QCM : Normes et calculs vectoriels — 13 questions

Question 1

1. Si le segment $AB$ est un représentant du vecteur $\vec{u}$ , comment exprime-t-on la norme de ce vecteur ?

\|\vec{u}\|=A+B

\|\vec{u}\|=\overrightarrow{AB}

\|\vec{u}\|=\overrightarrow{BA}

\|\vec{u}\|=AB

Explication

La norme d’un vecteur est la longueur de l’un de ses représentants, donc elle vaut ici la distance $AB$ . Le vecteur $\overrightarrow{AB}$ contient aussi une direction et un sens, alors que la norme est une longueur.

Answer

$$\|\vec{u}\|=AB$$

Question 2

2. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , avec $AC=4$ , $AB=3$ et $\vec{w}=\overrightarrow{BC}$ , quelle est la norme de $\vec{w}$ ?

5

25

7

1

Explication

Le théorème de Pythagore donne $BC^2=4^2+3^2=25$ , donc $BC=5$ et $\|\vec{w}\|=5$ . La valeur $25$ correspond au carré de la longueur, pas à la norme elle-même.

Answer

Ils ont la même longueur.

Answer

Elle est strictement positive.

Answer

Le vecteur $$\vec{u}$$ est nul.

Answer

Sa norme est égale à $$1$$.

Answer

Un vecteur de norme $$1$$.

Answer

$$\overrightarrow{AC}$$

Answer

Il a la direction de $$\vec{u}$$ et une norme égale à $$|\lambda|\|\vec{u}\|$$.

Answer

La distributivité : $$\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}$$.

Answer

$$\vec{a}=6\vec{u}+4\vec{v}$$

Answer

Les termes en $$\vec{w}$$, car $$6\vec{w}-6\vec{w}=\vec{0}$$.

Question 3

3. Deux vecteurs ont la même norme. Que peut-on en déduire avec certitude ?

Ils sont nécessairement le même vecteur.

Ils ont la même origine et la même extrémité.

Ils ont la même longueur.

Ils ont la même direction et le même sens.

Explication

Des vecteurs de même norme ont la même longueur, mais leurs directions ou leurs sens peuvent être différents. L’égalité des normes ne suffit donc pas à établir l’égalité des vecteurs.

Question 4

4. Quelle affirmation décrit correctement la norme d’un vecteur non nul $\vec{u}$ ?

Elle est strictement positive.

Elle est inférieure à zéro.

Elle est égale à zéro.

Elle est toujours égale à un.

Explication

La longueur d’un vecteur non nul est strictement positive, donc $\|\vec{u}\|>0$ . Une norme ne peut pas être négative, et la valeur $1$ caractérise les vecteurs unitaires.

Question 5

5. Que caractérise l’égalité $\|\vec{u}\|=0$ ?

Le vecteur

\vec{u}

possède une direction non nulle.

Le vecteur

\vec{u}

est de longueur positive.

Le vecteur

\vec{u}

est nul.

Le vecteur

\vec{u}

est unitaire.

Explication

Une norme nulle équivaut à un vecteur nul : $\|\vec{u}\|=0\Longleftrightarrow\vec{u}=\vec{0}$ . Un vecteur unitaire possède au contraire une norme égale à $1$ .

Question 6

6. Si $\|\vec{u}\|=3$ , quelle est la valeur de $\|{-4}\vec{u}\|$ ?

7

-12

12

\frac{3}{4}

Explication

La règle des multiples donne $\|k\vec{u}\|=|k|\,\|\vec{u}\|$ , donc $\|{-4}\vec{u}\|=4\times3=12$ . Le signe négatif du coefficient ne rend pas la norme négative, car elle utilise sa valeur absolue.

Question 7

7. Quelle condition caractérise un vecteur unitaire ?

Sa norme est égale à

1

.

Sa norme est égale à la longueur de n’importe quel vecteur.

Sa norme est égale à

0

.

Sa norme est strictement supérieure à

1

.

Explication

Un vecteur unitaire est défini par une norme égale à $1$ . Le vecteur nul a une norme égale à $0$ et n’est donc pas un vecteur unitaire.

Question 8

8. Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur unitaire ?

Un vecteur de norme

-1

.

Un vecteur de norme

1

.

Un vecteur de norme

2

.

Un vecteur de norme

0

.

Explication

La condition d’unitarité est précisément $\|\vec{u}\|=1$ . Une norme vaut toujours une longueur positive ou nulle, de sorte qu’une valeur négative ne peut pas convenir.

Question 9

9. Si $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{BC}=\vec{v}$ , quel vecteur représente $\vec{u}+\vec{v}$ ?

\overrightarrow{BA}

\overrightarrow{AC}

\overrightarrow{CA}

\overrightarrow{CB}

Explication

La relation de Chasles donne $\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ , donc la somme est représentée par $\overrightarrow{AC}$ . Les vecteurs $\overrightarrow{BA}$ et $\overrightarrow{CA}$ ont des sens opposés, tandis que $\overrightarrow{CB}$ ne correspond qu’au second déplacement inversé.

Question 10

10. Pour un vecteur non nul $\vec{u}$ et un réel non nul $\lambda$ , comment caractérise-t-on le produit $\lambda\vec{u}$ ?

Il a une direction perpendiculaire à

\vec{u}

et une norme égale à

\lambda\|\vec{u}\|

.

Il a la direction de

\vec{u}

et une norme égale à

|\lambda|\|\vec{u}\|

.

Il conserve la norme de

\vec{u}

et sa direction dépend de

\lambda

.

Il a la direction de

\vec{u}

et une norme égale à

\lambda+\|\vec{u}\|

.

Explication

La multiplication par un réel non nul conserve la direction du vecteur et multiplie sa norme par la valeur absolue de ce réel. La direction ne devient pas perpendiculaire et la norme n’est ni conservée ni obtenue par une addition.

Question 11

11. Quelle propriété permet de transformer $\alpha(\vec{u}+\vec{v})$ en une somme de deux produits vectoriels ?

La commutativité :

\vec{u}+\vec{v}=\vec{v}+\vec{u}

.

L’associativité :

(\vec{u}+\vec{v})+\vec{w}=\vec{u}+(\vec{v}+\vec{w})

.

La distributivité :

\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}

.

L’élément neutre :

\vec{u}+\vec{0}=\vec{u}

.

Explication

La distributivité du produit par un scalaire transforme le produit d’une somme en somme de deux produits. La commutativité et l’associativité réorganisent des additions, tandis que l’élément neutre décrit le rôle du vecteur nul.

Question 12

12. En développant et en regroupant l’expression $\vec{a}=8\vec{u}-2\vec{v}+6\vec{w}+6\vec{v}-2(\vec{u}+3\vec{w})$ , quelle forme obtient-on ?

\vec{a}=6\vec{u}-8\vec{v}+12\vec{w}

\vec{a}=10\vec{u}+4\vec{v}+12\vec{w}

\vec{a}=10\vec{u}+4\vec{v}-12\vec{w}

\vec{a}=6\vec{u}+4\vec{v}

Explication

Le développement donne $-2(\vec{u}+3\vec{w})=-2\vec{u}-6\vec{w}$ . Après regroupement, les termes en $\vec{w}$ s’annulent, tandis que ceux en $\vec{u}$ et $\vec{v}$ donnent respectivement $6\vec{u}$ et $4\vec{v}$ .

Question 13

13. Dans l’expression $8\vec{u}-2\vec{v}+6\vec{w}+6\vec{v}-2(\vec{u}+3\vec{w})$ , quel terme disparaît après développement et regroupement ?

Les termes en

\vec{w}

, car

6\vec{w}-6\vec{w}=\vec{0}

.

Les termes en

\vec{u}

, car

8\vec{u}-8\vec{u}=\vec{0}

.

Les termes en

\vec{v}

, car

-2\vec{v}+2\vec{v}=\vec{0}

.

Les termes constants, car l’expression ne contient aucun vecteur.

Explication

Le développement du dernier terme produit $-2\vec{u}-6\vec{w}$ , qui annule le terme initial $6\vec{w}$ . Les termes en $\vec{u}$ et en $\vec{v}$ ne s’annulent pas, et l’expression ne contient pas de terme constant.

QCM : Normes et calculs vectoriels — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si le segment $AB$ est un représentant du vecteur $\vec{u}$ , comment exprime-t-on la norme de ce vecteur ?

2. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , avec $AC=4$ , $AB=3$ et $\vec{w}=\overrightarrow{BC}$ , quelle est la norme de $\vec{w}$ ?

3. Deux vecteurs ont la même norme. Que peut-on en déduire avec certitude ?

4. Quelle affirmation décrit correctement la norme d’un vecteur non nul $\vec{u}$ ?

5. Que caractérise l’égalité $\|\vec{u}\|=0$ ?

6. Si $\|\vec{u}\|=3$ , quelle est la valeur de $\|{-4}\vec{u}\|$ ?

7. Quelle condition caractérise un vecteur unitaire ?

8. Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur unitaire ?

9. Si $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{BC}=\vec{v}$ , quel vecteur représente $\vec{u}+\vec{v}$ ?

10. Pour un vecteur non nul $\vec{u}$ et un réel non nul $\lambda$ , comment caractérise-t-on le produit $\lambda\vec{u}$ ?

11. Quelle propriété permet de transformer $\alpha(\vec{u}+\vec{v})$ en une somme de deux produits vectoriels ?

12. En développant et en regroupant l’expression $\vec{a}=8\vec{u}-2\vec{v}+6\vec{w}+6\vec{v}-2(\vec{u}+3\vec{w})$ , quelle forme obtient-on ?

13. Dans l’expression $8\vec{u}-2\vec{v}+6\vec{w}+6\vec{v}-2(\vec{u}+3\vec{w})$ , quel terme disparaît après développement et regroupement ?

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QCM : Normes et calculs vectoriels — 13 questions

Questions et réponses du QCM

1. Si le segment ABABAB est un représentant du vecteur u⃗\vec{u}u, comment exprime-t-on la norme de ce vecteur ?

2. Dans un triangle ABCABCABC rectangle en AAA, avec AC=4AC=4AC=4, AB=3AB=3AB=3 et w⃗=BC→\vec{w}=\overrightarrow{BC}w=BC, quelle est la norme de w⃗\vec{w}w ?

3. Deux vecteurs ont la même norme. Que peut-on en déduire avec certitude ?

4. Quelle affirmation décrit correctement la norme d’un vecteur non nul u⃗\vec{u}u ?

5. Que caractérise l’égalité ∥u⃗∥=0\|\vec{u}\|=0∥u∥=0 ?

6. Si ∥u⃗∥=3\|\vec{u}\|=3∥u∥=3, quelle est la valeur de ∥−4u⃗∥\|{-4}\vec{u}\|∥−4u∥ ?

7. Quelle condition caractérise un vecteur unitaire ?

8. Parmi les vecteurs suivants, lequel est un vecteur unitaire ?

9. Si AB→=u⃗\overrightarrow{AB}=\vec{u}AB=u et BC→=v⃗\overrightarrow{BC}=\vec{v}BC=v, quel vecteur représente u⃗+v⃗\vec{u}+\vec{v}u+v ?

10. Pour un vecteur non nul u⃗\vec{u}u et un réel non nul λ\lambdaλ, comment caractérise-t-on le produit λu⃗\lambda\vec{u}λu ?

11. Quelle propriété permet de transformer α(u⃗+v⃗)\alpha(\vec{u}+\vec{v})α(u+v) en une somme de deux produits vectoriels ?

12. En développant et en regroupant l’expression a⃗=8u⃗−2v⃗+6w⃗+6v⃗−2(u⃗+3w⃗)\vec{a}=8\vec{u}-2\vec{v}+6\vec{w}+6\vec{v}-2(\vec{u}+3\vec{w})a=8u−2v+6w+6v−2(u+3w), quelle forme obtient-on ?

13. Dans l’expression 8u⃗−2v⃗+6w⃗+6v⃗−2(u⃗+3w⃗)8\vec{u}-2\vec{v}+6\vec{w}+6\vec{v}-2(\vec{u}+3\vec{w})8u−2v+6w+6v−2(u+3w), quel terme disparaît après développement et regroupement ?

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1. Si le segment $AB$ est un représentant du vecteur $\vec{u}$ , comment exprime-t-on la norme de ce vecteur ?

2. Dans un triangle $ABC$ rectangle en $A$ , avec $AC=4$ , $AB=3$ et $\vec{w}=\overrightarrow{BC}$ , quelle est la norme de $\vec{w}$ ?

4. Quelle affirmation décrit correctement la norme d’un vecteur non nul $\vec{u}$ ?

5. Que caractérise l’égalité $\|\vec{u}\|=0$ ?

6. Si $\|\vec{u}\|=3$ , quelle est la valeur de $\|{-4}\vec{u}\|$ ?

9. Si $\overrightarrow{AB}=\vec{u}$ et $\overrightarrow{BC}=\vec{v}$ , quel vecteur représente $\vec{u}+\vec{v}$ ?

10. Pour un vecteur non nul $\vec{u}$ et un réel non nul $\lambda$ , comment caractérise-t-on le produit $\lambda\vec{u}$ ?

11. Quelle propriété permet de transformer $\alpha(\vec{u}+\vec{v})$ en une somme de deux produits vectoriels ?

12. En développant et en regroupant l’expression $\vec{a}=8\vec{u}-2\vec{v}+6\vec{w}+6\vec{v}-2(\vec{u}+3\vec{w})$ , quelle forme obtient-on ?

13. Dans l’expression $8\vec{u}-2\vec{v}+6\vec{w}+6\vec{v}-2(\vec{u}+3\vec{w})$ , quel terme disparaît après développement et regroupement ?