QCM : Numération et nombres premiers — 7 questions

Questions et réponses du QCM

1. Quelle propriété caractérise un nombre premier ?

Il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
Il possède au moins trois diviseurs distincts, dont 1 et lui-même.
Il possède un seul diviseur distinct, qui est lui-même.
Il est divisible par tous les nombres entiers inférieurs à lui.

Il possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Explication

Un nombre premier possède exactement deux diviseurs distincts, 1 et lui-même. Le nombre 1 constitue le cas de confusion classique, car il n’a qu’un seul diviseur distinct.

2. Si a=b×ca=b\times c avec des entiers naturels non nuls, quelle relation est correcte ?

a, b et c sont tous des nombres premiers dans cette égalité.
b et c sont des diviseurs de a, tandis qu'a est un multiple de b et de c.
a et b sont des diviseurs de c, tandis que c est un multiple de a et de b.
b et c sont des multiples de a, tandis qu'a est un diviseur de chacun.

b et c sont des diviseurs de a, tandis qu'a est un multiple de b et de c.

Explication

Dans une égalité de la forme a=b×ca=b\times c, la multiplication montre que b et c divisent a, tandis qu'a est divisible par chacun d’eux. L’égalité ne permet pas de conclure que les trois nombres sont premiers.

3. Pourquoi le nombre 1 n’est-il pas un nombre premier ?

Parce qu’il ne possède qu’un seul diviseur distinct, lui-même.
Parce qu’il est divisible par tous les nombres premiers pairs.
Parce qu’il possède trois diviseurs distincts, dont 0 et lui-même.
Parce qu’il ne peut pas être écrit comme un produit de deux nombres.

Parce qu’il ne possède qu’un seul diviseur distinct, lui-même.

Explication

La définition d’un nombre premier exige exactement deux diviseurs distincts, alors que 1 n’en possède qu’un : lui-même. Le nombre 1 ne devient donc pas premier en raison de sa forme multiplicative.

4. Quel critère permet de conclure qu’un entier est divisible par 2 ?

Son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.
La somme de ses chiffres est divisible par 2.
Son chiffre des unités est 0 ou 5.
La somme de ses chiffres est divisible par 9.

Son chiffre des unités est 0, 2, 4, 6 ou 8.

Explication

La divisibilité par 2 se reconnaît grâce au chiffre des unités, qui doit être pair : 0, 2, 4, 6 ou 8. Le critère des unités 0 ou 5 concerne la divisibilité par 5.

5. Un entier est-il divisible par 9 lorsque quelle condition est vérifiée ?

Son chiffre des unités est divisible par 9.
La somme de ses chiffres est divisible par 9.
Le nombre de ses chiffres est un multiple de 9.
La somme de ses chiffres est un nombre pair.

La somme de ses chiffres est divisible par 9.

Explication

Pour tester la divisibilité par 9, on additionne les chiffres du nombre et on vérifie que cette somme est divisible par 9. Le chiffre des unités intervient plutôt dans les critères de divisibilité par 2 ou par 5.

6. Quelle affirmation décrit correctement la décomposition en facteurs premiers d’un entier supérieur ou égal à 2 ?

Elle existe et elle est unique à l’ordre près.
Elle contient nécessairement un facteur égal à 1.
Elle dépend du premier diviseur choisi et peut donner des produits différents.
Elle existe seulement pour les nombres qui possèdent deux diviseurs.

Elle existe et elle est unique à l’ordre près.

Explication

Tout entier supérieur ou égal à 2 possède une décomposition en produit de facteurs premiers, et le produit obtenu est unique à l’ordre des facteurs près. Les étapes intermédiaires peuvent changer, mais pas les facteurs premiers finaux ni leurs multiplicités.

7. Quelle est la décomposition de 20 en facteurs premiers ?

20=24×520=2^4\times5
20=2×1020=2\times10
20=22×5220=2^2\times5^2
20=4×520=4\times5

$$20=2^4\times5$$

Explication

En facteurs premiers, 20 s’écrit 2×2×2×2×5=24×52\times2\times2\times2\times5=2^4\times5. Les écritures avec 4 ou 10 contiennent encore des facteurs qui ne sont pas premiers.

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Qu'est-ce qu'un nombre premier ?

Un entier avec exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.

Que sont b et c si a=b×ca=b\times c avec a,b,c entiers naturels non nuls ?

b et c sont des diviseurs de a.

Que représente a si a=b×ca=b\times c avec b et c entiers naturels non nuls ?

a est un multiple de b et de c.

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