Fiche de révision : Nombres relatifs et calculs

📋 Plan du Cours

1. Signes et nombres relatifs
2. Axe des abscisses
3. Opposés et comparaison
4. Repérage dans le plan
5. Addition de nombres relatifs
6. Parenthèses et distributivité
7. Multiplication et division
8. Opposé, inverse et calculs

📖 1. Signes et nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres relatifs : Ensemble formé par la réunion des nombres positifs et négatifs

★ À maîtriser

• Zéro est à la fois positif et négatif, et l’on a +0 = 0 = −0.

Compléments

• Tout nombre possède un signe, même lorsque le signe positif est implicite, comme dans 27 = +27.

💡 Astuce mémo

Positif à droite, négatif à gauche, zéro à la frontière

📖 2. Axe des abscisses

🔑 Notions clés & Définitions

• Axe des abscisses : Droite graduée horizontale sur laquelle une unité de longueur choisie est reportée régulièrement à partir de l’origine
• Intervalle : Écart entre deux tirets successifs d’un axe gradué et sa valeur n’est pas nécessairement égale à 1

📝 Points essentiels

• Chaque point de l’axe est repéré par un nombre appelé son abscisse, et chaque nombre correspond à un point.

• 🔄 Pour déterminer la valeur d’un intervalle:

  1. Compter les espaces entre deux abscisses indiquées
  2. Calculer leur écart
  3. Diviser l’écart par le nombre d’intervalles

💡 Astuce mémo

Origine → intervalles réguliers → abscisses

📖 3. Opposés et comparaison

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres opposés : Deux nombres relatifs dont la seule différence est le signe

★ À maîtriser

📌 La somme de deux nombres opposés est toujours égale à 0, et l’opposé de 0 est 0.

📌 Pour comparer deux nombres relatifs, le nombre positif est supérieur au nombre négatif, et parmi deux nombres négatifs le plus petit est celui qui correspond à la température la plus froide.

Compléments

📌 Sur un axe des abscisses, plus un nombre est situé à gauche, plus il est petit.

💡 Astuce mémo

Opposés : même valeur, signe différent ; comparaison : plus à gauche = plus petit

📖 4. Repérage dans le plan

🔑 Notions clés & Définitions

• Coordonnées : Abscisse et ordonnée d’un point du plan, séparées par un point-virgule, l’abscisse étant écrite en premier
• Axe des ordonnées : Axe similaire à l’axe des abscisses, tracé perpendiculairement à celui-ci pour repérer les points dans le plan

📝 Points essentiels

• Le point A d’abscisse −3 et d’ordonnée 8 se note A(−3 ; 8).

💡 Astuce mémo

Abscisse d’abord, ordonnée ensuite

📖 5. Addition de nombres relatifs

★ À maîtriser

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de même signe, on additionne leurs distances à zéro et on conserve leur signe commun.

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on soustrait la plus petite distance à zéro de la plus grande et on conserve le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro.

Compléments

• La somme −7 + 5 est égale à −2, car la distance à zéro de −7 est supérieure à celle de +5.

💡 Astuce mémo

Même direction → addition des distances ; directions contraires → soustraction

📖 6. Parenthèses et distributivité

📝 Points essentiels

• Une parenthèse libre précédée de rien ou du signe + peut être supprimée sans modifier les signes de son contenu.

• Une parenthèse libre précédée du signe − peut être supprimée en changeant tous les signes + et − de son contenu.

• Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

• Pour développer 2 × (3x + 5), on multiplie 2 par chacun des termes de la parenthèse, ce qui donne 6x + 10.

💡 Astuce mémo

Parenthèse libre : on enlève ; parenthèse accrochée par × : on distribue

📖 7. Multiplication et division

📝 Points essentiels

📌 Lors d’une multiplication ou d’une division, deux signes différents donnent un signe − et deux signes identiques donnent un signe +.

📌 Dans une multiplication ou une division comportant plusieurs facteurs, un nombre pair de signes − donne un résultat positif et un nombre impair de signes − donne un résultat négatif.

• Pour multiplier ou diviser des nombres relatifs, on détermine d’abord le signe en comptant les signes −, puis on effectue l’opération avec les nombres privés de leur signe.

📌 Dans −2², la puissance porte sur 2 avant le signe, tandis que dans (−2)², la puissance porte sur −2 tout entier.

💡 Astuce mémo

Pair = +, impair = − pour le nombre de signes −

📖 8. Opposé, inverse et calculs

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse : Nombre non nul a qui se note a⁻¹ ou 1/a et dont le produit avec a est égal à 1

★ À maîtriser

📌 L’opposé agit avec l’addition, tandis que l’inverse agit avec la multiplication.

• 🔄 Pour développer et réduire une expression:
  1. Distribuer chaque facteur aux termes des parenthèses
  2. Supprimer les parenthèses
  3. Regrouper les termes de même nature

Compléments

• L’inverse de 1/2 est 2, car on retourne la fraction.

💡 Astuce mémo

Opposé avec l’addition ; inverse avec la multiplication

📊 Tableaux de synthèse

Opposé et inverse