Fiche de révision : Nombres réels et intervalles

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres et inclusions
2. Nombres décimaux et rationnels
3. Définition des nombres réels
4. Intervalles et bornes
5. Réunion et intersection d’intervalles
6. Valeur absolue et distance
7. Inéquations avec valeur absolue

📖 1. Ensembles de nombres et inclusions

🔑 Notions clés & Définitions

• Entier naturel : Nombre entier positif
• Entier relatif : Nombre entier positif ou négatif

★ À maîtriser

📌 L’ensemble des entiers naturels est noté N, l’ensemble des entiers relatifs est noté Z, l’ensemble des nombres décimaux est noté D, l’ensemble des nombres rationnels est noté Q et l’ensemble des nombres réels est noté R.

📌 Tout entier naturel est un entier relatif, ce qui se note N ⊂ Z.

Compléments

• Le symbole Z* désigne l’ensemble des entiers relatifs privés de zéro, c’est-à-dire Z ∖ {0}.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 2. Nombres décimaux et rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{10^n}$, avec a ∈ Z et n ∈ N
• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme $\frac{a}{b}$, avec a ∈ Z et b ∈ Z*

★ À maîtriser

📌 Les inclusions entre les ensembles numériques sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q.

Compléments

• π et √2 sont des nombres irrationnels, car ils ne peuvent pas s’écrire sous la forme d’une fraction d’entiers.

💡 Astuce mémo

Décimal : dénominateur 10ⁿ ; rationnel : dénominateur entier non nul

📖 3. Définition des nombres réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : Abscisses des points d’une droite graduée

★ À maîtriser

📌 L’ensemble des nombres rationnels est inclus dans l’ensemble des nombres réels, ce qui se note Q ⊂ R.

📌 Les inclusions complètes sont N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

Compléments

• Le nombre √2 appartient à R ∖ Q, c’est-à-dire à l’ensemble des réels privés des rationnels.

💡 Astuce mémo

Visualiser les réels comme les abscisses de tous les points d’une droite graduée

📖 4. Intervalles et bornes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle fermé : Ensemble des réels x tels que a ≤ x ≤ b
• Intervalle ouvert : Ensemble des réels x tels que a < x < b

★ À maîtriser

📌 L’intervalle ]a ; b] est ouvert en a et fermé en b, tandis que [a ; b[ est fermé en a et ouvert en b.

Compléments

📌 L’intervalle [a ; b] est borné, tandis que les intervalles contenant −∞ ou +∞ sont non bornés.

• L’ensemble des nombres réels peut se noter ]−∞ ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Crochet fermé : borne incluse ; crochet ouvert : borne exclue

📖 5. Réunion et intersection d’intervalles

🔑 Notions clés & Définitions

• Réunion d’intervalles : Ensemble des réels qui appartiennent à I ou à J
• Intersection d’intervalles : Ensemble des réels qui appartiennent à I et à J

📝 Points essentiels

• Pour I = [−5 ; 1] et J = [−2 ; 7], on a I ∪ J = [−5 ; 7] et I ∩ J = [−2 ; 1].

📌 L’intersection de deux intervalles peut être vide, comme [−5 ; −2[ ∩ ]1 ; 7] = ∅.

📌 Une réunion de deux intervalles n’est pas toujours un intervalle, car elle peut présenter un trou, comme [−5 ; −2[ ∪ ]1 ; 7].

💡 Astuce mémo

Réunion : ou ; intersection : et

📖 6. Valeur absolue et distance

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Distance à l’origine

★ À maîtriser

📐 Formule — La valeur absolue vérifie $|x| = \begin{cases}x & \text{si } x \ge 0 \\ -x & \text{si } x \le 0\end{cases}$.

📐 Formule — La distance entre les réels a et b est égale à $d(a;b)=|b-a|=|a-b|$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux réels x et y, on a $|xy| = |x|\times|y|$.

💡 Astuce mémo

Valeur absolue → distance à l’origine ; différence absolue → distance entre deux réels

📖 7. Inéquations avec valeur absolue

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un réel a et un réel positif r, l’inégalité $|x-a|\le r$ équivaut à $x\in[a-r\ ;\ a+r]$.

• La solution de l’inéquation |x − 1| ≤ 3 est l’intervalle [−2 ; 4].

Compléments

📌 L’inégalité |x − a| ≤ r signifie que la distance entre x et a est inférieure ou égale à r.

💡 Astuce mémo

Un centre a et un rayon r forment l’intervalle [a − r ; a + r]

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques

Types d’intervalles bornés