Fiche de révision : Opérations sur les relatifs

📋 Plan du Cours

1. Addition des nombres relatifs
2. Opposés et soustraction
3. Sommes algébriques
4. Multiplication des relatifs
5. Division des relatifs
6. Priorités et expressions littérales

📖 1. Addition des nombres relatifs

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombre relatif : Composé d’un signe positif ou négatif et d’une partie numérique appelée distance à zéro.

★ À maîtriser

📌 Pour additionner deux relatifs de même signe, on conserve ce signe et on additionne leurs distances à zéro.

📌 Pour additionner deux relatifs de signes contraires, on prend le signe du nombre ayant la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

Compléments

• Les additions de relatifs se représentent sur un axe gradué par des déplacements de même sens pour des nombres de même signe et de sens contraire pour des nombres de signes différents.

💡 Astuce mémo

Même signe : on additionne les distances ; signes contraires : on les soustrait.

📖 2. Opposés et soustraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Nombres opposés : Deux nombres sont opposés si leur somme est nulle.

★ À maîtriser

• Des nombres opposés ont la même distance à zéro et des signes contraires, et 0 est son propre opposé.

📌 Soustraire un nombre relatif revient à ajouter son opposé.

Compléments

• Par exemple, $(-7)-(-2{,}4)=(-7)+(+2{,}4)=-4{,}6$.

💡 Astuce mémo

Soustraire un relatif → ajouter son opposé.

📖 3. Sommes algébriques

📝 Points essentiels

• Pour calculer une somme algébrique, on supprime les parenthèses en simplifiant les signes, puis on peut modifier l’ordre des termes en déplaçant chaque nombre avec son signe.

• Les quatre transformations de signes sont:

  • Ajouter un positif conserve le signe positif
  • Soustraire un négatif donne un signe positif
  • Ajouter un négatif donne un signe négatif
  • Soustraire un positif donne un signe négatif

💡 Astuce mémo

Signes d’accord : ++ ou −− ; signes fâchés : +− ou −+.

📖 4. Multiplication des relatifs

★ À maîtriser

• Pour multiplier deux nombres relatifs, le produit est positif si les facteurs ont le même signe et négatif s’ils ont des signes contraires, puis on multiplie les distances à zéro.

• Si un facteur est nul, le produit est nul : $0\times a=a\times0=0$.

• Un produit de plusieurs facteurs est positif s’il comporte un nombre pair de facteurs négatifs et négatif s’il comporte un nombre impair de facteurs négatifs.

Compléments

📌 La multiplication est commutative : $a\times b=b\times a$.

📌 Multiplier un nombre par −1 revient à prendre son opposé : $(-1)\times a=a\times(-1)=-a$.

💡 Astuce mémo

Signes identiques → produit positif ; signes différents → produit négatif.

📖 5. Division des relatifs

★ À maîtriser

📌 Pour diviser deux relatifs, on détermine le signe du quotient comme celui d’un produit, puis on divise les distances à zéro.

Compléments

• Dans une fraction, le signe négatif peut être placé au numérateur, au dénominateur ou devant la fraction : $\frac{-7}{4}=\frac{7}{-4}=-\frac{7}{4}$.

📌 Les quotients particuliers vérifient $\frac{a}{1}=a$, $\frac{a}{-1}=-a$, $\frac{a}{a}=1$, $\frac{a}{-a}=-1$ et $\frac{0}{a}=0$ avec $a\ne0$.

💡 Astuce mémo

Même signe au quotient : positif ; signes contraires : négatif.

📖 6. Priorités et expressions littérales

🔑 Notions clés & Définitions

• Évaluer une expression littérale : La calculer en remplaçant les lettres par des valeurs et en rétablissant les multiplications sous-entendues.

★ À maîtriser

• Les priorités de calcul sont:
  • Les calculs entre parenthèses, en commençant par les plus intérieures
  • Les multiplications et divisions
  • Les additions et soustractions

Compléments

📌 Lorsque des opérations ont le même niveau de priorité, on les effectue de gauche à droite ou en utilisant la commutativité de l’addition ou de la multiplication.

• Pour $a=-1$, l’expression $P=2a(3a^2+2{,}5)$ s’évalue à $P_{-1}=-11$.

💡 Astuce mémo

Parenthèses → multiplications/divisions → additions/soustractions.

📊 Tableaux de synthèse

Règles de signe