Fiche de révision : Normes et calculs vectoriels

📋 Plan du Cours

1. Norme d’un vecteur
2. Propriétés de la norme
3. Vecteur unitaire
4. Somme et produit vectoriels
5. Règles de calcul vectoriel
6. Simplification d’expressions vectorielles

📖 1. Norme d’un vecteur

🔑 Notions clés & Définitions

• Norme d’un vecteur : La distance AB lorsque AB est un représentant de u, et se note ||u|| = AB.

📝 Points essentiels

• Dans un triangle ABC rectangle en A avec AC = 4 et AB = 3, si AC = u, AB = v et BC = w, alors le théorème de Pythagore donne BC² = 4² + 3² = 25, donc BC = 5 et ||w|| = 5.

💡 Astuce mémo

Visualiser la norme comme la longueur du représentant AB.

📖 2. Propriétés de la norme

★ À maîtriser

• Deux vecteurs de même norme ne sont pas nécessairement égaux.

• Pour tout vecteur u, sa norme vérifie ||u|| > 0.

• La norme d’un vecteur u est nulle si et seulement si u est le vecteur nul : ||u|| = 0 ⇔ u = 0⃗.

📐 Formule — La norme d’un multiple réel ku vérifie $\|ku\|=|k|\,\|u\|$.

Compléments

📌 La norme d’une somme vérifie $\|u+v\|\leq\|u\|+\|v\|$.

💡 Astuce mémo

Même norme ≠ mêmes vecteurs.

📖 3. Vecteur unitaire

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur unitaire : Un vecteur de norme 1.

💡 Astuce mémo

Unitaire = norme 1.

📖 4. Somme et produit vectoriels

🔑 Notions clés & Définitions

• Somme de vecteurs : Si AB = u et BC = v, alors le vecteur AC représente la somme u + v.
• Produit par un réel : Pour un vecteur non nul u et un réel non nul λ, le produit λu est un vecteur de direction celle de u et de norme |λ| ||u||.

📝 Points essentiels

📌 Pour tout vecteur u et tout réel λ, on a λ0⃗ = 0⃗ et 0u⃗ = 0⃗.

💡 Astuce mémo

AB puis BC donnent AC.

📖 5. Règles de calcul vectoriel

📝 Points essentiels

📌 Les opérations vectorielles vérifient les propriétés suivantes : u + v = v + u ; (u + v) + w = u + (v + w) ; u + 0⃗ = u ; u + (-u) = 0⃗ ; (k + β)u = ku + βu ; α(u + v) = αu + αv ; α(βu) = (α · β)u ; 1u = u.

📖 6. Simplification d’expressions vectorielles

📝 Points essentiels

• Pour a = 8u − 2v + 6w + 6v − 2(u + 3w), le développement et le regroupement donnent a = 6u + 4v.

💡 Astuce mémo

Développer, regrouper, réduire.

📊 Tableaux de synthèse

Opérations vectorielles fondamentales