Fiche de révision : Ondes électromagnétiques et plasmas

📋 Plan du Cours

1. Champs et grandeurs associées
2. Opérateurs différentiels des champs
3. Analyse vectorielle et théorèmes
4. Charges et courants électriques
5. Postulats électromagnétiques
6. Champ électromagnétique et force de Lorentz
7. Champs et potentiels électrostatiques
8. Théorème de Gauss et champs symétriques
9. Dipôles et condensateurs
10. Magnétostatique et théorème d’Ampère
11. Équations de Maxwell
12. Équations de Maxwell et potentiels
13. Conditions aux interfaces
14. Énergie électromagnétique
15. Ondes électromagnétiques dans le vide
16. Polarisation et spectre
17. Propagation dans un plasma
18. Propagation des ondes dans un plasma

📖 1. Champs et grandeurs associées

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ : Ensemble des valeurs de G en chacun des points du domaine à un instant donné.
• Ligne de champ : Courbe dont la tangente en chaque point est colinéaire au champ vectoriel considéré.

📝 Points essentiels

📌 Un champ scalaire est représenté par un réel, tandis qu’un champ vectoriel est représenté par trois composantes réelles associées à un vecteur.

📌 La circulation d’un champ vectoriel est une intégrale curviligne le long d’une courbe orientée, tandis que son flux est une intégrale de surface à travers une surface orientée.

💡 Astuce mémo

Scalaire = valeur ; vectoriel = direction et norme

📖 2. Opérateurs différentiels des champs

★ À maîtriser

📐 Formule — Le gradient d’un champ scalaire U en coordonnées cartésiennes vaut $\vec{\nabla}U=\frac{\partial U}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial U}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial U}{\partial z}\vec e_z.$

📐 Formule — La divergence d’un champ vectoriel $\vec a=a_x\vec e_x+a_y\vec e_y+a_z\vec e_z$ est $\operatorname{div}\vec a=\vec\nabla\cdot\vec a=\frac{\partial a_x}{\partial x}+\frac{\partial a_y}{\partial y}+\frac{\partial a_z}{\partial z}.$

📐 Formule — Le rotationnel d’un champ vectoriel est $\operatorname{rot}\vec a=\vec\nabla\wedge\vec a.$

Compléments

📐 Formule — Le laplacien est défini par $\Delta=\vec\nabla\cdot\vec\nabla=\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}+\frac{\partial^2}{\partial z^2}.$

💡 Astuce mémo

G-D-R-L : gradient, divergence, rotationnel, laplacien

📖 3. Analyse vectorielle et théorèmes

🔑 Notions clés & Définitions

• Divergence locale : Flux sortant local par unité de volume autour de ce point.

📝 Points essentiels

📐 Formule — À temps fixé, la variation d’un champ scalaire vérifie $dU=\vec\nabla U\cdot d\vec r.$

📐 Formule — Le théorème de Stokes relie la circulation d’un champ sur un contour fermé au flux de son rotationnel à travers une surface appuyée sur ce contour : $\oint_C\vec a\cdot d\vec l=\iint_S(\vec\nabla\wedge\vec a)\cdot d\vec S.$

📐 Formule — Le théorème d’Ostrogradski affirme que le flux sortant d’un champ à travers une surface fermée est égal à l’intégrale de sa divergence dans le volume délimité : $\oiint_S\vec a\cdot d\vec S=\iiint_V(\vec\nabla\cdot\vec a)\,d\tau.$

💡 Astuce mémo

Variation locale → Stokes sur une surface → Ostrogradski dans un volume

📖 4. Charges et courants électriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Densité volumique de charge : Définie par $\rho=\frac{dq}{d\tau}$ et s’exprime en $\mathrm{C\,m^{-3}}.$
• Densité de courant : Le vecteur $\vec j=\sum_i n_iq_i\vec v_i$ et s’exprime en $\mathrm{A\,m^{-2}}.$

📝 Points essentiels

• La charge électrique q est mesurée en coulombs, elle est indépendante du référentiel et quantifiée selon $q=Ze$, avec $e=1.6\times10^{-19}\,\mathrm C.$

📐 Formule — L’intensité traversant une surface orientée est le flux de la densité de courant : $i=\iint_S\vec j\cdot d\vec S.$

💡 Astuce mémo

Charges en mouvement → densité de courant → intensité traversante

📖 5. Postulats électromagnétiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de Lorentz : Exercée sur une particule de charge q et de vitesse $\vec v$ selon $\vec f_L=q(\vec E+\vec v\wedge\vec B).$

★ À maîtriser

• L’interaction électromagnétique est une interaction à très longue portée qui s’exerce entre toutes les particules chargées.

📐 Formule — Dans le vide, la lumière est une onde électromagnétique se propageant à la vitesse $c=\frac{1}{\sqrt{\varepsilon_0\mu_0}}.$ — James Clerk Maxwell, 1864

Compléments

• Faraday a découvert l’induction électromagnétique en 1831, puis Maxwell a unifié les phénomènes électromagnétiques en 1864 avec ses équations.

💡 Astuce mémo

E électrique agit directement ; B magnétique agit avec la vitesse

📖 6. Champ électromagnétique et force de Lorentz

🔑 Notions clés & Définitions

• Force de Lorentz : Force exercée par le champ électromagnétique sur une particule chargée en mouvement

★ À maîtriser

• Le champ électromagnétique est constitué du champ électrique E, exprimé en V·m−1, et du champ magnétique B, exprimé en teslas.

Compléments

📐 Formule — La force de Lorentz volumique exercée sur une distribution de charge et de courant est $\vec f_{Lv}=\rho\vec E+\vec j\wedge\vec B$.

💡 Astuce mémo

Distribution de charges → équations de Maxwell → champ électromagnétique → force de Lorentz

📖 7. Champs et potentiels électrostatiques

★ À maîtriser

📐 Formule — Le champ électrique créé par une charge ponctuelle Q est $\vec E=\frac{Q}{4\pi\varepsilon_0r^2}\vec u_r$.

📌 La force de Coulomb peut être attractive ou répulsive selon le signe des charges, tandis que la force gravitationnelle est toujours attractive.

• Le champ créé par une distribution continue de densité volumique ρ(P) s’obtient en additionnant les champs élémentaires puis en intégrant sur le volume occupé par la distribution.

📐 Formule — Le potentiel électrostatique et le champ électrique sont reliés par $\vec E=-\vec\nabla V$.

Compléments

📐 Formule — Le potentiel créé par une distribution continue est $V(M)=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\int_V\frac{\rho(P)}{PM}\,d\tau$.

💡 Astuce mémo

Champ vectoriel E contre potentiel scalaire V

📖 8. Théorème de Gauss et champs symétriques

★ À maîtriser

📐 Formule — Le théorème de Gauss affirme que le flux électrique sortant d’une surface fermée vaut $\oint_S\vec E\cdot d\vec S=\frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}=\frac{1}{\varepsilon_0}\int_V\rho(P)\,d\tau$.

• Pour calculer un champ électrostatique par Gauss, il faut étudier les symétries, les invariances, choisir une surface où le module de E est constant, puis appliquer le théorème de Gauss.

📐 Formule — Le champ électrique d’un fil infini chargé de densité linéique λ est $\vec E=\frac{\lambda}{2\pi\varepsilon_0r}\vec e_r$.

Compléments

📐 Formule — Le champ électrique d’un plan infini de densité surfacique σ>0 vaut $\vec E=\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z$ pour z>0 et $\vec E=-\frac{\sigma}{2\varepsilon_0}\vec e_z$ pour z<0.

💡 Astuce mémo

Symétries → invariances → surface de Gauss → flux → champ

📖 9. Dipôles et condensateurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment dipolaire : $\vec p=q\overrightarrow{NP}$ pour deux charges −q en N et +q en P

📝 Points essentiels

📐 Formule — La capacité d’un condensateur plan de surface S et d’écartement e vaut $C=\frac{\varepsilon_0S}{e}$ dans le vide et $C=\frac{\varepsilon_r\varepsilon_0S}{e}$ avec un diélectrique.

📐 Formule — L’énergie électrostatique stockée dans un condensateur vaut $U_E=\frac{Q^2}{2C}=\frac12CU^2$.

📐 Formule — L’énergie potentielle d’un dipôle électrostatique placé dans un champ extérieur vaut $E_p=-\vec p\cdot\vec E_{ext}$.

💡 Astuce mémo

Condensateur : charges séparées ; dipôle : charges opposées rapprochées

📖 10. Magnétostatique et théorème d’Ampère

🔑 Notions clés & Définitions

• Moment magnétique : $\vec M=I\vec S=\frac I2\oint_C\vec r\wedge d\vec r$

📝 Points essentiels

📐 Formule — Le champ magnétique créé par une distribution volumique de courants est donné par la loi de Biot et Savart $\vec B=\frac{\mu_0}{4\pi}\int_V\frac{\vec j(P)\wedge\overrightarrow{PM}}{PM^3}\,d\tau$.

📐 Formule — Le théorème d’Ampère affirme que $\oint_C\vec B\cdot d\vec l=\mu_0I_{enlacé}=\mu_0\int_S\vec j(P)\cdot d\vec S$.

📐 Formule — Le champ magnétique autour d’un fil infini parcouru par un courant I est $\vec B=\frac{\mu_0I}{2\pi r}\vec e_\theta$.

📐 Formule — À l’intérieur d’un solénoïde infini comportant n spires par unité de longueur et parcouru par un courant I, le champ magnétique vaut $\vec B_{int}=\mu_0nI\vec e_z$, tandis qu’à l’extérieur $\vec B_{ext}=\vec0$.

💡 Astuce mémo

Symétries → invariances → contour d’Ampère → circulation → champ magnétique

📖 11. Équations de Maxwell

★ À maîtriser

📐 Formule — Les quatre équations locales de Maxwell sont $\vec\nabla\cdot\vec B=0$, $\vec\nabla\wedge\vec E=-\frac{\partial\vec B}{\partial t}$, $\vec\nabla\cdot\vec E=\frac{\rho}{\varepsilon_0}$ et $\vec\nabla\wedge\vec B=\mu_0\left(\vec j+\varepsilon_0\frac{\partial\vec E}{\partial t}\right)$.

• Les équations de Maxwell expriment les propriétés intrinsèques des champs E et B et relient ces champs aux sources ρ et j.

📐 Formule — La conservation locale de la charge s’écrit $\vec\nabla\cdot\vec j+\frac{\partial\rho}{\partial t}=0$ et découle des équations de Maxwell.

Compléments

📌 Le théorème de superposition découle de la linéarité des équations de Maxwell : les champs produits par une combinaison αD1+βD2 sont αE1+βE2 et αB1+βB2.

📌 L’équation de Maxwell-Thomson $\vec\nabla\cdot\vec B=0$ implique que le champ magnétique est à flux conservatif et qu’il n’existe pas de monopôle magnétique.

💡 Astuce mémo

TGFA : Thomson, Gauss, Faraday, Ampère

📖 12. Équations de Maxwell et potentiels

★ À maîtriser

📌 Les équations de Maxwell représentent huit équations locales scalaires du premier ordre : les équations de Thomson et de Gauss sont scalaires, tandis que celles de Faraday et d’Ampère sont vectorielles.

• Le théorème de superposition affirme que la distribution $[\alpha\rho_1+\beta\rho_2,\alpha\vec{j}_1+\beta\vec{j}_2]$ produit le champ $[\alpha\vec{E}_1+\beta\vec{E}_2,\alpha\vec{B}_1+\beta\vec{B}_2]$.

📐 Formule — Les potentiels scalaire et vecteur vérifient $\vec{E}=-\vec{\nabla}V-\frac{\partial\vec{A}}{\partial t}$ et $\vec{B}=\vec{\nabla}\wedge\vec{A}$.

Compléments

📌 Les potentiels ne sont pas uniques : pour tout champ scalaire arbitraire ϕ, les transformations $V'=V-\frac{\partial\phi}{\partial t}$ et $\vec{A}'=\vec{A}+\vec{\nabla}\phi$ laissent les champs $\vec{E}$ et $\vec{B}$ inchangés.

📐 Formule — En jauge de Lorenz, $\vec{\nabla}\cdot\vec{A}+\mu_0\varepsilon_0\frac{\partial V}{\partial t}=0$ et les potentiels obéissent aux équations découplées $\Box V=-\rho/\varepsilon_0$ et $\Box\vec{A}=-\mu_0\vec{j}$.

💡 Astuce mémo

Sources et variations des champs → équations de Maxwell → potentiels V et A

📖 13. Conditions aux interfaces

📝 Points essentiels

• À une interface portant une densité surfacique de charge σ, la composante normale du champ électrique vérifie $\vec{E}_{N2}-\vec{E}_{N1}=\frac{\sigma}{\varepsilon_0}\vec{n}_{12}$.

• La composante tangentielle du champ électrique est continue à la traversée d’une interface : $\vec{E}_{T2}=\vec{E}_{T1}$.

• La composante normale du champ magnétique est continue à une interface : $\vec{B}_{N2}=\vec{B}_{N1}$.

• À une interface parcourue par un courant surfacique $\vec{j}_s$, la composante tangentielle du champ magnétique vérifie $\vec{B}_{T2}-\vec{B}_{T1}=\mu_0\vec{j}_s\wedge\vec{n}_{12}$.

💡 Astuce mémo

E tangent et B normal continus, tandis que E normal et B tangent peuvent sauter

📖 14. Énergie électromagnétique

★ À maîtriser

📐 Formule — La conservation locale de l’énergie électromagnétique s’écrit $\frac{\partial u}{\partial t}+\vec{j}\cdot\vec{E}+\vec{\nabla}\cdot\vec{\Pi}=0$.

📐 Formule — La densité d’énergie électromagnétique dans le vide est $u=\frac{1}{2}\varepsilon_0E^2+\frac{1}{2\mu_0}B^2$.

📐 Formule — Le vecteur de Poynting est $\vec{\Pi}=\frac{\vec{E}\wedge\vec{B}}{\mu_0}$ et son flux à travers une surface fermée donne la puissance rayonnée.

Compléments

📐 Formule — L’énergie stockée dans un condensateur plan vaut $U_e=\frac{1}{2}CU^2$ et celle stockée dans un solénoïde vaut $U_m=\frac{1}{2}LI^2$.

💡 Astuce mémo

Le vecteur de Poynting transporte l’énergie comme un flux à travers une surface

📖 15. Ondes électromagnétiques dans le vide

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans le vide, les champs électrique et magnétique vérifient l’équation de D’Alembert $\Box\vec{E}=\Delta\vec{E}-\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\vec{E}}{\partial t^2}=\vec{0}$ et la même équation pour $\vec{B}$.

• La solution générale unidimensionnelle de l’équation d’onde est $s(x,t)=f(x-ct)+g(x+ct)$, où les deux termes se propagent en sens opposés à la célérité c.

📐 Formule — Pour une OEMPP dans le vide, les champs sont transversaux et vérifient $\vec{B}=\frac{\vec{u}\wedge\vec{E}}{c}$, donc $B=E/c$.

Compléments

📐 Formule — Une onde sphérique divergente a la forme $s(r,t)=\frac{1}{r}f(r-ct)$ et son amplitude décroît en $1/r$.

💡 Astuce mémo

Onde plane : amplitude constante ; onde sphérique : amplitude en 1/r

📖 16. Polarisation et spectre

★ À maîtriser

📐 Formule — La longueur d’onde et la fréquence d’une onde dans le vide vérifient $\lambda=c/\nu$.

• Le spectre visible s’étend approximativement de 400 nm pour le violet à 800 nm pour le rouge, soit de 8·10^14 Hz à 4·10^14 Hz.

📌 Une polarisation rectiligne correspond à un déphasage ϕ égal à 0 ou à π entre les deux composantes transversales du champ électrique.

📌 Une polarisation elliptique apparaît lorsque ϕ≠pπ, tandis qu’une polarisation circulaire nécessite ϕ=π/2 ou 3π/2 et des amplitudes transversales égales.

📐 Formule — La loi de Malus donne l’intensité transmise par un analyseur : $I=I_0\cos^2\alpha$.

Compléments

• Une lame quart d’onde introduit un déphasage ψ=π/2 et correspond à une différence de marche δ=λ/4.

💡 Astuce mémo

Rectiligne → elliptique → circulaire selon le déphasage

📖 17. Propagation dans un plasma

🔑 Notions clés & Définitions

• Plasma : Milieu ionisé constitué d’ions de masse M et de charge e et d’électrons de masse m≪M et de charge −e.

★ À maîtriser

📐 Formule — La conductivité complexe du plasma est approximativement $\gamma=\frac{in_0e^2}{m\omega}$, avec une conductivité imaginaire.

📐 Formule — La pulsation plasma est $\omega_p=\sqrt{\frac{n_0e^2}{m\varepsilon_0}}$ ; sauf à cette pulsation, le plasma reste localement neutre.

📐 Formule — La relation de dispersion dans un plasma est $k^2=\frac{\omega^2}{c^2}\left(1-\frac{\omega_p^2}{\omega^2}\right)$.

📌 Si ω<ωp, le nombre d’onde est imaginaire, l’onde est évanescente et oscille sans se propager ; si ω>ωp, le nombre d’onde est réel et l’onde peut se propager.

Compléments

• Pour l’ionosphère de densité n0≈10^12 m−3, la pulsation plasma vaut environ 5,7·10^7 rad·s−1, soit une fréquence fp≈9 MHz.

💡 Astuce mémo

ω < ωp : onde évanescente ; ω > ωp : propagation

📖 18. Propagation des ondes dans un plasma

🔑 Notions clés & Définitions

• Vitesse de phase : Déplacement d’une surface d’équiphase, sans représenter un transport d’énergie.
• Vitesse de groupe : Définie par $v_g=\frac{d\omega}{dk}$ et correspondant à la vitesse de propagation de l’enveloppe d’un paquet d’onde.
• Dispersion : Un milieu est dispersif lorsque sa vitesse de phase dépend de la pulsation, ce qui tend à étaler un paquet d’onde au cours de sa propagation.
• Conducteur ohmique : Un conducteur ohmique vérifie la loi d’Ohm locale $\vec j=\gamma\vec E$, où γ est la conductivité exprimée en Ω⁻¹·m⁻¹.
• Épaisseur de peau : L’épaisseur de peau est $\delta=\sqrt{\frac{2}{\mu_0\gamma\omega}}$ et caractérise la distance sur laquelle le champ électrique est fortement atténué dans un conducteur.
• Conducteur parfait : Modèle limite d’un conducteur dont la conductivité tend vers l’infini, $\gamma\to+\infty$.
• Onde stationnaire : La superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie sur un conducteur parfait produit une onde stationnaire qui ne se propage pas.

📝 Points essentiels

📌 Si ω < ωp, k est imaginaire et le champ forme une onde évanescente qui oscille sans se propager, tandis que si ω > ωp, k est réel et l’onde se propage.

📐 Formule — Dans le régime sinusoïdal, le rapport entre les courants de déplacement et de conduction vaut approximativement $\frac{\|\vec j_D\|}{\|\vec j\|}\simeq\omega\tau$, et il est négligeable lorsque ωτ ≪ 1.

📐 Formule — La propagation dans un conducteur ohmique vérifie $\Delta\vec E=\mu_0\gamma\frac{\partial\vec E}{\partial t}$.

📌 Dans le volume d’un conducteur parfait, le champ électrique et la charge volumique sont nuls, le conducteur est équipotentiel et seul un champ magnétique statique peut y exister.

📌 À la réflexion normale sur un conducteur parfait, la pulsation est conservée et le coefficient de réflexion du champ électrique vaut r = −1, ce qui correspond à un déphasage de π.

📐 Formule — Entre deux plans conducteurs parfaits séparés par a, les modes électriques vérifient $\vec E=E_0\sin\left(\frac{n\pi x}{a}\right)\cos(kz-\omega t)\vec e_y$.

📐 Formule — Pour un mode guidé, la relation de dispersion est $k^2=\frac{\omega^2}{c^2}\left(1-\frac{\omega_c^2}{\omega^2}\right)$ avec $\omega_c=\frac{n\pi c}{a}$ entre deux plans parallèles.

📌 Pour ω < ωc, le mode est évanescent et ne se propage pas, tandis que pour ω > ωc, il se propage avec dispersion.

📐 Formule — Au-dessus de la coupure, les vitesses de phase et de groupe d’un mode guidé sont $v_\varphi=\frac{c}{\sqrt{1-\omega_c^2/\omega^2}}$ et $v_g=c\sqrt{1-\frac{\omega_c^2}{\omega^2}}$.

💡 Astuce mémo

ω < ωp : onde évanescente ; ω > ωp : onde propagée

📊 Tableaux de synthèse

Correspondance électrostatique et magnétostatique

Conditions de propagation dans un plasma