QCM : Nombres réels et suites numériques (11 questions)

Question 1

1. Un nombre réel a un développement décimal qui se termine après un nombre fini de chiffres. Comment le classe-t-on ?

Comme un nombre nécessairement entier

Comme un nombre irrationnel

Comme un nombre dont la rationalité est indéterminée

Comme un nombre rationnel

Explication

Un réel est rationnel si et seulement si son développement décimal est fini ou périodique à partir d’un certain rang. Un développement non périodique indique une irrationalité, tandis qu’une période dès le premier chiffre n’est pas requise.

Answer

Comme un nombre rationnel

Question 2

2. Pourquoi ne peut-on pas écrire $\sqrt{2}$ sous la forme d’une fraction irréductible d’entiers ?

Une telle fraction conduirait à ce que son numérateur et son dénominateur soient tous deux pairs.

Une telle fraction conduirait à ce que son numérateur soit pair et son dénominateur impair.

Une telle fraction conduirait à ce que son numérateur soit impair et son dénominateur pair.

Une telle fraction conduirait à ce que son numérateur et son dénominateur soient tous deux impairs.

Explication

La supposition qu’une fraction irréductible représente $\sqrt{2}$ entraîne que son numérateur et son dénominateur sont tous deux pairs, en contradiction avec l’irréductibilité. L’absence de développement décimal est une confusion, et les autres réponses ne donnent pas la contradiction nécessaire.

Answer

Une telle fraction conduirait à ce que son numérateur et son dénominateur soient tous deux pairs.

Question 3

3. Pour $x=-2{,}3$ , quel entier $E(x)$ vérifie $E(x)\leq x<E(x)+1$ ?

-2

-3

2

-4

Explication

La partie entière est le plus grand entier inférieur ou égal à $x$ : $-3\leq -2{,}3<-2$ , donc $E(x)=-3$ . L’arrondi donne $-2$ , la valeur absolue mène à $2$ , et $-4$ est inférieur à l’entier recherché.

Answer

Elle constitue un ordre total.

Answer

Une partie qui contient un intervalle ouvert contenant $$a$$

Answer

Elle représente l’écart constant entre deux termes consécutifs.

Answer

La convergence exige une limite réelle finie, tandis que la convergence vers l’infini décrit des termes qui dépassent finalement tout seuil fixé.

Answer

Elle converge vers un réel.

Answer

Toute suite bornée admet une suite extraite convergente.

Answer

À partir d’un certain rang, tous ses termes sont arbitrairement proches les uns des autres.

Question 4

4. Sur l’ensemble des nombres réels, quelle propriété possède la relation $\leq$ ?

Elle constitue une relation d’équivalence.

Elle constitue un ordre total.

Elle constitue un ordre partiel qui ne compare pas toute paire.

Elle constitue un ordre strict, sans réflexivité.

Explication

La relation $\leq$ sur $\mathbb{R}$ est un ordre total : toute paire de réels est comparable. Un ordre partiel ne compare pas nécessairement chaque paire, une relation d’équivalence relève d’autres propriétés, et l’ordre strict associé n’est pas réflexif.

Question 5

5. Qu’est-ce qu’un voisinage d’un réel $a$ ?

Un intervalle fermé dont

a

est nécessairement une extrémité

Une partie qui contient un intervalle ouvert contenant

a

Une partie constituée des réels strictement supérieurs à

a

Un intervalle ouvert dont les deux extrémités sont symétriques par rapport à

a

Explication

Un voisinage de $a$ est une partie qui contient un intervalle ouvert contenant ce réel. Un intervalle fermé ayant $a$ pour extrémité n’est pas requis par cette définition.

Question 6

6. Quel est le minimum de l’intervalle $[0,1[$ ?

Aucun réel

0

1

\frac{1}{2}

Explication

Le réel $0$ appartient à $[0,1[$ et est inférieur ou égal à tous ses éléments, donc c’est son minimum. Le réel $1$ est sa borne supérieure, mais il n’appartient pas à l’intervalle.

Question 7

7. Quel rôle joue la raison $r$ dans la définition d’une suite arithmétique ?

Elle borne les termes de la suite par une valeur supérieure.

Elle représente le quotient constant entre deux termes consécutifs.

Elle fixe la période après laquelle les termes se répètent.

Elle représente l’écart constant entre deux termes consécutifs.

Explication

Dans une suite arithmétique, chaque terme s’obtient en ajoutant la raison $r$ au terme précédent, ce qui donne un écart constant. Un quotient constant caractérise plutôt une suite géométrique.

Question 8

8. Quelle différence distingue la convergence d’une suite de sa convergence vers l’infini ?

La convergence exige une limite réelle finie, tandis que la convergence vers l’infini décrit des termes qui dépassent finalement tout seuil fixé.

La convergence décrit une suite croissante, tandis que la convergence vers l’infini décrit une suite décroissante.

La convergence exige une limite réelle unique, tandis que la convergence vers l’infini signifie que la suite possède plusieurs limites finies.

La convergence exige que les termes deviennent égaux à une limite, tandis que la convergence vers l’infini exige qu’ils restent bornés.

Explication

Une suite convergente admet une limite finie, alors qu’une suite qui tend vers $+\infty$ finit par dépasser tout réel positif fixé. La convergence ne demande pas que les termes deviennent égaux à leur limite, mais qu’ils s’en rapprochent arbitrairement.

Question 9

9. Une suite est croissante et majorée. Quelle conséquence peut-on en déduire pour sa limite ?

Elle est nécessairement constante.

Elle diverge sans limite déterminée.

Elle tend vers plus l’infini.

Elle converge vers un réel.

Explication

Une suite croissante et majorée converge, donc elle admet une limite finie. Le fait d’être majorée ne signifie pas qu’elle tende vers plus l’infini.

Question 10

10. Une suite bornée ne semble pas converger. Quel résultat permet d’extraire de ses termes une suite qui, elle, converge ?

Toute suite bornée converge après suppression de ses premiers termes.

Toute suite bornée admet deux suites extraites de limites opposées.

Toute suite bornée admet une suite extraite convergente.

Toute suite bornée possède une suite extraite de même limite.

Explication

Le théorème de Bolzano-Weierstrass affirme que toute suite bornée possède au moins une suite extraite convergente. Cela ne signifie pas que la suite entière converge, contrairement à ce que suggère l’idée d’une convergence après suppression de quelques termes.

Question 11

11. Quelle propriété caractérise une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$ ?

La distance entre deux termes consécutifs tend vers une limite strictement positive.

À partir d’un certain rang, ses termes sont arbitrairement proches d’une limite fixée.

À partir d’un certain rang, tous ses termes sont arbitrairement proches les uns des autres.

Ses termes sont tous compris entre deux bornes indépendantes de l’indice.

Explication

Dans une suite de Cauchy, pour tout $\varepsilon>0$ , il existe un rang à partir duquel la distance entre n’importe quels deux termes est inférieure à $\varepsilon$ . La proximité avec une limite fixée définit la convergence, et non la propriété de Cauchy elle-même.

QCM : Nombres réels et suites numériques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un nombre réel a un développement décimal qui se termine après un nombre fini de chiffres. Comment le classe-t-on ?

2. Pourquoi ne peut-on pas écrire $\sqrt{2}$ sous la forme d’une fraction irréductible d’entiers ?

3. Pour $x=-2{,}3$ , quel entier $E(x)$ vérifie $E(x)\leq x<E(x)+1$ ?

4. Sur l’ensemble des nombres réels, quelle propriété possède la relation $\leq$ ?

5. Qu’est-ce qu’un voisinage d’un réel $a$ ?

6. Quel est le minimum de l’intervalle $[0,1[$ ?

7. Quel rôle joue la raison $r$ dans la définition d’une suite arithmétique ?

8. Quelle différence distingue la convergence d’une suite de sa convergence vers l’infini ?

9. Une suite est croissante et majorée. Quelle conséquence peut-on en déduire pour sa limite ?

10. Une suite bornée ne semble pas converger. Quel résultat permet d’extraire de ses termes une suite qui, elle, converge ?

11. Quelle propriété caractérise une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$ ?

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QCM : Nombres réels et suites numériques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Un nombre réel a un développement décimal qui se termine après un nombre fini de chiffres. Comment le classe-t-on ?

2. Pourquoi ne peut-on pas écrire 2\sqrt{2}2​ sous la forme d’une fraction irréductible d’entiers ?

3. Pour x=−2,3x=-2{,}3x=−2,3, quel entier E(x)E(x)E(x) vérifie E(x)≤x<E(x)+1E(x)\leq x<E(x)+1E(x)≤x<E(x)+1 ?

4. Sur l’ensemble des nombres réels, quelle propriété possède la relation ≤\leq≤ ?

5. Qu’est-ce qu’un voisinage d’un réel aaa ?

6. Quel est le minimum de l’intervalle [0,1[[0,1[[0,1[ ?

7. Quel rôle joue la raison rrr dans la définition d’une suite arithmétique ?

8. Quelle différence distingue la convergence d’une suite de sa convergence vers l’infini ?

9. Une suite est croissante et majorée. Quelle conséquence peut-on en déduire pour sa limite ?

10. Une suite bornée ne semble pas converger. Quel résultat permet d’extraire de ses termes une suite qui, elle, converge ?

11. Quelle propriété caractérise une suite de Cauchy dans R\mathbb{R}R ?

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2. Pourquoi ne peut-on pas écrire $\sqrt{2}$ sous la forme d’une fraction irréductible d’entiers ?

3. Pour $x=-2{,}3$ , quel entier $E(x)$ vérifie $E(x)\leq x<E(x)+1$ ?

4. Sur l’ensemble des nombres réels, quelle propriété possède la relation $\leq$ ?

5. Qu’est-ce qu’un voisinage d’un réel $a$ ?

6. Quel est le minimum de l’intervalle $[0,1[$ ?

7. Quel rôle joue la raison $r$ dans la définition d’une suite arithmétique ?

11. Quelle propriété caractérise une suite de Cauchy dans $\mathbb{R}$ ?