Fiche de révision : Nombres relatifs et fractions

📋 Plan du Cours

1. Signes des nombres relatifs
2. Opérations sur les fractions
3. Priorités de calcul
4. Résolution de problèmes
5. Addition et soustraction relatives
6. Produits de nombres relatifs

📖 1. Signes des nombres relatifs

★ À maîtriser

📌 Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif, tandis que le produit de deux nombres relatifs de signes différents est négatif.

📌 L’opposé d’un nombre positif est négatif et l’opposé d’un nombre négatif est positif, par exemple - (+4) = -4 et - (-4) = +4.

Compléments

📌 Dans le produit de trois nombres relatifs négatifs, le résultat est négatif.

💡 Astuce mémo

Même signe → positif ; signes différents → négatif.

📖 2. Opérations sur les fractions

★ À maîtriser

📌 Une fraction peut être simplifiée en multipliant ou en divisant son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul : $\frac{a}{b}=\frac{a\times K}{b\times K}=\frac{a\div K}{b\div K}$.

📐 Formule — Pour additionner ou soustraire deux fractions de même dénominateur, on conserve le dénominateur et on additionne ou soustrait les numérateurs : $\frac{a}{d}+\frac{b}{d}=\frac{a+b}{d}$.

📐 Formule — Pour multiplier deux fractions, on multiplie les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux : $\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\times c}{b\times d}$.

📐 Formule — Pour diviser une fraction par une autre, on multiplie la première par l’inverse de la seconde : $\frac{a}{b}:\frac{c}{d}=\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}=\frac{a\times d}{b\times c}$.

Compléments

• La fraction $\frac{12}{16}$ se simplifie en $\frac{3}{4}$ en divisant le numérateur et le dénominateur par 4.

💡 Astuce mémo

Simplifier, additionner, multiplier, puis diviser.

📖 3. Priorités de calcul

★ À maîtriser

📌 Dans un enchaînement d’opérations, les multiplications et les divisions sont effectuées avant les additions et les soustractions, en allant de gauche à droite.

📌 Lorsqu’une expression contient des parenthèses, les calculs situés à l’intérieur des parenthèses sont effectués en premier.

Compléments

📐 Formule — Une fraction peut être interprétée comme une division : $\frac{a+b}{c}=(a+b):c$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → multiplications et divisions → additions et soustractions.

📖 4. Résolution de problèmes

★ À maîtriser

📌 Dans un problème, le mot « de » ou « du » se traduit par une multiplication.

• Pour calculer une quantité restante, on soustrait la quantité consommée de la quantité totale.

Compléments

• Dans une classe de 28 élèves, les $\frac{3}{4}$ pratiquent un sport en club, soit $\frac{3}{4}\times28=21$ élèves.

• Si Thomas boit les $\frac{2}{3}$ d’une bouteille de 1,5 L, il boit 1 L et il reste 0,5 L d’eau.

💡 Astuce mémo

« De » signifie multiplier → la fraction donne la part recherchée.

📖 5. Addition et soustraction relatives

★ À maîtriser

📌 Pour additionner deux nombres relatifs de signes différents, on effectue la différence entre leurs distances à zéro et on conserve le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro.

📌 Soustraire un nombre relatif revient à additionner son opposé : $a-b=a+(-b)$.

Compléments

• L’opération $(-21)+(+8)$ donne -13, car 21 est supérieur à 8 et le signe conservé est négatif.

📌 La somme de deux nombres relatifs opposés est toujours nulle : $-3+3=0$ et $7+(-7)=0$.

💡 Astuce mémo

Soustraire un nombre revient à additionner son opposé.

📖 6. Produits de nombres relatifs

★ À maîtriser

📌 Le produit de plusieurs nombres positifs est toujours positif.

📌 Dans un produit de nombres négatifs, si le nombre de facteurs négatifs est pair, le résultat est positif ; s’il est impair, le résultat est négatif.

Compléments

• Le produit $(-7)\times(-2)$ est égal à +14, car il contient deux facteurs négatifs.

• Le produit $(-7)\times(-2)\times(-3)$ est égal à -42, car il contient trois facteurs négatifs.

💡 Astuce mémo

Un nombre pair de facteurs négatifs donne + ; un nombre impair donne −.

📊 Tableaux de synthèse

Signes des produits relatifs