Fiche de révision : Racines et calcul algébrique

📋 Plan du Cours

1. Histoire du calcul numérique
2. Fractions et priorités opératoires
3. Puissances et écriture scientifique
4. Racines carrées et leurs propriétés
5. Expressions algébriques et identités
6. Expressions rationnelles
7. Exprimer une variable en fonction d’une autre

📖 1. Histoire du calcul numérique

📝 Points essentiels

• Vers 825, Al-Khwarizmi consacre un traité au système de numération venu d’Inde ; son nom latinisé donne le mot « algorithme », et al-jabr donne le mot « algèbre ».

• En 1591, Viète désigne par des lettres non seulement l’inconnue, mais aussi les données du problème, ce qui permet un raisonnement algébrique général.

📖 2. Fractions et priorités opératoires

🔑 Notions clés & Définitions

• Inverse d’un réel : L’inverse d’un réel non nul b est l’unique réel noté $\frac{1}{b}$ tel que $b\times\frac{1}{b}=1$.
• Quotient : Le quotient de a par un réel non nul b est le réel $\frac{a}{b}=a\times\frac{1}{b}$, unique solution de $b x=a$.

📝 Points essentiels

• Un quotient $\frac{a}{b}$ est nul si et seulement si son numérateur a est nul, avec b non nul.

• Pour additionner des fractions de même dénominateur, on additionne leurs numérateurs ; avec des dénominateurs différents, on les réduit au même dénominateur avant d’additionner.

• Dans un calcul, on effectue d’abord les parenthèses, puis les puissances, ensuite les multiplications et divisions de gauche à droite, et enfin les additions et soustractions de gauche à droite.

📖 3. Puissances et écriture scientifique

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance n-ième : La puissance n-ième de a est le produit de n facteurs égaux à a, noté $a^n$.
• Puissance d’exposant négatif : Pour a non nul, $a^{-n}=\frac{1}{a^n}$ ; une puissance d’exposant négatif est l’inverse de la puissance correspondante d’exposant positif.
• Écriture scientifique : L’écriture scientifique d’un nombre est une écriture de la forme $a\times10^n$, où a comporte un seul chiffre non nul avant la virgule et n est un entier relatif.

📝 Points essentiels

📌 La puissance d’un nombre négatif est positive si son exposant est pair et négative si son exposant est impair ; la puissance d’un nombre positif est toujours positive.

📌 Pour a non nul et m, n entiers relatifs, $a^m\times a^n=a^{m+n}$, $\frac{a^m}{a^n}=a^{m-n}$ et $(a^n)^m=a^{nm}$.

📖 4. Racines carrées et leurs propriétés

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Pour tout réel positif a, le nombre positif dont le carré vaut a.

📝 Points essentiels

• Pour tout réel positif a, on a (√a)² = a et √a ≥ 0.

📐 Formule - Pour tout réel a, $\sqrt{a^2}=|a|$.

📐 Formule - Pour a et b positifs, $\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ et, si b ≠ 0, $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}$.

📌 Les propriétés du produit et du quotient des racines carrées ne s’appliquent ni à leur somme ni à leur différence.

📌 On ne peut additionner ou soustraire que des racines carrées de même nombre, après simplification éventuelle des radicandes.

📖 5. Expressions algébriques et identités

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression algébrique : Une succession de nombres et de variables reliés par les opérations arithmétiques usuelles et construite selon les règles du calcul algébrique.

📝 Points essentiels

📌 Le carré d’un produit vérifie $(5x)^2=25x^2$, tandis que $5x^2$ désigne cinq fois x au carré.

📐 Formule - La double distributivité donne $(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd$.

📐 Formule - Les identités remarquables sont $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$, $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ et $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.

📖 6. Expressions rationnelles

🔑 Notions clés & Définitions

• Expression rationnelle : Le quotient de deux expressions algébriques A(x)/B(x), défini uniquement lorsque B(x) ≠ 0.

📝 Points essentiels

📌 Pour additionner deux fractions de même dénominateur, on conserve ce dénominateur et on additionne les numérateurs.

📖 7. Exprimer une variable en fonction d’une autre

📝 Points essentiels

• Pour exprimer une variable à partir d’une relation, on isole cette variable par des opérations équivalentes et on divise par son coefficient ou par le facteur qui la multiplie.