QCM : Nombres réels et leurs ensembles — 17 questions

Explication

L’ensemble $\mathbb{N}$ regroupe les nombres entiers positifs ou nuls. L’ensemble $\mathbb{Z}$ est plus vaste, car il contient aussi les entiers négatifs.

Explication

Un entier relatif peut prendre un signe positif, négatif ou nul, et appartient à $\mathbb{Z}$. La description des nombres positifs ou nuls correspond plutôt aux entiers naturels.

Explication

Tout entier naturel est aussi un entier relatif, donc $\mathbb{N}$ est inclus dans $\mathbb{Z}$. La réciproque est fausse puisque $\mathbb{Z}$ contient des entiers négatifs.

Explication

$\frac{37}{100}$ s’écrit avec un nombre fini de chiffres après la virgule, sous la forme $0,37$. Les autres fractions ont des développements décimaux périodiques non finis.

Explication

Tout nombre décimal s’écrit comme un entier divisé par une puissance de dix, soit $d=\frac{a}{10^p}$. Une puissance de trois au dénominateur ne caractérise pas tous les nombres décimaux.

Explication

Dans un nombre rationnel, $a$ et $b$ sont des entiers relatifs et $b\neq 0$. Un dénominateur nul rend la fraction non définie, tandis qu’il n’est pas nécessaire qu’il soit une puissance de dix.

Explication

Tout entier relatif $a$ s’écrit $\frac{a}{1}$, ce qui respecte la définition d’un nombre rationnel. Cette propriété ne signifie pas que tout nombre rationnel est entier.

Explication

Un rationnel non nul possède une unique écriture irréductible $\frac{p}{q}$, avec $p$ et $q$ premiers entre eux et $q$ naturel non nul. La réduction ne peut pas produire un dénominateur nul.

Explication

En supposant $\frac{1}{3}=\frac{a}{10^p}$, on obtient $3a=10^p$, ce qui exigerait que $10^p$ soit divisible par $3$. Or la somme des chiffres de $10^p$ vaut $1$, donc cette divisibilité est impossible.

Explication

Un réel peut posséder une écriture décimale finie ou infinie, et l’ensemble des réels est noté $\mathbb{R}$. Une écriture fractionnaire caractérise les rationnels, tandis qu’une écriture décimale finie ne couvre pas tous les réels.

Explication

Un irrationnel est un réel qui ne peut pas être représenté par une fraction $\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ entiers relatifs et $b\ne0$. La représentation par une fraction d’entiers correspond au contraire à la définition d’un rationnel.

Explication

On suppose $\sqrt{2}=\frac{a}{b}$ avec $a$ et $b$ premiers entre eux, puis le raisonnement conduit à leur parité commune. Le fait qu’ils soient tous deux pairs contredit alors l’hypothèse selon laquelle la fraction est irréductible.

Explication

Chaque ensemble de la chaîne $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{D}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R}$ contient le précédent. Par exemple, les entiers naturels sont des entiers relatifs, et les rationnels sont des réels.

Explication

Il faut d’abord simplifier le nombre ou étudier son écriture décimale, puis retenir le plus petit ensemble parmi $\mathbb{N},\mathbb{Z},\mathbb{D},\mathbb{Q},\mathbb{R}$ qui le contient. Une fraction équivalente peut aider, mais elle ne suffit pas à classer directement le nombre comme irrationnel.

Explication

Un encadrement fournit deux bornes entre lesquelles se trouve le réel, selon une précision fixée. Une simple valeur approchée ne donne pas les deux limites nécessaires pour former l’encadrement.

Explication

L’amplitude d’un encadrement à $10^n$ près est l’écart entre ses deux bornes, donc leur différence vaut $10^n$. L’exposant $n$ indique la puissance de dix utilisée, mais ce n’est pas lui-même la différence entre les bornes.

Explication

À $10^{-3}$ près, $\sqrt{3}$ est compris entre $1,732$ et $1,733$, dont la différence vaut $0,001$. L’intervalle $1,414<\sqrt{3}<1,415$ concerne $\sqrt{2}$, tandis que les autres intervalles correspondent à une autre valeur ou à une précision différente.