble $$\mathbb{Z}$$ des entiers relatifs

Explication

Les entiers relatifs regroupent les entiers naturels et leurs opposés, notamment les nombres négatifs. Les nombres naturels ne comprennent pas ces entiers négatifs.

3. Laquelle de ces écritures caractérise un nombre décimal ?

an\frac{a}{n} avec a,n∈Ra,n\in\mathbb{R} et n≠0n\ne0
ab\frac{a}{b} avec a,b∈Za,b\in\mathbb{Z} et b≠0b\ne0
aba\sqrt{b} avec a,b∈Na,b\in\mathbb{N}
a10n\frac{a}{10^n} avec a∈Za\in\mathbb{Z} et n∈Nn\in\mathbb{N}

$$\frac{a}{10^n}$$ avec $$a\in\mathbb{Z}$$ et $$n\in\mathbb{N}$$

Explication

Un nombre décimal s’écrit comme un entier relatif divisé par une puissance de 1010. L’écriture avec deux entiers et un dénominateur non nul caractérise plus largement les nombres rationnels.

4. Quelle chaîne d’inclusions entre les ensembles de nombres est correcte ?

R⊂Q⊂D⊂Z⊂N\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}
Z⊂N⊂Q⊂D⊂R\mathbb{Z}\subset\mathbb{N}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{R}
N⊂D⊂Z⊂R⊂Q\mathbb{N}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{R}\subset\mathbb{Q}
N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}

$$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$$

Explication

Chaque ensemble est inclus dans le suivant selon la chaîne N⊂Z⊂D⊂Q⊂R\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}. Par exemple, tout entier naturel est un entier relatif, tandis que l’inverse n’est pas vrai.

5. Que signifie encadrer un nombre réel xx à 10−210^{-2} près ?

Trouver d1d_1 et d2d_2 tels que d1≤x≤d2d_1\le x\le d_2 et d2−d1=10−2d_2-d_1=10^{-2}
Trouver deux nombres dont la somme avec xx vaut 10−210^{-2}
Trouver d1d_1 et d2d_2 tels que d1<x<d2d_1<x<d_2 et d2−d1=10−3d_2-d_1=10^{-3}
Trouver deux nombres décimaux distants de 10−110^{-1} et contenant xx

Trouver $$d_1$$ et $$d_2$$ tels que $$d_1\le x\le d_2$$ et $$d_2-d_1=10^{-2}$$

Explication

Un encadrement à 10−210^{-2} près impose que les deux bornes contiennent xx et que leur différence soit 10−210^{-2}. Une amplitude différente ne correspond pas à la précision demandée.

6. Quel encadrement de 47\frac{4}{7} est réalisé à 10−310^{-3} près ?

0,570≤47≤0,5710,570\le\frac{4}{7}\le0,571
0,57≤47≤0,580,57\le\frac{4}{7}\le0,58
0,571≤47≤0,5730,571\le\frac{4}{7}\le0,573
0,571≤47≤0,5720,571\le\frac{4}{7}\le0,572

$$0,571\le\frac{4}{7}\le0,572$$

Explication

Les bornes 0,5710,571 et 0,5720,572 ont une différence de 0,001=10−30,001=10^{-3} et encadrent 47\frac{4}{7}. L’encadrement avec les bornes 0,5710,571 et 0,5730,573 a une amplitude trop grande.

7. Quel ensemble décrit l’intervalle fermé [a;b][a;b] ?

Les réels xx tels que a≤x<ba\le x<b
Les réels xx tels que a≤x≤ba\le x\le b
Les réels xx tels que a<x≤ba<x\le b
Les réels xx tels que a<x<ba<x<b

Les réels $$x$$ tels que $$a\le x\le b$$

Explication

Dans un intervalle fermé, les deux bornes appartiennent à l’ensemble, ce qui donne a≤x≤ba\le x\le b. L’écriture $$]a;b[ répond à des inégalités strictes aux deux extrémités.

8. Quelle notation représente les réels dont la borne gauche est incluse et la borne droite exclue ?

]a;b[]a;b[
[a;b][a;b]
[a;b[[a;b[
]a;b]]a;b]

$$[a;b[$$

Explication

Le crochet à gauche dans [a;b[indiqueque[a;b[ indique que aestinclus,tandisquelecrochetouvertaˋdroiteexclut est inclus, tandis que le crochet ouvert à droite exclut b.Lanotation. La notation ]a;b]$$ décrit la situation inverse.

9. Comment traduire l’inégalité x≤ax\le a sous forme d’intervalle ?

]−∞;a]]-\infty;a]
[a;+∞[[a;+\infty[
]a;+∞[]a;+\infty[
]−∞;a[]-\infty;a[

$$]-\infty;a]$$

Explication

L’inégalité x≤ax\le a inclut la borne réelle aa et s’étend vers les nombres négatifs sans borne, d’où ]−∞;a]]-\infty;a]. Le crochet associé à −∞-\infty reste ouvert, car l’infini n’est pas un nombre réel.

10. Que représente géométriquement la valeur absolue d’un réel aa ?

La distance entre le point d’abscisse aa et l’origine
Le nombre opposé à aa lorsque celui-ci est positif
La position du point d’abscisse aa par rapport à l’origine
La différence entre l’abscisse aa et le nombre zéro

La distance entre le point d’abscisse $$a$$ et l’origine

Explication

La valeur absolue mesure la distance entre le point d’abscisse aa et l’origine de la droite réelle. Même si aa est négatif, cette distance est positive ou nulle, contrairement au nombre aa lui-même.

11. Quelle est la valeur de ∣−7∣|{-7}| ?

−17-\frac{1}{7}
77
−7-7
00

$$7$$

Explication

Comme −7<0-7<0, la règle donne ∣−7∣=−(−7)=7|{-7}|=-(-7)=7. La confusion fréquente consiste à conserver le signe négatif du nombre initial, alors que la valeur absolue est positive ou nulle.

12. Quelle expression donne la distance entre deux réels aa et bb ?

a+ba+b
∣a−b∣|a-b|
∣a+b∣|a+b|
a−ba-b

$$|a-b|$$

Explication

La distance entre aa et bb est la valeur absolue de leur différence, soit ∣a−b∣|a-b|, qui est aussi égale à ∣b−a∣|b-a|. L’expression a−ba-b peut être négative et ne représente donc pas toujours une distance.

13. Quel intervalle décrit l’ensemble des réels xx vérifiant ∣x−5∣≤2|x-5|\leq 2 ?

[−2;2][-2;2]
[5;7][5;7]
[2;5][2;5]
[3;7][3;7]

$$[3;7]$$

Explication

La règle ∣x−a∣≤r⟺x∈[a−r;a+r]|x-a|\leq r\Longleftrightarrow x\in[a-r;a+r] donne ici x∈[5−2;5+2]=[3;7]x\in[5-2;5+2]=[3;7]. L’intervalle [5;7][5;7] ne retient que les valeurs situées à droite de 55 et oublie celles situées à gauche.

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Qu'est-ce que l'ensemble des nombres réels ?

L'ensemble des abscisses des points d'une droite graduée.

Que contient l'ensemble des nombres naturels noté N ?

Les entiers positifs ou nuls.

Que forme l'ensemble des entiers naturels et leurs opposés ?

L'ensemble des entiers relatifs noté Z.

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