Fiche de révision : Nombres réels et repérage

📋 Plan du Cours

1. Ensembles de nombres relatifs
2. Classification et encadrement
3. Racines carrées et propriétés
4. Puissances et écriture scientifique
5. Repérage dans le plan

📖 1. Ensembles de nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Entiers relatifs : L’ensemble des entiers relatifs se note ℤ et correspond aux points d’une droite appelée droite des nombres relatifs.
• Entiers naturels : Nombre entier positif ou nul, et l’ensemble des entiers naturels se note ℕ.
• Nombres décimaux : Nombre qui s’écrit sous la forme d’une fraction décimale, et l’ensemble des nombres décimaux se note D.
• Nombres rationnels : Nombre qui peut s’écrire sous la forme d’une fraction, et l’ensemble des nombres rationnels se note ℚ.
• Nombres irrationnels : Nombre réel qui n’est pas rationnel, et l’ensemble des nombres irrationnels se note I.
• Nombres réels : L’ensemble des nombres réels se note ℝ et regroupe les entiers relatifs, les nombres décimaux, les nombres rationnels et les nombres irrationnels.
• Nombres opposés : Deux nombres sont opposés lorsqu’ils sont à la même distance de 0 mais de côtés opposés sur la droite graduée.

📝 Points essentiels

• Les inclusions entre les ensembles de nombres sont ℕ ⊂ ℤ ⊂ D ⊂ ℚ ⊂ ℝ.

📌 Pour comparer deux nombres relatifs, on peut les placer sur une droite graduée : le nombre situé le plus à droite est le plus grand.

💡 Astuce mémo

De ℕ vers ℤ, D, ℚ puis ℝ

📖 2. Classification et encadrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Encadrement décimal : Un encadrement décimal d’un nombre réel x à 10⁻ⁿ près consiste à trouver deux nombres a et b tels que a < x < b et b - a = 10⁻ⁿ.

★ À maîtriser

• Pour reconnaître la nature d’un nombre, on le simplifie puis on l’écrit dans la forme qui permet d’identifier le plus petit ensemble auquel il appartient.

Compléments

• Un encadrement de π au centième près est 3,14 < π < 3,15, car l’amplitude de l’encadrement vaut 10⁻².

💡 Astuce mémo

Réduire l’écriture du nombre → identifier le plus petit ensemble

📖 3. Racines carrées et propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour tout réel a ≥ 0, √a est l’unique nombre réel positif ou nul dont le carré est égal à a.

★ À maîtriser

📌 La racine carrée d’un nombre négatif n’existe pas dans les nombres réels, car le carré d’un nombre réel est toujours positif ou nul.

📐 Formule — Pour a et b réels positifs, $\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ et, si b ≠ 0, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📐 Formule — Pour a réel positif ou nul, $(\sqrt{a})^2=a$ et $\sqrt{a^2}=a$.

📌 En général, $\sqrt{a+b}\ne\sqrt{a}+\sqrt{b}$.

Compléments

• 🔄 Pour extraire un carré parfait: décomposer le radicand en produit d’un carré parfait et d’un facteur, séparer les racines du produit, calculer la racine du carré parfait

💡 Astuce mémo

√(a+b) ≠ √a + √b

📖 4. Puissances et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Écriture scientifique : Une écriture scientifique est de la forme a × 10ⁿ, avec 1 ≤ a < 10 et n entier.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour a ≠ 0 et n,p ∈ ℤ, les règles fondamentales sont $a^n\times a^p=a^{n+p}$, $\frac{a^n}{a^p}=a^{n-p}$ et $(a^n)^p=a^{np}$.

📐 Formule — Pour a,b réels et n ∈ ℤ, on a $(ab)^n=a^n b^n$.

📐 Formule — Pour a ≠ 0 et n ∈ ℤ, $a^{-1}=\frac{1}{a}$ et $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$.

Compléments

• Pour exprimer un calcul sous la forme d’une seule puissance, on applique les règles correspondant à la multiplication, à la division ou à la puissance de puissances.

💡 Astuce mémo

Même base : multiplier additionne, diviser soustrait, puissance multiplie

📖 5. Repérage dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Repère du plan : Trois points O, I et J non alignés définissent un repère du plan noté (O ; I ; J), où O est l’origine, (OI) l’axe des abscisses et (OJ) l’axe des ordonnées.
• Coordonnées d’un point : Dans un repère, tout point M est repéré par un unique couple de nombres réels (xM ; yM), appelé ses coordonnées, où xM est l’abscisse et yM l’ordonnée.

★ À maîtriser

📌 Un repère quelconque n’a ni axes perpendiculaires ni unités nécessairement identiques, un repère orthogonal a des axes perpendiculaires mais pas nécessairement la même unité, et un repère orthonormé a des axes perpendiculaires avec la même unité.

Compléments

• Dans le repère (O ; I ; J), les coordonnées sont O(0 ; 0), I(1 ; 0) et J(0 ; 1).

💡 Astuce mémo

Abscisse sur (OI), ordonnée sur (OJ)

📊 Tableaux de synthèse

Inclusions des ensembles numériques