Fiche de révision : Numérisation et traitement numérique du signal

📋 Plan du Cours

1. Chaîne d’acquisition numérique
2. Étapes de la numérisation
3. Échantillonnage et spectre
4. Analyse spectrale par FFT
5. Filtrage numérique récursif

📖 1. Chaîne d’acquisition numérique

🔑 Notions clés & Définitions

• Numérisation : Transformation d’un signal analogique en signal numérique par échantillonnage, quantification et codage sur un nombre déterminé de bits.

★ À maîtriser

• Une chaîne d’acquisition convertit le signal analogique d’entrée en signal numérique par échantillonnage et conversion analogique-numérique, puis peut effectuer un traitement numérique avant une conversion numérique-analogique et un filtrage de restitution.

Compléments

• Le microprocesseur peut réaliser des calculs tels que la FFT et le filtrage numérique sur le signal acquis.

• Le convertisseur numérique-analogique transforme le signal numérique traité en un signal analogique de sortie.

📖 2. Étapes de la numérisation

★ À maîtriser

• 🔄 La numérisation suit trois étapes :

  1. Échantillonner le signal analogique.
  2. Quantifier les échantillons.
  3. Coder les valeurs quantifiées sur un nombre de bits.

• La fréquence d’échantillonnage $F_e$ est imposée par l’horloge et fixe l’intervalle entre deux échantillons.

Compléments

📐 Formule - La période d’échantillonnage vérifie $T_e = \frac{1}{F_e}$.

📐 Formule - Pour $N_b$ échantillons prélevés à la période $T_e$, la durée totale d’acquisition vérifie $t_{acq}=N_bT_e$.

• La numérisation améliore l’immunité au bruit lorsque les fluctuations parasites de faible amplitude ne suffisent pas à modifier la valeur d’un bit.

• La numérisation facilite le stockage et la compression des données, notamment pour des fichiers audio ou vidéo.

• La numérisation peut entraîner une perte d’information par quantification et un repliement du spectre lorsque le critère de Shannon n’est pas respecté.

💡 Astuce mémo

Échantillonner, quantifier, puis coder : les trois étapes s’enchaînent.

📖 3. Échantillonnage et spectre

🔑 Notions clés & Définitions

• Échantillonnage : Consiste à relever les valeurs d’un signal analogique à intervalles réguliers déterminés par la période $T_e$.
• Quantification : Associe chaque échantillon à un niveau numérique parmi les niveaux permis par le calibre et le nombre de bits.

★ À maîtriser

📌 Pour reconstruire le signal analogique sans repliement spectral, le critère de Shannon exige que la fréquence d’échantillonnage soit au moins le double de la fréquence maximale du signal, soit $F_e\geq 2f_{max}$.

Compléments

📌 Un échantillonneur idéal relève le signal à des instants ponctuels, tandis qu’un échantillonneur bloque maintient chaque valeur échantillonnée jusqu’au relevé suivant.

📐 Formule - Pour un calibre de largeur $V_{cal}$ et une résolution de $N$ bits, le pas de quantification vaut $q=\frac{V_{cal}}{2^N}$.

📌 Le calibre doit être adapté à l’amplitude du signal afin de limiter la perte d’information lors de la quantification.

• La quantification d’un signal analogique introduit une erreur appelée bruit de quantification.

• L’échantillonnage d’un signal sinusoïdal de fréquence $f$ produit un spectre périodisé comportant des répliques espacées de la fréquence d’échantillonnage $F_e$.

• Lorsque le critère de Shannon est violé, les répliques spectrales se chevauchent et le spectre échantillonné ne permet plus de retrouver le signal d’origine.

💡 Astuce mémo

L’échantillonnage périodise le spectre et peut provoquer son repliement.

📖 4. Analyse spectrale par FFT

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution spectrale : Le plus petit écart entre deux fréquences que l’algorithme FFT peut distinguer.

★ À maîtriser

• L’algorithme FFT de Cooley et Tukey calcule les composantes spectrales d’un signal numérique à partir de ses échantillons.

Compléments

📐 Formule - Pour une fréquence d’échantillonnage $F_e$ et $N$ points d’acquisition, la résolution spectrale vaut $\Delta f=\frac{F_e}{N}$.

• Un nombre insuffisant de points d’acquisition peut empêcher la FFT de distinguer correctement deux raies spectrales proches.

📖 5. Filtrage numérique récursif

🔑 Notions clés & Définitions

• Filtrage numérique : Traite les échantillons d’un signal au moyen d’une relation de récurrence entre les valeurs d’entrée et de sortie.

★ À maîtriser

• La discrétisation de l’équation différentielle d’un filtre analogique remplace la dérivée par une approximation aux différences finies et conduit à une relation de récurrence pour les échantillons de sortie.

Compléments

• Pour un filtre analogique RC passe-bas du premier ordre, la constante de temps vaut $\tau=RC$.

📐 Formule - Pour le filtre RC considéré, l’approximation par différences finies conduit à $s_{n+1}=s_n+\frac{T_e}{\tau}(e_n-s_n)$.

• Le calcul récursif des sorties nécessite les valeurs d’entrée et une condition initiale de sortie.

📌 Pour filtrer numériquement sans repliement, la fréquence d’échantillonnage doit respecter le critère de Shannon appliqué à la fréquence maximale du signal d’entrée.