Fiche de révision : Ondes et acoustique

📋 Plan du Cours

1. Applications acoustiques et détection
2. Paramètres temporels et spatiaux
3. Géométrie et progression des ondes
4. Ondes harmoniques et sphériques
5. Énergie et intensité des ondes
6. Effet Doppler et acoustique audible
7. Pression et niveau acoustiques
8. Puissance et intensité sonores
9. Vitesses de l’avion et mur du son
10. Superposition et interférences
11. Battements entre deux vibrations
12. Réflexion aux frontières
13. Transmission et réfraction
14. Résonance des ondes stationnaires
15. Diffraction des ondes

📖 1. Applications acoustiques et détection

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde : Propagation d’une perturbation qui produit une variation instantanée des propriétés physiques locales et transporte de l’énergie sans transporter de matière.
• Célérité : Vitesse de propagation de l’onde, égale au rapport entre la distance parcourue et la durée du parcours.

★ À maîtriser

• Un dispositif de détection émet une onde qui peut se réfléchir sur un obstacle, détecte l’onde réfléchie et mesure la durée entre son émission et sa réception.

Compléments

• La certification acoustique des avions est exprimée en EPNdB (Effective Perceived Noise Level in Decibels) et élaborée par l’Organisation de l’Aviation Civile Internationale (OACI).

• Les aéroports peuvent imposer des taxes de bruit, limiter le nombre d’opérations quotidiennes selon le niveau sonore de la flotte et interdire la nuit les opérations des avions les plus bruyants.

• Les systèmes de perception peuvent utiliser :

  • un télémètre laser à balayage (LIDAR)
  • une caméra
  • des capteurs à infrarouge
  • des radars
  • des capteurs laser
  • des capteurs à ultrasons
  • une antenne GPS

• Un avion furtif à lignes brisées disperse les ondes électromagnétiques afin d’éviter qu’elles ne reviennent vers l’émetteur.

📖 2. Paramètres temporels et spatiaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Longueur d’onde : Plus courte distance séparant deux points de l’onde identiques à un instant donné ; elle correspond à la distance parcourue par l’onde pendant une période.

• Période : Durée au bout de laquelle un phénomène périodique se répète identiquement et qui s’exprime en secondes (s).
• Fréquence : Nombre de périodes par seconde, qui se note généralement f et s’exprime en hertz (Hz).

📝 Points essentiels

📐 Formule - La fréquence est l’inverse de la période : $f = \frac{1}{T}$.

📐 Formule - La célérité, la longueur d’onde et la période sont liées par $v = \frac{\lambda}{T} = \lambda f$.

📖 3. Géométrie et progression des ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Surface d’onde : Ensemble des points dans un même état vibratoire à un instant donné ; la grandeur caractérisant l’onde y prend la même valeur en tous points.
• Onde plane progressive : Onde plane qui se propage dans une direction et dont les variables spatiales et temporelles sont dépendantes.
• Vecteur d’onde : Le vecteur d’onde indique la direction de propagation de l’onde et sa norme est liée à la longueur d’onde par $k = \frac{2\pi}{\lambda}$.
• Onde plane : Onde dont les surfaces d’onde sont une famille de plans orthogonaux à une direction fixe.

★ À maîtriser

📌 Dans une onde longitudinale, les points du milieu se déplacent localement selon la direction de propagation, tandis que dans une onde transversale, ils se déplacent perpendiculairement à cette direction.

Compléments

• Les rayons lumineux sont perpendiculaires aux surfaces d’onde.

• Une onde plane progressive se propage dans le sens des x croissants lorsque sa fonction d’onde dépend de x et t sous la forme $f(x-vt)$, et dans le sens des x décroissants sous la forme $f(x+vt)$.

💡 Astuce mémo

Longitudinale : déplacement parallèle ; transversale : déplacement perpendiculaire.

📖 4. Ondes harmoniques et sphériques

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde plane progressive : Onde plane qui se propage dans une direction et dont les variables spatiale et temporelle sont dépendantes.
• Onde sphérique : Onde dont la grandeur physique propagée ne dépend que de la coordonnée radiale r.

★ À maîtriser

• Pour un signal émis en O et propagé sans déformation ni atténuation vers les x positifs, le signal en x est celui de O retardé de x/v, soit $u(x,t)=f(t-x/v)$.

• Une onde plane progressive sinusoïdale, ou harmonique, peut s’écrire $\psi(x,t)=a\cos\left(\omega(t-x/v)\right)$ pour une propagation vers les x positifs.

📐 Formule - Le vecteur d’onde indique le sens et la direction de propagation et sa norme vérifie $k=\frac{2\pi}{\lambda}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une propagation vers les x négatifs, le signal s’écrit $u(x,t)=f(t+x/v)$.

📌 Une onde plane progressive présente une dépendance entre x et t, tandis que dans une onde stationnaire les variables x et t sont séparées.

📐 Formule - La période temporelle d’une onde sinusoïdale est $T=\frac{2\pi}{\omega}$.

📐 Formule - Pour une onde harmonique monochromatique, la longueur d’onde vérifie $\lambda=\frac{v}{f}=vT=\frac{2\pi v}{\omega}$.

📐 Formule - Une onde sphérique sinusoïdale s’écrit $\psi(r,t)=\frac{1}{r}\cos(\vec{k}\cdot\vec{r}-\omega t)$.

• L’amplitude d’une onde sphérique diminue en proportion de 1/r à mesure qu’elle s’éloigne de la source.

💡 Astuce mémo

Le front plan conserve sa forme ; le front sphérique s’affaiblit en s’éloignant de la source.

📖 5. Énergie et intensité des ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Intensité d’une onde : Puissance moyenne transférée par unité de surface perpendiculaire à la direction de propagation.

★ À maîtriser

• L’énergie d’un oscillateur est proportionnelle au carré de son amplitude.

📐 Formule - L’intensité moyenne d’une onde est $I=\frac{P_{\mathrm{moy}}}{S}=\frac{1}{2}\rho v\omega^2a^2$.

📐 Formule - Pour une source sphérique de puissance P₀, l’intensité à la distance r est $I(r)=\frac{P_0}{4\pi r^2}$.

Compléments

📐 Formule - L’énergie mécanique d’un oscillateur harmonique d’amplitude a est $E=\frac{1}{2}m\omega^2a^2=\frac{1}{2}ka^2$.

📐 Formule - L’énergie moyenne transmise pendant Δt à travers une surface S par une onde dans un milieu de masse volumique ρ est $E_{\mathrm{moy}}=\frac{1}{2}\rho a^2\omega^2vS\Delta t$.

• Les capteurs sont généralement sensibles à l’intensité de l’onde, proportionnelle au carré de l’amplitude, plutôt qu’à son amplitude.

📌 Pour une onde sphérique, l’amplitude varie comme 1/r, tandis que l’intensité varie comme 1/r².

💡 Astuce mémo

L’énergie se répartit sur une surface croissante → l’intensité sphérique diminue comme le carré de la distance.

📖 6. Effet Doppler et acoustique audible

★ À maîtriser

📌 Les infrasons ont une fréquence inférieure à 20 Hz, les sons audibles se situent entre 20 Hz et 20 kHz, et les ultrasons dépassent 20 kHz.

• Le son est produit par une source qui provoque alternativement des compressions et des dilatations de l’air, puis se propage de tranche en tranche sous forme d’onde longitudinale.

📌 Un son pur évolue selon une fonction sinusoïdale, tandis qu’un son complexe n’est pas sinusoïdal et peut être périodique ou non.

Compléments

📐 Formule - Si seule la source se déplace à la vitesse algébrique v_s par rapport au milieu, la fréquence reçue est $f_R=\frac{v}{v-v_s}f_0$.

📐 Formule - Si seul le récepteur se déplace à la vitesse v_R par rapport au milieu, la fréquence reçue est $f_R=\frac{v-v_R}{v}f_0$.

📌 Si le récepteur fuit l’émetteur à une vitesse supérieure à celle de l’onde, il ne reçoit pas l’onde.

📐 Formule - Lorsque la source et le récepteur se déplacent dans le même sens, la fréquence reçue vérifie $f_R=\frac{v-v_R}{v-v_s}f_0$.

• L’unité internationale de pression est le pascal, correspondant à une force de 1 N exercée sur une surface de 1 m².

📐 Formule - La célérité du son dans un gaz vérifie $c=\sqrt{\frac{\gamma RT}{M}}$, où γ est le rapport des capacités thermiques, R la constante des gaz parfaits, T la température et M la masse molaire.

• À température ambiante, la célérité du son dans l’air est d’environ 330 m/s, soit 1 200 km/h.

📐 Formule - La longueur d’onde du son dans l’air vérifie $\lambda=\frac{c}{f}$.

📌 La musique est un son complexe périodique, tandis que le bruit est un son complexe non périodique.

• Un son complexe peut être décomposé en une somme de fonctions sinusoïdales par décomposition de Fourier.

• La pression atmosphérique est de l’ordre de 10⁵ Pa et ses petites variations, de l’ordre de quelques pascals, constituent la pression acoustique p.

💡 Astuce mémo

Son pur : sinusoïdal ; son complexe : non sinusoïdal.

📖 7. Pression et niveau acoustiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Seuil d’audition : Le seuil d’audition est le son le plus faible, en intensité, que l’oreille peut percevoir ; à 1000 Hz, la pression acoustique correspondante est la pression de référence auditive, p₀ = 2 × 10⁻⁵ Pa.
• Seuil de douleur : Le seuil de douleur correspond à la pression acoustique maximale que l’oreille peut supporter sans être endommagée et vaut 20 Pa.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le niveau de pression acoustique est défini par $L_p = 20\log_{10}\left(\frac{p}{p_0}\right)$, en décibels, où p₀ est la pression de référence auditive.

Compléments

• À un instant donné, la pression totale dans l’air est approximativement la somme de la pression atmosphérique et de la pression acoustique : P ≈ Patm + p.

• L’échelle logarithmique du niveau sonore reflète mieux la sensation de l’oreille que la multiplication directe des niveaux : N sources identiques ne produisent pas un niveau ressenti N fois plus grand qu’une source.

📖 8. Puissance et intensité sonores

★ À maîtriser

📐 Formule - La puissance acoustique est reliée à la pression acoustique par $P = \frac{p^2 S}{\rho_0 c}$, où S est la surface, ρ₀ la masse volumique de l’air et c la vitesse du son dans l’air.

📐 Formule - Le niveau sonore en puissance est défini par $L_w = 10\log_{10}\left(\frac{P}{P_0}\right)$, en décibels.

📐 Formule - Pour deux sons de puissances P₁ et P₂, le niveau après superposition est $L = 10\log_{10}\left(\frac{P_1+P_2}{P_0}\right)$ et il n’est pas égal à la somme de leurs niveaux L₁ et L₂.

📐 Formule - Le niveau sonore en intensité est défini par $L_I = 10\log_{10}\left(\frac{I}{I_0}\right)$, en décibels.

Compléments

• Dans l’air, la vitesse du son utilisée pour les relations acoustiques est c = 340 m/s et la masse volumique de l’air est ρ₀ = 1,2 kg/m³.

• La puissance acoustique de référence est P₀ = 10⁻¹² W.

• Multiplier une puissance acoustique par 2 augmente le niveau sonore de 3 dB.

📐 Formule - L’intensité sonore vérifie $I = \frac{P}{S} = \frac{p^2}{\rho_0 c}$.

• Le seuil d’audition correspond à une intensité sonore de référence I₀ = 10⁻¹² W·m⁻², et le seuil de douleur se situe à 1 W·m⁻².

• Selon les courbes de Fletcher et Munson, un son de 40 Hz doit atteindre 80 dB pour procurer une sensation sonore identique à celle d’un son de référence à 1 kHz et 60 dB. - Fletcher & Munson

• À faible niveau sonore, les sons les plus aigus et les plus graves sont moins bien entendus et doivent être plus intenses pour produire une sensation comparable.

📖 9. Vitesses de l’avion et mur du son

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre de Mach : Le nombre de Mach est le rapport entre la vitesse de l’avion et la vitesse du son.

★ À maîtriser

📌 La vitesse d’un avion est subsonique si son nombre de Mach est inférieur à 0,8, transsonique s’il est compris entre 0,8 et 1,2, supersonique s’il est compris entre 1,2 et 5, et hypersonique s’il dépasse 5.

• À vitesse transsonique, l’avion rattrape ses ondes sonores, qui s’accumulent près du nez en formant une zone de surpression appelée mur du son et produisant des bangs au sol.

Compléments

• Quand un avion vole à vitesse subsonique, les ondes sonores qu’il émet se propagent autour de lui plus vite que l’avion.

• À vitesse supersonique, les ondes sonores se déplacent vers l’arrière de part et d’autre de l’avion et forment un cône de choc qui se resserre lorsque l’avion accélère.

• Un avion volant à vitesse supersonique n’est entendu qu’après son passage.

💡 Astuce mémo

Subsonique : l’avion est devancé par ses ondes ; transsonique : il les rattrape ; supersonique : elles forment un cône derrière lui.

📖 10. Superposition et interférences

🔑 Notions clés & Définitions

• Interférence : L’interférence est la superposition de deux ondes de même fréquence et de même nature, qui peut produire des franges alternativement sombres et brillantes.

★ À maîtriser

📌 Pour des sources incohérentes, les intensités se superposent selon I = I₁ + I₂ ; pour des sources cohérentes, cette relation n’est pas vérifiée et des interférences apparaissent.

Compléments

• Dans l’exemple de la corde idéale, deux sources situées à ses extrémités vibrent en phase, avec la même amplitude et des ondes polarisées rectilignement ; l’amortissement et les réflexions sont négligés.

• Sur la corde, les interférences sont constructives aux ventres de vibration, séparés par une distance de λ/2.

• Sur la corde, les interférences sont destructives aux nœuds de vibration, espacés des ventres de λ/4.

• Pour deux sources ponctuelles synchrones et cohérentes de faibles amplitudes à la surface d’un liquide, l’étude est menée près des sources, sans atténuation, dans un milieu non dispersif où les vitesses de phase et de groupe sont égales.

📐 Formule - Dans le modèle de deux sources ponctuelles, l’amplitude résultante au point M est proportionnelle à $2a\cos\left(\frac{\pi(r_2-r_1)}{\lambda}\right)$, où r₁ et r₂ sont les distances du point aux sources et a est l’amplitude de chaque onde.

• Dans le modèle à deux sources ponctuelles, les points d’amplitude nulle vérifient r₂ − r₁ = (n + 1/2)λ, où n est un entier.

• Dans le modèle à deux sources ponctuelles, les points d’amplitude maximale vérifient r₂ − r₁ = nλ, où n est un entier.

💡 Astuce mémo

Sources incohérentes : les intensités s’ajoutent ; sources cohérentes : elles interfèrent.

📖 11. Battements entre deux vibrations

🔑 Notions clés & Définitions

• Franges d’interférences : Les intersections des surfaces d’égale intensité avec le plan d’observation.

• Interfrange : La distance qui sépare, dans le plan d’observation, deux franges successives de même nature.
• Battement : Un phénomène résultant de la superposition de deux vibrations de même direction et de pulsations voisines, donc de fréquences légèrement différentes.

★ À maîtriser

📐 Formule - La somme des deux vibrations s’écrit $y=y_1+y_2=A(t)\sin(2\pi f_{\text{moyenne}}t)$, avec $A(t)=B\cos(2\pi f_{\text{modulée}}t)$.

📐 Formule - La fréquence modulée vaut $f_{\text{modulée}}=\frac{f_1-f_2}{2}$.

Compléments

• Au centre, l’ordre d’interférence p est maximal et décroît lorsque le rayon des anneaux augmente ; l’ordre au centre est généralement noté p₀.

📐 Formule - La fréquence moyenne vaut $f_{\text{moyenne}}=\frac{f_1+f_2}{2}$.

📌 La fréquence modulée est inférieure à la fréquence moyenne, tandis que la période modulée est supérieure à la période moyenne.

💡 Astuce mémo

Deux pulsations voisines se superposent → l’amplitude est modulée.

📖 12. Réflexion aux frontières

🔑 Notions clés & Définitions

• Onde stationnaire : Une superposition d’une onde incidente et d’une onde réfléchie.

★ À maîtriser

• À une extrémité fixe, l’onde réfléchie se propage en sens opposé à l’onde incidente et possède la même célérité ; sans perte d’énergie, elle a aussi la même amplitude.

• À une extrémité fixe, l’onde réfléchie est en opposition de phase avec l’onde incidente, avec un déphasage de π radian.

Compléments

• À une extrémité libre, l’onde réfléchie et l’onde incidente sont en phase.

💡 Astuce mémo

Extrémité fixe : opposition de phase ; extrémité libre : même phase.

📖 13. Transmission et réfraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Dioptre : Une surface optique qui sépare deux milieux transparents.
• Milieu stratifié : Un empilement de plans d’indice différent.

★ À maîtriser

📌 En milieu 1D, une onde à une frontière peut être réfléchie, transmise, ou à la fois réfléchie et transmise ; en milieu 2D ou 3D, la réflexion et la transmission peuvent s’accompagner d’un changement de direction appelé réfraction.

📐 Formule - Pour deux milieux de célérités $v_1$ et $v_2$, les coefficients d’amplitude sont $r=\frac{v_2-v_1}{v_2+v_1}$ et $t=\frac{2v_2}{v_1+v_2}$.

📐 Formule - En l’absence d’absorption, les coefficients d’intensité vérifient $R+T=1$, avec $R=\frac{I_r}{I_i}$ et $T=\frac{I_t}{I_i}$.

📌 Les rayons réfléchi et réfracté sont dans le plan d’incidence, et l’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence.

📐 Formule - La loi de Snell-Descartes pour la réfraction s’écrit $n_1\sin\theta_i=n_2\sin\theta_t$, où n₁ et n₂ sont les indices des milieux 1 et 2.

• Dans un milieu stratifié composé de couches planes, la quantité $n_i\sin\theta_i$ reste constante d’une couche à l’autre.

• Le mirage inférieur résulte du réchauffement de l’air près du sol : la température croissante diminue sa masse volumique, ce qui diminue son indice de réfraction selon la loi de Gladstone et courbe le rayon vers le haut, avec la concavité tournée vers le haut.

Compléments

• La diffraction modifie la direction de propagation et les surfaces d’onde lorsqu’une onde rencontre un obstacle ou une ouverture.

📐 Formule - Les coefficients d’amplitude de réflexion et de transmission sont $r=\frac{A_r}{A_i}$ et $t=\frac{A_t}{A_i}$.

📐 Formule - Les coefficients d’amplitude peuvent aussi s’écrire avec les impédances caractéristiques : $r=\frac{Z_2-Z_1}{Z_2+Z_1}$ et $t=\frac{2Z_2}{Z_1+Z_2}$.

📐 Formule - La relation de réfraction peut aussi s’écrire $\frac{\sin\theta_i}{v_1}=\frac{\sin\theta_t}{v_2}$, où v₁ et v₂ sont les vitesses de propagation dans les deux milieux.

• Dans un milieu continu où l’indice varie, l’épaisseur des couches tend vers zéro et la trajectoire du rayon s’arrondit.

• Dans un mirage inférieur, un rayon réfléchi par le sol peut entrer dans l’œil et donner l’impression de voir le ciel ou une tache d’eau, comme dans le désert.

📖 14. Résonance des ondes stationnaires

🔑 Notions clés & Définitions

• Résonance : Amplification particulièrement forte d’une excitation sinusoïdale lorsque sa fréquence est voisine de la fréquence propre d’un système stable peu amorti.

★ À maîtriser

• Une corde élastique fixée à ses deux extrémités possède des nœuds à ses extrémités et peut établir des ondes stationnaires transversales.

📐 Formule - Pour une corde de longueur $L$ où l’onde se propage à la célérité $c$, les fréquences de résonance sont $f_n=\frac{nc}{2L}$, avec $n$ entier positif.

Compléments

📐 Formule - Pour un système masse-ressort, la fréquence propre est $f_0=\frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$, où $k$ est la raideur du ressort et $m$ la masse.

📌 Les fréquences propres d’un oscillateur limité par ses conditions aux limites forment une suite discontinue, dite quantifiée.

• Dans l’expérience de Melde, il y a résonance lorsque la fréquence de l’excitateur égale une fréquence propre de la corde, soit $f_n=\frac{nc}{2L}$.

• À la résonance, l’amplitude en un ventre est théoriquement infinie dans le modèle idéal, mais l’amortissement lors des réflexions et de la propagation doit être pris en compte dans la réalité.

💡 Astuce mémo

Excitation à la fréquence propre → amplitude fortement amplifiée.

📖 15. Diffraction des ondes

🔑 Notions clés & Définitions

• Diffraction : Perturbation de la propagation d’une onde par un écran ou un obstacle, qui constitue un écart à la propagation rectiligne de l’optique géométrique.

★ À maîtriser

📌 La diffraction est significative lorsque la dimension de l’obstacle est comparable ou inférieure à la longueur d’onde ; sinon, elle peut être négligée et la propagation traitée par l’optique géométrique.

• La diffraction au bord d’un obstacle crée une onde dans la zone d’ombre, qui semble provenir du bord et conserve la longueur d’onde de l’onde incidente.

Compléments

• La diffraction peut être produite par les types d’obstacles suivants :
  • un obstacle matériel, comme un cheveu
  • une poussière
  • un trou
  • une fente

• Une ouverture petite par rapport à la longueur d’onde d’ondes rectilignes à la surface d’un liquide produit derrière elle des ondes circulaires de même longueur d’onde que les ondes incidentes.

• Pour une lumière monochromatique diffractée par une fente de largeur $a$, la figure observée sur un écran comporte une tache centrale limitée par des rayons diffractés, et le demi-angle au sommet $\theta$ dépend de $a$ et de la longueur d’onde $\lambda$.