QCM : Racines et calcul algébrique (19 questions)

Question 1

1. Vers 825, quel savant consacre un traité au système de numération venu d’Inde, dont le nom latinisé est à l’origine du mot « algorithme » ?

Brahmagupta

Viète

Fibonacci

Al-Khwarizmi

Explication

Al-Khwarizmi consacre vers 825 un traité au système de numération venu d’Inde, et son nom latinisé donne « algorithme ». Brahmagupta énonce des règles de calcul, Fibonacci diffuse le système en Europe et Viète développe le calcul littéral.

Answer

Al-Khwarizmi

Question 2

2. Quelle innovation de Viète, en 1591, permet de passer du calcul sur des nombres particuliers à un raisonnement algébrique général ?

Remplacer les fractions par leur écriture décimale

Employer les lettres pour noter les puissances d’un nombre

Désigner par des lettres les seules inconnues du problème

Désigner par des lettres les inconnues et les données du problème

Explication

En désignant par des lettres à la fois les inconnues et les données, Viète rend possible un raisonnement algébrique général. Réserver les lettres aux seules inconnues omet la portée de son innovation; l’écriture décimale et la notation des puissances correspondent à d’autres évolutions.

Answer

Désigner par des lettres les inconnues et les données du problème

Question 3

3. Pour un réel non nul $b$ , quel nombre doit-on multiplier par $b$ pour obtenir $1$ ?

-b

b^2

\frac{1}{0}

\frac{1}{b}

Explication

L’inverse de $b$ est le réel $\frac{1}{b}$ , car $b\times\frac{1}{b}=1$ . L’opposé donne une somme nulle, le carré n’est pas l’inverse, et zéro n’a pas d’inverse.

Answer

$$\frac{1}{b}$$

Question 4

4. Dans $\frac{a}{b}=0$ , avec $b\ne0$ , quelle condition sur $a$ est nécessaire et suffisante ?

b=0

a=0

a\ne0

a=b

Explication

Un quotient de dénominateur non nul est nul si et seulement si son numérateur est nul. Un dénominateur nul rend l’expression indéfinie, l’égalité des termes n’est pas requise et un numérateur non nul ne donne pas un quotient nul.

Answer

Réduire les fractions au même dénominateur, puis additionner les numérateurs

Answer

3 × 3 × 3 × 3

Answer

$$\frac{1}{5^3}$$

Answer

$$6,2\times10^{-4}$$

Answer

Le nombre positif 7, dont le carré vaut 49

Answer

$$\sqrt{36}=6$$

Answer

$$2x^2+x-15$$

Answer

$$y^2-12y+36$$

Answer

Pour tout réel $$x$$ sauf $$4$$

Answer

$$\frac{3x-4}{x-3}$$

Answer

$$b = \frac{P}{4a}$$

Question 5

5. Pour calculer $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$ , quelle démarche respecte la règle d’addition des fractions ?

Additionner les numérateurs et les dénominateurs séparément

Multiplier les numérateurs entre eux et les dénominateurs entre eux

Soustraire les numérateurs, puis réduire au même dénominateur

Réduire les fractions au même dénominateur, puis additionner les numérateurs

Explication

Les dénominateurs étant différents, il faut d’abord les rendre égaux, puis additionner les numérateurs. Additionner aussi les dénominateurs, soustraire les numérateurs ou multiplier les fractions ne suit pas la règle d’addition.

Question 6

6. En appliquant les priorités opératoires, quelle valeur obtient-on pour $18-2\times(3+1)^2\div4$ ?

10

-10

16

14

Explication

On calcule d’abord les parenthèses puis la puissance : $18-2\times4^2\div4=18-2\times16\div4$ . Multiplication et division se font ensuite de gauche à droite, donnant $18-8=10$ ; les autres résultats proviennent d’un changement d’ordre ou de l’oubli de l’exposant.

Question 7

7. Quelle expression représente la puissance quatrième de 3 comme produit de facteurs égaux ?

3 × 3 × 3 × 3

3 × 3 × 3 × 3 × 3

4 × 4 × 4

3 × 4

Explication

Une puissance d’exposant 4 est le produit de quatre facteurs égaux à la base 3. L’expression avec des facteurs 4 confond base et exposant, celle à cinq facteurs en ajoute un, et 3 × 4 remplace le produit répété par une multiplication simple.

Question 8

8. Une biologiste modélise une variation par $(-2)^5$ . Quel est le signe de cette puissance ?

Positif

Nul

Négatif

Impossible à déterminer sans calculer la valeur

Explication

Une base négative élevée à un exposant impair donne une puissance négative. Le signe positif correspond à un exposant pair, tandis qu’une base positive ne rend pas cette puissance nulle ni indéterminée.

Question 9

9. Dans un calcul, une élève doit réécrire $5^{-3}$ sans exposant négatif. Quelle expression doit-elle utiliser ?

\frac{1}{5^3}

\frac{1}{5^{-3}}

\frac{1}{(-5)^3}

5^3

Explication

Pour une base non nulle, une puissance d’exposant négatif est l’inverse de la puissance correspondante à exposant positif : $5^{-3}=\frac{1}{5^3}$ . $5^3$ oublie l’inverse, $(-5)^3$ change le signe de la base, et le dénominateur $5^{-3}$ maintient l’exposant négatif.

Question 10

10. Un laboratoire doit écrire 0,00062 en notation scientifique. Quelle écriture convient ?

62\times10^{-5}

6,2\times10^4

0,62\times10^{-3}

6,2\times10^{-4}

Explication

La notation scientifique exige un seul chiffre non nul avant la virgule ; déplacer la virgule de 0,00062 à 6,2 donne l’exposant $-4$ . Le coefficient 62 ou 0,62 ne respecte pas la forme requise, et un exposant positif correspondrait à un nombre bien plus grand.

Question 11

11. Pour $a=49$ , quelle description correspond à $\sqrt{a}$ ?

Les deux nombres 7 et −7, dont le carré vaut 49

Le nombre négatif −7, dont le carré vaut 49

Le nombre positif 7, dont le carré vaut 49

Un nombre non réel, puisque 49 est un carré

Explication

La racine carrée d’un réel positif est le nombre positif dont le carré vaut ce réel ; ainsi $\sqrt{49}=7$ . Les deux nombres 7 et −7 résolvent l’équation $x^2=49$ , mais la racine carrée désigne sa valeur positive ; 49 est positif et sa racine est réelle.

Question 12

12. Une technicienne doit simplifier $\sqrt{(-8)^2}$ . Quel résultat obtient-elle ?

64

−8

\sqrt{-64}

8

Explication

La propriété $\sqrt{a^2}=|a|$ donne $|{-8}|=8$ . Le résultat −8 oublie la valeur absolue, 64 est le carré sans extraction de racine, et $\sqrt{-64}$ transforme incorrectement l’expression initiale.

Question 13

13. Pour calculer $\sqrt{12}\,\sqrt{3}$ , quelle transformation utilise correctement la propriété du produit ?

\sqrt{\frac{12}{3}}=2

\sqrt{15}

\sqrt{12}+\sqrt{3}

\sqrt{36}=6

Explication

Pour des radicandes positifs, $\sqrt{a}\,\sqrt{b}=\sqrt{ab}$ ; ainsi $\sqrt{12}\,\sqrt{3}=\sqrt{36}=6$ . Additionner les radicandes ou utiliser leur quotient ne correspond pas à la règle du produit.

Question 14

14. Une élève développe le carré du produit $(4x)^2$ . Quelle expression obtient-elle ?

8x^2

16x^2

16x

4x^2

Explication

Le carré porte sur les deux facteurs : $(4x)^2=4^2x^2=16x^2$ . $4x^2$ correspond à quatre fois le carré de x, tandis que $16x$ omet le carré de la variable.

Question 15

15. Pour développer $(x+3)(2x-5)$ , quel résultat donne la double distributivité ?

2x^2+x-15

2x^2-6x-15

2x^2+x

2x^2+11x-15

Explication

La double distributivité donne $2x^2-5x+6x-15=2x^2+x-15$ . L’absence de terme constant omet le produit des constantes, et les autres résultats proviennent d’une erreur sur un terme croisé ou son signe.

Question 16

16. Un élève veut développer rapidement $(y-6)^2$ . Quelle identité remarquable doit-il appliquer ?

y^2-6y+36

y^2-36

y^2+12y+36

y^2-12y+36

Explication

L’identité $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$ donne ici $y^2-12y+36$ . Le signe positif devant le terme double correspond au carré d’une somme, et $y^2-36$ est la différence de deux carrés.

Question 17

17. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $\frac{x+2}{x-4}$ est-elle définie ?

Pour tout réel

x

sauf

-2

Pour tout réel

x

sauf

-4

Pour tout réel

x

sauf

2

Pour tout réel

x

sauf

4

Explication

Une expression rationnelle est définie lorsque son dénominateur est non nul; ici, $x-4\ne0$ impose $x\ne4$ . La valeur $-2$ annule le numérateur, ce qui n’interdit pas l’expression.

Question 18

18. Quelle est la somme $\frac{2x+1}{x-3}+\frac{x-5}{x-3}$ , avant toute simplification ?

\frac{3x-4}{x-3}

\frac{3x-4}{2x-6}

\frac{3x+1}{x-3}

\frac{x+6}{x-3}

Explication

Avec un même dénominateur, on le conserve et on additionne les numérateurs : $(2x+1)+(x-5)=3x-4$ . Additionner les dénominateurs ou soustraire les numérateurs ne respecte pas cette règle.

Question 19

19. Une relation entre trois grandeurs est donnée par $P = 4ab$ . Quelle expression de $b$ obtient-on en fonction de $P$ et de $a$ , en supposant $a \neq 0$ ?

b = \frac{4a}{P}

b = \frac{P}{4}

b = \frac{P}{4a}

b = 4aP

Explication

Pour isoler $b$ dans $P = 4ab$ , on divise les deux membres par son facteur multiplicatif $4a$ . L’expression $P/4$ omet le facteur $a$ , $4a/P$ inverse le rapport et $4aP$ multiplie au lieu de diviser.

QCM : Racines et calcul algébrique (19 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Vers 825, quel savant consacre un traité au système de numération venu d’Inde, dont le nom latinisé est à l’origine du mot « algorithme » ?

2. Quelle innovation de Viète, en 1591, permet de passer du calcul sur des nombres particuliers à un raisonnement algébrique général ?

3. Pour un réel non nul $b$ , quel nombre doit-on multiplier par $b$ pour obtenir $1$ ?

4. Dans $\frac{a}{b}=0$ , avec $b\ne0$ , quelle condition sur $a$ est nécessaire et suffisante ?

5. Pour calculer $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$ , quelle démarche respecte la règle d’addition des fractions ?

6. En appliquant les priorités opératoires, quelle valeur obtient-on pour $18-2\times(3+1)^2\div4$ ?

7. Quelle expression représente la puissance quatrième de 3 comme produit de facteurs égaux ?

8. Une biologiste modélise une variation par $(-2)^5$ . Quel est le signe de cette puissance ?

9. Dans un calcul, une élève doit réécrire $5^{-3}$ sans exposant négatif. Quelle expression doit-elle utiliser ?

10. Un laboratoire doit écrire 0,00062 en notation scientifique. Quelle écriture convient ?

11. Pour $a=49$ , quelle description correspond à $\sqrt{a}$ ?

12. Une technicienne doit simplifier $\sqrt{(-8)^2}$ . Quel résultat obtient-elle ?

13. Pour calculer $\sqrt{12}\,\sqrt{3}$ , quelle transformation utilise correctement la propriété du produit ?

14. Une élève développe le carré du produit $(4x)^2$ . Quelle expression obtient-elle ?

15. Pour développer $(x+3)(2x-5)$ , quel résultat donne la double distributivité ?

16. Un élève veut développer rapidement $(y-6)^2$ . Quelle identité remarquable doit-il appliquer ?

17. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $\frac{x+2}{x-4}$ est-elle définie ?

18. Quelle est la somme $\frac{2x+1}{x-3}+\frac{x-5}{x-3}$ , avant toute simplification ?

19. Une relation entre trois grandeurs est donnée par $P = 4ab$ . Quelle expression de $b$ obtient-on en fonction de $P$ et de $a$ , en supposant $a \neq 0$ ?

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Questions et réponses du QCM

1. Vers 825, quel savant consacre un traité au système de numération venu d’Inde, dont le nom latinisé est à l’origine du mot « algorithme » ?

2. Quelle innovation de Viète, en 1591, permet de passer du calcul sur des nombres particuliers à un raisonnement algébrique général ?

3. Pour un réel non nul bbb, quel nombre doit-on multiplier par bbb pour obtenir 111 ?

4. Dans ab=0\frac{a}{b}=0ba​=0, avec b≠0b\ne0b=0, quelle condition sur aaa est nécessaire et suffisante ?

5. Pour calculer 25+13\frac{2}{5}+\frac{1}{3}52​+31​, quelle démarche respecte la règle d’addition des fractions ?

6. En appliquant les priorités opératoires, quelle valeur obtient-on pour 18−2×(3+1)2÷418-2\times(3+1)^2\div418−2×(3+1)2÷4 ?

7. Quelle expression représente la puissance quatrième de 3 comme produit de facteurs égaux ?

8. Une biologiste modélise une variation par (−2)5(-2)^5(−2)5. Quel est le signe de cette puissance ?

9. Dans un calcul, une élève doit réécrire 5−35^{-3}5−3 sans exposant négatif. Quelle expression doit-elle utiliser ?

10. Un laboratoire doit écrire 0,00062 en notation scientifique. Quelle écriture convient ?

11. Pour a=49a=49a=49, quelle description correspond à a\sqrt{a}a​ ?

12. Une technicienne doit simplifier (−8)2\sqrt{(-8)^2}(−8)2​. Quel résultat obtient-elle ?

13. Pour calculer 12 3\sqrt{12}\,\sqrt{3}12​3​, quelle transformation utilise correctement la propriété du produit ?

14. Une élève développe le carré du produit (4x)2 (4x)^2 (4x)2. Quelle expression obtient-elle ?

15. Pour développer (x+3)(2x−5) (x+3)(2x-5) (x+3)(2x−5), quel résultat donne la double distributivité ?

16. Un élève veut développer rapidement (y−6)2 (y-6)^2 (y−6)2. Quelle identité remarquable doit-il appliquer ?

17. Pour quelles valeurs de xxx l’expression x+2x−4\frac{x+2}{x-4}x−4x+2​ est-elle définie ?

18. Quelle est la somme 2x+1x−3+x−5x−3\frac{2x+1}{x-3}+\frac{x-5}{x-3}x−32x+1​+x−3x−5​, avant toute simplification ?

19. Une relation entre trois grandeurs est donnée par P=4abP = 4abP=4ab. Quelle expression de bbb obtient-on en fonction de PPP et de aaa, en supposant a≠0a \neq 0a=0 ?

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3. Pour un réel non nul $b$ , quel nombre doit-on multiplier par $b$ pour obtenir $1$ ?

4. Dans $\frac{a}{b}=0$ , avec $b\ne0$ , quelle condition sur $a$ est nécessaire et suffisante ?

5. Pour calculer $\frac{2}{5}+\frac{1}{3}$ , quelle démarche respecte la règle d’addition des fractions ?

6. En appliquant les priorités opératoires, quelle valeur obtient-on pour $18-2\times(3+1)^2\div4$ ?

8. Une biologiste modélise une variation par $(-2)^5$ . Quel est le signe de cette puissance ?

9. Dans un calcul, une élève doit réécrire $5^{-3}$ sans exposant négatif. Quelle expression doit-elle utiliser ?

11. Pour $a=49$ , quelle description correspond à $\sqrt{a}$ ?

12. Une technicienne doit simplifier $\sqrt{(-8)^2}$ . Quel résultat obtient-elle ?

13. Pour calculer $\sqrt{12}\,\sqrt{3}$ , quelle transformation utilise correctement la propriété du produit ?

14. Une élève développe le carré du produit $(4x)^2$ . Quelle expression obtient-elle ?

15. Pour développer $(x+3)(2x-5)$ , quel résultat donne la double distributivité ?

16. Un élève veut développer rapidement $(y-6)^2$ . Quelle identité remarquable doit-il appliquer ?

17. Pour quelles valeurs de $x$ l’expression $\frac{x+2}{x-4}$ est-elle définie ?

18. Quelle est la somme $\frac{2x+1}{x-3}+\frac{x-5}{x-3}$ , avant toute simplification ?

19. Une relation entre trois grandeurs est donnée par $P = 4ab$ . Quelle expression de $b$ obtient-on en fonction de $P$ et de $a$ , en supposant $a \neq 0$ ?