Fiche de révision : Nombres réels et leurs ensembles

📋 Plan du Cours

1. Entiers naturels et relatifs
2. Nombres décimaux
3. Nombres rationnels
4. Nombres réels et irrationnels
5. Inclusions et classification
6. Encadrement décimal

📖 1. Entiers naturels et relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre entier naturel : Nombre entier positif ou nul, et l’ensemble correspondant est noté N.
• Nombre entier relatif : Nombre entier positif, négatif ou nul, et l’ensemble correspondant est noté Z.

★ À maîtriser

📌 Tout nombre entier naturel est un entier relatif, donc N est inclus dans Z : N ⊂ Z.

Compléments

📌 Les symboles ∈ et ∉ indiquent respectivement qu’un nombre appartient ou n’appartient pas à un ensemble, tandis que ⊂ et ⊄ indiquent respectivement qu’un ensemble est inclus ou n’est pas inclus dans un autre.

📖 2. Nombres décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre décimal : Nombre qui s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule.

★ À maîtriser

📐 Formule — Tout nombre décimal peut s’écrire sous la forme $d=\frac{a}{10^p}$, où a est un entier et p un entier naturel.

Compléments

📌 L’écriture décimale comporte une partie entière avant la virgule et une partie décimale après la virgule.

• Par exemple, 2,36 = 236/100 = 236/10².

📖 3. Nombres rationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’un quotient a/b, avec a et b entiers relatifs et b non nul; l’ensemble correspondant est noté Q.

★ À maîtriser

📌 Tout entier relatif est rationnel, car tout entier relatif a s’écrit a/1.

📌 Tout nombre rationnel non nul possède une unique écriture fractionnaire irréductible p/q, où p est un entier relatif et q un entier naturel non nul, avec p et q premiers entre eux.

• Pour démontrer par l’absurde que 1/3 n’est pas décimal, on suppose d’abord 1/3=a/10^p, puis on obtient 3a=10^p, ce qui imposerait que 10^p soit divisible par 3; comme la somme de ses chiffres vaut 1, c’est impossible, donc 1/3 n’est pas décimal.

Compléments

• Un nombre rationnel possède un développement décimal périodique à partir d’un certain rang, qui peut être fini dans le cas d’un entier ou d’un nombre décimal.

📖 4. Nombres réels et irrationnels

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre réel : Nombre qui peut s’écrire avec une partie entière et un nombre fini ou infini de décimales; l’ensemble correspondant est noté R.
• Nombre irrationnel : Nombre réel qui n’est pas rationnel et ne peut pas s’écrire sous la forme a/b avec a et b entiers relatifs et b non nul.

★ À maîtriser

• Pour démontrer par l’absurde que √2 est irrationnel, on suppose √2=a/b avec a et b premiers entre eux, puis on montre que a et b sont tous deux pairs, ce qui contredit leur caractère premier entre eux.

Compléments

• Un nombre réel est l’abscisse d’un point d’une droite graduée appelée droite numérique.

• √2, √3 et π sont des nombres irrationnels.

💡 Astuce mémo

Rationnel = fraction possible ; irrationnel = fraction impossible.

📖 5. Inclusions et classification

★ À maîtriser

📌 Les ensembles de nombres sont emboîtés selon la chaîne N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R.

• Pour reconnaître le plus petit ensemble d’un nombre, on le simplifie ou on examine son écriture décimale, puis on choisit l’ensemble le plus petit parmi N, Z, D, Q et R qui le contient.

Compléments

• Dans la classification proposée, -1/4=-0,25 est décimal, 2/6=1/3 est rationnel, 1,333 est décimal et √36=6 est entier naturel.

💡 Astuce mémo

N ⊂ Z ⊂ D ⊂ Q ⊂ R

📖 6. Encadrement décimal

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Trouver deux nombres entre lesquels un réel se situe, avec une précision donnée.

★ À maîtriser

📌 Un encadrement à 10ⁿ près, aussi appelé encadrement d’amplitude 10ⁿ, possède deux bornes dont la différence vaut 10ⁿ.

• À 10⁻³ près, les encadrements sont 1,414<√2<1,415 et 1,732<√3<1,733.

Compléments

• Pour π, les encadrements successifs sont 3<π<4 à l’unité, 3,1<π<3,2 au dixième, 3,14<π<3,15 au centième et 3,141<π<3,142 au millième.

💡 Astuce mémo

Précision plus fine → bornes plus proches.

📊 Tableaux de synthèse

Inclusion des ensembles numériques