Fiche de révision : Nombres réels et suites numériques

📋 Plan du Cours

1. Rationnels et développements décimaux
2. Ordre et partie entière
3. Intervalles et densité des réels
4. Extrema et bornes d’un ensemble
5. Définition et types de suites
6. Limites et convergence des suites
7. Opérations et ordre des limites
8. Suites adjacentes et suites extraites
9. Suites de Cauchy

📖 1. Rationnels et développements décimaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre rationnel : Un nombre rationnel est un nombre qui peut s’écrire $\frac{p}{q}$ avec $p\in\mathbb{Z}$ et $q\in\mathbb{N}^{*}$.

★ À maîtriser

📌 Un nombre est rationnel si et seulement si son développement décimal est fini ou périodique à partir d’un certain rang.

• Le nombre $\sqrt{2}$ est irrationnel : une fraction irréductible égale à $\sqrt{2}$ conduirait à montrer que son numérateur et son dénominateur sont tous deux pairs.

Compléments

• Les inclusions entre ensembles de nombres sont $\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$.

• Un nombre décimal est de la forme $\frac{a}{10^n}$, avec $a\in\mathbb{Z}$ et $n\in\mathbb{N}$.

• Dans la présentation décimale du cours, $1=0{,}999999\ldots$ possède deux développements décimaux distincts.

💡 Astuce mémo

Décimal fini ou périodique : rationnel ; développement non périodique : irrationnel.

📖 2. Ordre et partie entière

🔑 Notions clés & Définitions

• Relation d’ordre : Une relation d’ordre est une relation réflexive, antisymétrique et transitive.
• Partie entière : La partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ est l’unique entier relatif vérifiant $E(x)\leq x<E(x)+1$.
• Relation d’ordre total : Une relation d’ordre est totale lorsque, pour tous éléments $x,y$, on a $xRy$ ou $yRx$.

★ À maîtriser

• La relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$ est un ordre total.

Compléments

• La propriété d’Archimède affirme que, pour tout réel $x$, il existe un entier naturel strictement supérieur à $x$.

• On a $E(2{,}853)=2$ et $E(\pi)=3$.

📖 3. Intervalles et densité des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Intervalle : Un intervalle de $\mathbb{R}$ est une partie contenant tout réel situé entre deux de ses éléments.
• Voisinage : Un voisinage de $a$ est une partie contenant un intervalle ouvert qui contient $a$.

★ À maîtriser

• Tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient une infinité de rationnels.

• Tout intervalle ouvert non vide de $\mathbb{R}$ contient une infinité d’irrationnels.

Compléments

• L’ensemble vide et $\mathbb{R}$ sont des intervalles.

📖 4. Extrema et bornes d’un ensemble

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum : Le maximum d’une partie $A$ est un élément de $A$ supérieur ou égal à tous ses éléments.
• Borne supérieure : La borne supérieure de $A$ est son plus petit majorant, lorsqu’il existe.
• Borne inférieure : La borne inférieure de $A$ est son plus grand minorant, lorsqu’il existe.
• Minimum : Le minimum d’une partie $A$ est un élément de $A$ inférieur ou égal à tous ses éléments.
• Majorant : Un majorant de $A$ est un réel $M$ tel que tout élément $x$ de $A$ vérifie $x\leq M$.
• Minorant : Un minorant de $A$ est un réel $m$ tel que tout élément $x$ de $A$ vérifie $x\geq m$.

★ À maîtriser

• Toute partie non vide et majorée de $\mathbb{R}$ admet une borne supérieure, et toute partie non vide et minorée admet une borne inférieure.

Compléments

• L’intervalle $[0{,}1[$ a pour minimum $0$, n’a pas de maximum et a pour borne supérieure $1$.

💡 Astuce mémo

Maximum appartient à l’ensemble ; supremum peut lui être extérieur.

📖 5. Définition et types de suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite numérique : Une suite réelle est une application de $\mathbb{N}$ dans $\mathbb{R}$, dont le terme d’indice $n$ est noté $u_n$.
• Suite arithmétique : Une suite arithmétique vérifie $U_{n+1}=U_n+r$, où $r$ est sa raison.
• Suite géométrique : Une suite géométrique vérifie $V_{n+1}=qV_n$, où $q$ est sa raison.
• Suite bornée : Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.
• Suite périodique : Une suite est périodique s’il existe un entier $p\geq1$ tel que $u_{n+p}=u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$.

★ À maîtriser

📌 Une suite est croissante si $u_{n+1}\geq u_n$ et strictement croissante si $u_{n+1}>u_n$ ; les inégalités s’inversent pour une suite décroissante.

Compléments

• Une suite récurrente linéaire du second ordre vérifie $u_{n+1}=a u_n+b u_{n-1}$ et se résout à l’aide de l’équation caractéristique $r^2-ar-b=0$.

• La suite de Fibonacci est définie par $U_0=U_1=1$ et $U_{n+1}=U_n+U_{n-1}$ pour $n\geq1$.

📐 Formule - Pour une suite arithmétique, $U_p=U_{n_0}+(p-n_0)r$ et $\sum_{k=n_0}^{p}U_k=\frac{(p-n_0+1)(U_{n_0}+U_p)}{2}$.

📐 Formule - Pour une suite géométrique, $V_p=q^{p-n_0}V_{n_0}$ et, si $q\neq1$, $\sum_{k=n_0}^{p}V_k=V_{n_0}\frac{1-q^{p-n_0+1}}{1-q}$.

📖 6. Limites et convergence des suites

🔑 Notions clés & Définitions

• Limite finie : Une suite $u_n$ converge vers $l$ si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N\in\mathbb{N}$ tel que $n\geq N$ entraîne $|u_n-l|\leq\varepsilon$.
• Limite infinie : Une suite tend vers $+\infty$ si, pour tout $A>0$, ses termes vérifient finalement $u_n>A$ ; elle tend vers $-\infty$ s’ils vérifient finalement $u_n\leq-A$.

★ À maîtriser

📌 Une suite est convergente si elle admet une limite finie ; elle est divergente si elle n’en admet pas.

• La limite d’une suite convergente est unique.

• Toute suite convergente est bornée.

Compléments

• Une suite converge vers $l$ si et seulement si $u_n-l$ converge vers $0$.

📖 7. Opérations et ordre des limites

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $u_n\to l$ et $v_n\to l'$, alors $\lambda u_n\to\lambda l$ et $u_n+v_n\to l+l'$.

📐 Formule - Si $u_n\to l$ et $v_n\to l'$, alors $u_nv_n\to ll'$.

📌 Si $u_n\leq v_n\leq w_n$ et si $u_n$ et $w_n$ convergent vers le même réel $l$, alors $v_n\to l$.

📌 Toute suite croissante et majorée converge, et toute suite décroissante et minorée converge.

Compléments

📐 Formule - Si $u_n\to l\neq0$, alors $u_n\neq0$ à partir d’un certain rang et $\frac{1}{u_n}\to\frac{1}{l}$.

• Si une suite $u_n$ est bornée et si $v_n\to0$, alors $u_nv_n\to0$.

📌 Si $u_n\leq v_n$ pour tout $n$ et si les deux suites convergent, alors $\lim u_n\leq\lim v_n$.

💡 Astuce mémo

Le terme encadré entre deux suites qui convergent vers le même réel est attiré vers leur limite commune.

📖 8. Suites adjacentes et suites extraites

🔑 Notions clés & Définitions

• Suites adjacentes : Deux suites sont adjacentes si la première est croissante, la seconde décroissante, si $u_n\leq v_n$ et si $v_n-u_n\to0$.
• Suite extraite : Une suite extraite de $u_n$ est une suite de la forme $u_{\varphi(n)}$, où $\varphi:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ est strictement croissante.

★ À maîtriser

• Deux suites adjacentes convergent vers la même limite.

• Toute suite bornée admet une suite extraite convergente.

Compléments

• Toute suite extraite d’une suite convergeant vers $l$ converge également vers $l$.

💡 Astuce mémo

Adjacentes : l’une monte, l’autre descend, leur écart tend vers zéro.

📖 9. Suites de Cauchy

🔑 Notions clés & Définitions

• Suite de Cauchy : Une suite est de Cauchy si, pour tout $\varepsilon>0$, il existe $N$ tel que $m,n\geq N$ entraîne $|u_n-u_m|<\varepsilon$.

📝 Points essentiels

• Toute suite de Cauchy est bornée.