Fiche de révision : Raisonnement et outils mathématiques

📋 Plan du Cours

1. Propositions et connecteurs logiques
2. Méthodes de raisonnement mathématique
3. Raisonnements indirects et contre-exemples
4. Ensembles et opérations
5. Applications et bijections
6. Sommes et produits finis
7. Cardinaux et principes de dénombrement
8. Arrangements et combinaisons
9. Coefficients binomiaux et binôme
10. Ordre et valeur absolue des réels
11. Borne supérieure et borne inférieure
12. Calculs et géométrie complexes
13. Arguments et forme trigonométrique
14. Forme exponentielle et formules d’Euler
15. Linéarisation et intégration trigonométriques
16. Définitions et degrés des polynômes
17. Opérations et égalité des polynômes
18. Racines et multiplicité des polynômes

📖 1. Propositions et connecteurs logiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Proposition mathématique : Énoncé auquel on peut attribuer une valeur de vérité, vraie ou fausse.
• Équivalence : L'équivalence $P\Leftrightarrow Q$ est vraie lorsque P et Q ont la même valeur de vérité et signifie que chacune implique l'autre.

★ À maîtriser

📌 La conjonction $P\land Q$ est vraie si et seulement si P et Q sont toutes deux vraies, tandis que la disjonction $P\lor Q$ est vraie dès qu'au moins l'une des deux propositions est vraie.

📌 L'implication $P\Rightarrow Q$ est fausse uniquement lorsque P est vraie et Q est fausse ; P est alors l'hypothèse et Q la conclusion.

• Le quantificateur universel $\forall$ signifie « pour tout », le quantificateur existentiel $\exists$ signifie « il existe au moins un », et le quantificateur d'unicité $\exists!$ signifie « il existe un unique ».

📌 La réciproque de $P\Rightarrow Q$ est $Q\Rightarrow P$, tandis que sa contraposée est $\neg Q\Rightarrow\neg P$ ; l'implication et sa contraposée sont équivalentes, mais pas nécessairement sa réciproque.

Compléments

• Pour une implication $P\Rightarrow Q$, P est une condition suffisante pour Q et Q est une condition nécessaire pour P.

• Les lois de De Morgan donnent $\neg(P\land Q)\Leftrightarrow(\neg P)\lor(\neg Q)$ et $\neg(P\lor Q)\Leftrightarrow(\neg P)\land(\neg Q)$.

• La négation d'une proposition universelle est existentielle, et la négation d'une proposition existentielle est universelle : $\neg(\forall x\in E,\ P(x))\Leftrightarrow\exists x\in E,\ \neg P(x)$ et $\neg(\exists x\in E,\ P(x))\Leftrightarrow\forall x\in E,\ \neg P(x)$.

• La négation d'une implication est $\neg(P\Rightarrow Q)\Leftrightarrow P\land\neg Q$.

💡 Astuce mémo

La réciproque échange hypothèse et conclusion ; la contraposée nie les deux.

📖 2. Méthodes de raisonnement mathématique

★ À maîtriser

• Le raisonnement direct démontre $P\Rightarrow Q$ en supposant P vraie, puis en enchaînant des arguments logiques jusqu'à établir Q.

• Le raisonnement par contraposée établit $P\Rightarrow Q$ en démontrant l'implication équivalente $\neg Q\Rightarrow\neg P$.

• Pour démontrer par récurrence qu'une propriété $P(n)$ vaut pour tout entier $n\ge n_0$, on vérifie l'initialisation $P(n_0)$ puis l'hérédité $P(n)\Rightarrow P(n+1)$ ; ces deux étapes établissent la propriété pour tout entier $n\ge n_0$.

• Pour démontrer que P(n) est vraie pour tout entier n ≥ n₀ par récurrence, on vérifie P(n₀) (initialisation), puis on suppose P(n) vraie et on démontre P(n) ⇒ P(n + 1) (hérédité), avant de conclure pour tout n ≥ n₀.

Compléments

• Le raisonnement par disjonction de cas partage l'ensemble étudié en cas distincts qui le couvrent, puis démontre la propriété dans chacun de ces cas.

• Le raisonnement par analyse-synthèse recherche d'abord, en supposant qu'une solution existe, les conditions nécessaires qu'elle doit satisfaire, puis vérifie que les solutions potentielles obtenues satisfont le problème initial.

• La récurrence double s’emploie lorsque démontrer P(n + 2) nécessite P(n) et P(n + 1) ; on vérifie les deux premiers rangs, puis on suppose P(n) et P(n + 1) vraies pour établir P(n + 2).

• La récurrence forte s’emploie lorsque démontrer P(n + 1) nécessite plusieurs propriétés précédentes ; après l’initialisation aux premiers rangs nécessaires, on suppose P(n₀), P(n₀ + 1), …, P(n) vraies pour établir P(n + 1).

• La somme des n premiers nombres impairs vérifie 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n² pour tout n ∈ ℕ* ; c’est un exemple de propriété à démontrer par récurrence.

📖 3. Raisonnements indirects et contre-exemples

★ À maîtriser

• Pour démontrer P par l’absurde, on suppose ¬P et on montre que cette hypothèse conduit à une contradiction, ce qui permet de conclure que P est vraie.

• Pour réfuter une proposition universelle de la forme ∀x ∈ E, P(x), il suffit de trouver un élément a ∈ E tel que P(a) soit fausse.

Compléments

• La proposition ∀x ∈ ℝ, x² ≥ x est réfutée par un réel pour lequel x² < x.

💡 Astuce mémo

L’absurde prouve P par contradiction ; le contre-exemple réfute une proposition universelle.

📖 4. Ensembles et opérations

🔑 Notions clés & Définitions

• Ensemble : Un ensemble est une collection d’objets appelés éléments ; il peut être défini en extension en énumérant ses éléments, ou en compréhension en décrivant la propriété qu’ils vérifient.
• Union : L’union A ∪ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A ou à B, ou aux deux : x ∈ A ∪ B si et seulement si x ∈ A ou x ∈ B.
• Intersection : L’intersection A ∩ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à la fois à A et à B ; A et B sont disjoints lorsque A ∩ B = ∅.
• Produit cartésien : Le produit cartésien E × F est l’ensemble des couples (x, y) tels que x ∈ E et y ∈ F ; lorsque E = F, on note E × E = E².
• Appartenance : L’appartenance d’un élément x à un ensemble E se note x ∈ E, tandis que sa non-appartenance se note x ∉ E.
• Différence d’ensembles : La différence A \ B est l’ensemble des éléments qui appartiennent à A mais pas à B.
• Complémentaire : Le complémentaire de A dans E est l’ensemble des éléments de E qui n’appartiennent pas à A.

★ À maîtriser

• L’inclusion de A dans B signifie que chaque élément de A appartient à B : $A \subset B \Longleftrightarrow (\forall x \in A,\ x \in B).$

📐 Formule - Les opérations d’union et d’intersection sont distributives l’une sur l’autre : $A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C)$ et $A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$

Compléments

• L’ensemble vide, noté ∅, ne contient aucun élément.

• Pour tout ensemble A, A ⊂ A et ∅ ⊂ A ; si A ⊂ B et B ⊂ C, alors A ⊂ C.

📐 Formule - Deux ensembles sont égaux s’ils ont exactement les mêmes éléments : $A = B \Longleftrightarrow (A \subset B\ \text{et}\ B \subset A).$

📐 Formule - L’union et l’intersection sont associatives : $(A \cup B) \cup C = A \cup (B \cup C)\quad\text{et}\quad(A \cap B) \cap C = A \cap (B \cap C).$

📐 Formule - Les lois de De Morgan donnent $\overline{A \cup B} = \overline A \cap \overline B$ et $\overline{A \cap B} = \overline A \cup \overline B$, les complémentaires étant pris dans le même ensemble de référence.

• Un ensemble de points du plan peut être défini par E = {(x, y) ∈ ℝ² | P(x, y)}, où P est une propriété vérifiée par les coordonnées des points de E.

📖 5. Applications et bijections

🔑 Notions clés & Définitions

• Application : Une application de E dans F associe à chaque élément x ∈ E un unique élément f(x) ∈ F ; E est l’ensemble de départ et F l’ensemble d’arrivée.
• Application injective : Une application f : E → F est injective si, pour tous x₁, x₂ ∈ E, f(x₁) = f(x₂) implique x₁ = x₂ ; chaque élément de F a alors au plus un antécédent.
• Application surjective : Une application f : E → F est surjective si tout élément y ∈ F possède au moins un antécédent dans E, ce qui équivaut à f(E) = F.
• Application bijective : Une application f : E → F est bijective si tout élément de F possède un unique antécédent dans E ; elle est alors à la fois injective et surjective.
• Application réciproque : Si f : E → F est bijective, son application réciproque f⁻¹ : F → E associe à chaque y ∈ F son unique antécédent par f, et f⁻¹(y) = x si et seulement si f(x) = y.

★ À maîtriser

📌 L’image directe d’un sous-ensemble A de E est f(A) = {f(x) | x ∈ A}, tandis que l’image réciproque d’un sous-ensemble B de F est f⁻¹(B) = {x ∈ E | f(x) ∈ B}.

Compléments

📐 Formule - Pour une application bijective f : E → F, on a $f^{-1} \circ f = \mathrm{Id}_E\quad\text{et}\quad f \circ f^{-1} = \mathrm{Id}_F.$

📌 Si des applications f : E → F et g : F → E vérifient g ∘ f = IdE et f ∘ g = IdF, alors f est bijective et g = f⁻¹.

💡 Astuce mémo

Injective : au plus un antécédent ; surjective : au moins un ; bijective : un unique.

📖 6. Sommes et produits finis

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme finie : Pour une famille réelle (uₖ) et des entiers p ≤ n, la somme de ses termes de p à n se note $\sum_{k=p}^{n}u_k = u_p + u_{p+1} + \cdots + u_n.$
• Somme géométrique : Une somme de la forme 1 + q + q² + ⋯ + qⁿ, soit $\sum_{k=0}^{n}q^k,$ est appelée somme géométrique.
• Produit fini : Pour une famille réelle (uₖ) et des entiers p ≤ n, le produit de ses termes de p à n se note $\prod_{k=p}^{n}u_k = u_p \times u_{p+1} \times \cdots \times u_n.$

★ À maîtriser

📐 Formule - La linéarité de la somme donne $\sum_{k=m}^{n}(u_k+v_k)=\sum_{k=m}^{n}u_k+\sum_{k=m}^{n}v_k$ et $\sum_{k=m}^{n}\lambda u_k=\lambda\sum_{k=m}^{n}u_k.$

• Dans un changement d’indice, on remplace l’indice par une nouvelle variable et on adapte les bornes ; par exemple, avec j = k + r, $\sum_{k=m}^{n}u_{k+r}=\sum_{j=m+r}^{n+r}u_j.$

📐 Formule - Les sommes usuelles des puissances vérifient $\sum_{k=1}^{n}1=n,\quad\sum_{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2},\quad\sum_{k=1}^{n}k^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6},\quad\sum_{k=0}^{n}k^3=\frac{n^2(n+1)^2}{4}$ pour n ≥ 1.

📐 Formule - Pour q ≠ 1 et p ≤ n, $\sum_{k=p}^{n}q^k=q^p\frac{1-q^{n-p+1}}{1-q}$ ; pour q = 1, $\sum_{k=p}^{n}q^k=n-p+1.$

Compléments

• Dans une somme ou un produit fini, l’indice est une variable muette, l’expression contient n − m + 1 termes de m à n, et l’ordre des termes n’en change pas la valeur.

📐 Formule - La relation de Chasles s’écrit $\sum_{k=m}^{n}u_k=\sum_{k=m}^{p}u_k+\sum_{k=p+1}^{n}u_k$ pour m ≤ p < n.

📐 Formule - Le produit terme à terme vérifie $\prod_{k=m}^{n}(u_kv_k)=\left(\prod_{k=m}^{n}u_k\right)\left(\prod_{k=m}^{n}v_k\right)$ et, si chaque vₖ est non nul, $\prod_{k=m}^{n}\frac{u_k}{v_k}=\frac{\prod_{k=m}^{n}u_k}{\prod_{k=m}^{n}v_k}.$

📐 Formule - Pour une constante λ et m ≤ n, $\sum_{k=m}^{n}\lambda=(n-m+1)\lambda\quad\text{et}\quad\prod_{k=m}^{n}\lambda=\lambda^{n-m+1}.$

📖 7. Cardinaux et principes de dénombrement

🔑 Notions clés & Définitions

• Factorielle : Pour tout entier naturel n ≥ 1, la factorielle de n, notée n!, est le produit des entiers de 1 à n, et, par convention, 0! = 1.
• Cardinal : Le cardinal d’un ensemble fini E, noté |E| ou Card(E), est le nombre de ses éléments ; par convention, |∅| = 0.

★ À maîtriser

📌 Si A et B sont deux ensembles finis disjoints, alors $|A \cup B|=|A|+|B|$.

📌 Pour deux ensembles finis A et B, $|A \cup B|=|A|+|B|-|A \cap B|$.

📐 Formule - Pour des ensembles finis A₁, A₂, …, Aₙ, $|A_1 \times A_2 \times \cdots \times A_n|=|A_1||A_2|\cdots|A_n|$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout entier naturel n ≥ 1, $n! = n(n-1)!$.

📌 Si A est une partie d’un ensemble fini B, alors A est fini, |A| ≤ |B| et $|B \setminus A|=|B|-|A|$.

💡 Astuce mémo

Additivité pour des choix alternatifs, multiplicativité pour des choix successifs.

📖 8. Arrangements et combinaisons

🔑 Notions clés & Définitions

• Arrangement : Un arrangement de p éléments parmi n est un choix de p éléments distincts en tenant compte de leur ordre.
• Combinaison : Une combinaison de p éléments d’un ensemble E est une partie de E contenant p éléments, sans tenir compte de leur ordre.
• Liste : Une liste de longueur p d’éléments d’un ensemble fini E est un p-uplet dont chaque composante appartient à E.
• Permutation : Une permutation d’un ensemble de n éléments est un arrangement de ses n éléments, c’est-à-dire un classement de tous ses éléments en tenant compte de l’ordre.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour 0 ≤ p ≤ n, le nombre d’arrangements de p éléments parmi n est $A_n^p=\frac{n!}{(n-p)!}$, avec $A_n^0=1$.

Compléments

• Si E a n éléments, le nombre de listes de longueur p formées avec les éléments de E est $n^p$.

📐 Formule - Le nombre de permutations d’un ensemble à n éléments est $P_n=n!$.

💡 Astuce mémo

Arrangement : l’ordre compte ; combinaison : l’ordre ne compte pas.

📖 9. Coefficients binomiaux et binôme

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour 0 ≤ p ≤ n, le nombre de combinaisons de p éléments parmi n est $\binom{n}{p}=\frac{n!}{p!(n-p)!}$.

📐 Formule - Pour 0 ≤ p ≤ n, les coefficients binomiaux vérifient la symétrie $\binom{n}{p}=\binom{n}{n-p}$.

📐 Formule - Pour 0 < p < n, la relation de Pascal est $\binom{n}{p}=\binom{n-1}{p}+\binom{n-1}{p-1}$.

📐 Formule - Pour a, b réels et n entier naturel, la formule du binôme de Newton est $(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}a^{n-k}b^k$.

Compléments

• Les coefficients binomiaux vérifient $\binom{n}{0}=1$, $\binom{n}{n}=1$ et, si p > n, $\binom{n}{p}=0$.

• Dans le triangle de Pascal, la ligne de rang n contient les coefficients $\binom{n}{0},\binom{n}{1},\ldots,\binom{n}{n}$ et chaque coefficient se construit à partir des deux coefficients situés au-dessus.

📖 10. Ordre et valeur absolue des réels

🔑 Notions clés & Définitions

• Valeur absolue : Pour x réel, sa valeur absolue est définie par |x| = x si x ≥ 0 et |x| = −x si x < 0 ; elle représente la distance entre x et 0 sur la droite réelle.
• Partie entière : La partie entière E(x) d’un réel x est l’unique entier relatif vérifiant E(x) ≤ x < E(x)+1 ; c’est le plus grand entier inférieur ou égal à x.
• Plus grand élément : Élément de A tel que tout x de A vérifie x ≤ M ; lorsqu’il existe, il est noté max(A).
• Plus petit élément : Élément de A tel que tout x de A vérifie m ≤ x ; lorsqu’il existe, il est noté min(A).
• Partie majorée : Une partie A de ℝ est majorée s’il existe un réel M tel que tout x de A vérifie x ≤ M ; M est alors un majorant de A.
• Partie minorée : Une partie A de ℝ est minorée s’il existe un réel m tel que tout x de A vérifie m ≤ x ; m est alors un minorant de A.
• Partie bornée : Une partie de ℝ est bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

★ À maîtriser

📌 Ajouter un même réel aux deux membres d’une inégalité conserve son sens ; la multiplier par un réel positif le conserve, tandis que la multiplier par un réel négatif l’inverse.

📌 Pour x réel et r ≥ 0, |x| ≤ r équivaut à −r ≤ x ≤ r, tandis que |x| ≥ r équivaut à x ≤ −r ou x ≥ r.

📐 Formule - Pour tous réels x et y, l’inégalité triangulaire est $|x+y|\le |x|+|y|$.

Compléments

• Pour tous réels a et b, une et une seule des relations a < b, a = b ou a > b est vérifiée.

📌 Si a ≤ b et c ≤ d, alors a + c ≤ b + d ; si 0 ≤ a ≤ b et 0 ≤ c ≤ d, alors ac ≤ bd.

• La droite réelle représente les nombres réels de telle sorte qu’à chaque réel correspond un unique point et que a ≤ b si et seulement si le point de a est à gauche de celui de b.

• Pour tous réels x et y, |x| ≥ 0, |x| = 0 si et seulement si x = 0, |−x| = |x| et |xy| = |x||y| ; si y ≠ 0, $\left|\frac{x}{y}\right|=\frac{|x|}{|y|}$.

📌 Pour tout réel x, x − 1 < E(x) ≤ x.

📌 Pour tout entier n, E(x) = n si et seulement si n ≤ x < n + 1.

💡 Astuce mémo

Sur la droite réelle, comparer revient à regarder lequel des deux points est à gauche.

📖 11. Borne supérieure et borne inférieure

🔑 Notions clés & Définitions

• Borne supérieure : Plus petit des majorants de A.
• Borne inférieure : Plus grand des minorants de A.

★ À maîtriser

📌 Si A possède un maximum, alors max(A) = sup(A) ; si A possède un minimum, alors min(A) = inf(A).

Compléments

• Pour B = ]0, 1[, 1 est la borne supérieure car tout x de B vérifie x < 1 et, pour tout réel a < 1, il existe x de B tel que a < x ; comme 1 n’appartient pas à B, B n’a pas de maximum.

💡 Astuce mémo

Le supremum est le plus petit majorant ; le maximum est un élément de A.

📖 12. Calculs et géométrie complexes

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre complexe : Écrit de manière unique sous la forme z = a + ib, avec a et b réels et i² = −1.
• Conjugué : Nombre complexe \overline{z} = a − ib.

★ À maîtriser

📌 Pour z = a + ib, Re(z) = a et Im(z) = b ; z est réel si b = 0 et imaginaire pur si a = 0.

📐 Formule - Pour z₁ = a + ib et z₂ = c + id, $z_1+z_2=(a+c)+i(b+d)$ et $z_1z_2=(ac-bd)+i(ad+bc)$.

📐 Formule - Le module de z = a + ib est $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ et représente la distance entre son point image et l’origine.

📌 Pour tous z et z′ complexes, l’inégalité triangulaire donne |z + z′| ≤ |z| + |z′|.

Compléments

📌 Deux nombres complexes a + ib et c + id sont égaux si et seulement si a = c et b = d ; un complexe est nul si et seulement si ses parties réelle et imaginaire sont nulles.

📐 Formule - Pour z = a + ib, $z\overline{z}=a^2+b^2$, $z+\overline{z}=2\operatorname{Re}(z)$ et $z-\overline{z}=2i\operatorname{Im}(z)$.

• Le point image de z = a + ib a pour coordonnées (a, b) dans le plan complexe, dont les axes horizontal et vertical sont respectivement l’axe réel et l’axe imaginaire.

📌 Pour z, z′ ∈ ℂ et n ∈ ℕ, |z| ≥ 0, |z| = 0 si et seulement si z = 0, |z̄| = |z|, |zz′| = |z||z′|, |zⁿ| = |z|ⁿ et, si z′ ≠ 0, |z/z′| = |z|/|z′|.

📐 Formule - Si M et N sont les points images de z et z′ dans le plan complexe, alors $MN=|z-z'|$.

💡 Astuce mémo

Dans le plan, le conjugué reflète le point sur l’axe réel et le module mesure sa distance à l’origine.

📖 13. Arguments et forme trigonométrique

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine carrée : Nombre complexe w vérifiant w² = a.
• Argument : Mesure, modulo 2π, de l’angle orienté entre l’axe réel positif et la demi-droite reliant l’origine au point image de z.
• Forme trigonométrique : Écriture z = r(cos θ + i sin θ), avec r = |z| > 0 et θ un argument de z.

★ À maîtriser

• Pour déterminer les racines carrées de z = a + ib, on écrit w = x + iy et on impose w² = z, ce qui donne x² − y² = a, 2xy = b et x² + y² = |z|.

📐 Formule - Pour az² + bz + c = 0 avec a, b, c ∈ ℂ et a ≠ 0, le discriminant est $\Delta=b^2-4ac$ ; si δ² = Δ, les solutions sont $z_1=\frac{-b+\delta}{2a}$ et $z_2=\frac{-b-\delta}{2a}$.

📌 Pour z, z′ ∈ ℂ{0} et n ∈ ℤ, arg(zz′) ≡ arg(z) + arg(z′), arg(z/z′) ≡ arg(z) − arg(z′), arg(1/z) ≡ −arg(z), arg(z̄) ≡ −arg(z) et arg(zⁿ) ≡ n arg(z), toutes ces congruences étant modulo 2π.

Compléments

📐 Formule - Dans le système associé à w² = a + ib, on obtient $x^2=\frac{|z|+a}{2}$ et $y^2=\frac{|z|-a}{2}$ ; le signe de xy est déterminé par 2xy = b.

📌 Si a, b et c sont réels et si le discriminant Δ = b² − 4ac est négatif, une racine carrée de Δ est i√|Δ| et les solutions de az² + bz + c = 0 sont conjuguées l’une de l’autre.

• Si θ est un argument de z, tous ses arguments sont de la forme θ + 2kπ avec k ∈ ℤ ; 0 n’a pas d’argument défini.

📐 Formule - Pour z = x + iy ≠ 0, un argument θ vérifie $\cos\theta=\frac{x}{|z|}$ et $\sin\theta=\frac{y}{|z|}$.

📌 Deux nombres complexes non nuls sont égaux si et seulement s’ils ont le même module et des arguments congrus modulo 2π.

📖 14. Forme exponentielle et formules d’Euler

🔑 Notions clés & Définitions

• Forme exponentielle : La forme exponentielle d’un complexe non nul est $z=re^{iθ}$ lorsque $z=r(\cos θ+i\sin θ)$ et $r=|z|>0$, avec $e^{iθ}=\cos θ+i\sin θ$.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tout entier n et tout réel θ, $(\cos θ+i\sin θ)^n=\cos(nθ)+i\sin(nθ).$

📐 Formule - Pour tous réels a et b, $e^{ia}e^{ib}=e^{i(a+b)}$ et $\frac{e^{ia}}{e^{ib}}=e^{i(a-b)}$.

📐 Formule - Pour tout réel θ, $\cos θ=\frac{e^{iθ}+e^{-iθ}}{2}$ et $\sin θ=\frac{e^{iθ}-e^{-iθ}}{2i}$.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel a et tout entier n, $(e^{ia})^n=e^{ina}$ et $e^{-ia}=\frac{1}{e^{ia}}$.

📖 15. Linéarisation et intégration trigonométriques

🔑 Notions clés & Définitions

• Amplitude : L’amplitude A de la forme $a\cos t+b\sin t=A\cos(t-φ)$ vaut $\sqrt{a^2+b^2}$.
• Phase : La phase φ de la forme $a\cos t+b\sin t=A\cos(t-φ)$ est un argument du nombre complexe $a+ib$.

★ À maîtriser

• 🔄 La linéarisation suit ces étapes :
  1. Remplacer sinus et cosinus par leurs formes exponentielles
  2. Développer et réduire l’expression
  3. Regrouper les termes sous la forme $e^{it}+e^{-it}$ ou $e^{it}-e^{-it}$
  4. Revenir aux fonctions trigonométriques

📐 Formule - Pour a,b∈R tels que $a^2+b^2>0$, $a\cos t+b\sin t=A\cos(t-φ),$ où $A=\sqrt{a^2+b^2}$ et φ est un argument de $a+ib$.

Compléments

• La linéarisation transforme les produits ou puissances trigonométriques en sommes de sinus et cosinus d’angles multiples, ce qui facilite le calcul de primitives et d’intégrales.

💡 Astuce mémo

Exponentielles → regroupement → fonctions trigonométriques

📖 16. Définitions et degrés des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine n-ième : Une racine n-ième d’un complexe z est un complexe w tel que $w^n=z$.
• Polynôme : Un polynôme à coefficients dans $K$, où $K=\mathbb R$ ou $\mathbb C$, est une expression $P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$ avec $a_k∈K$.
• Degré d’un polynôme : Le degré d’un polynôme non nul est le plus grand exposant dont le coefficient est non nul; par convention, $\deg(0)=-\infty$.
• Racine n-ième de l’unité : Les racines n-ièmes de l’unité sont les solutions complexes de $z^n=1$.
• Coefficient dominant : Le coefficient dominant d’un polynôme non nul est le coefficient de son terme de plus haut degré.
• Polynôme unitaire : Un polynôme non nul est unitaire lorsque son coefficient dominant vaut 1.

★ À maîtriser

📐 Formule - Les racines n-ièmes de l’unité sont $z_k=e^{i\frac{2kπ}{n}},\quad k=0,\ldots,n-1,$ et sont représentées par n points régulièrement répartis sur le cercle unité.

• Pour trouver les racines n-ièmes d’un complexe non nul $z=re^{iθ}$, on écrit les racines sous la forme $w=ρe^{iφ}$, puis on résout $ρ^n=r$ et $nφ=θ+2kπ$ afin d’obtenir les n solutions.

Compléments

• Dans $P(X)=\sum_{k=0}^{n}a_kX^k$, les $a_k$ sont les coefficients et les termes $a_kX^k$ sont les monômes; si $a_k\ne0$, le degré du monôme $a_kX^k$ est k.

📖 17. Opérations et égalité des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Division euclidienne : Pour $P,D∈K[X]$ avec $D\ne0$, il existe un unique couple $(Q,R)$ tel que $P=DQ+R$ et $\deg(R)<\deg(D)$ ou $R=0$; Q est le quotient et R le reste.
• Divisibilité polynomiale : Pour $P,D∈K[X]$ avec $D\ne0$, D divise P s’il existe un polynôme Q tel que $P=DQ$; P est alors un multiple de D.

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $P(X)=a_0+a_1X+\cdots+a_nX^n$, alors $P'(X)=a_1+2a_2X+\cdots+na_nX^{n-1}.$

• Deux polynômes sont égaux si et seulement si leurs coefficients de même degré sont égaux.

📌 Un polynôme D non nul divise P si et seulement si le reste de la division euclidienne de P par D est nul.

Compléments

• Pour additionner des polynômes, on regroupe les termes de même degré; leur produit s’obtient en développant puis en regroupant les termes de même degré.

📐 Formule - Pour des polynômes non nuls P et Q, $\deg(P+Q)\le\max(\deg(P),\deg(Q))$, avec égalité si leurs degrés diffèrent, et $\deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)$.

📐 Formule - Pour un polynôme non nul P et un scalaire λ, $\deg(λP)=\deg(P)$ si λ≠0 et $\deg(0P)=-\infty$; de plus, $\deg(P')\le\deg(P)-1$, avec égalité si $\deg(P)>0$.

• 🔄 La division euclidienne suit ces étapes :
  1. Ordonner les polynômes selon les puissances décroissantes de X
  2. Diviser le terme dominant du dividende par celui du diviseur
  3. Multiplier le diviseur par le terme obtenu, puis soustraire
  4. Recommencer jusqu’à obtenir un reste nul ou de degré inférieur au diviseur

📖 18. Racines et multiplicité des polynômes

🔑 Notions clés & Définitions

• Racine d’un polynôme : Un élément a∈K est une racine de P∈K[X] si $P(a)=0$.
• Multiplicité d’une racine : Une racine a d’un polynôme non nul P est de multiplicité m si m est le plus grand entier positif tel que $(X-a)^m$ divise P; elle est simple pour m=1, double pour m=2 et triple pour m=3.

★ À maîtriser

• Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines distinctes; s’il en admet n, il s’écrit $P(X)=a\prod_{k=1}^{n}(X-x_k)$ avec $a\ne0$.

• Dans $\mathbb C[X]$, les polynômes irréductibles sont exactement ceux de degré 1; dans $\mathbb R[X]$, ce sont ceux de degré 1 et ceux de degré 2 à discriminant strictement négatif.

Compléments

📌 Une racine a de multiplicité m de P vérifie $P(a)=P'(a)=\cdots=P^{(m-1)}(a)=0$ et $P^{(m)}(a)\ne0$, et réciproquement.

📌 Si un polynôme à coefficients réels possède une racine complexe non réelle α, son conjugué $\bar α$ est également une racine.

• Tout polynôme réel non constant se factorise en facteurs de degré 1 et en facteurs quadratiques irréductibles, tandis que tout polynôme complexe non constant se factorise en facteurs de degré 1.

📌 Pour résoudre le système réel $u+v=S$, $uv=P$, on cherche les racines du polynôme $X^2-SX+P$; ses deux racines sont u et v.

📊 Tableaux de synthèse

Injectivité, surjectivité et bijectivité