Fiche de révision : Optique géométrique et imagerie

📋 Plan du Cours

1. Histoire et modèles de la lumière
2. Rayons lumineux et réfraction
3. Lois de Snell-Descartes
4. Objets, images et stigmatisme
5. Miroir et dioptre plan
6. Lentilles minces et foyers
7. Images et formules des lentilles
8. Associations et usages des lentilles
9. Œil et vision
10. Amétropies et champ optique
11. Amétropies et correction de l’œil
12. Champ et grossissement optiques
13. Mise au point et profondeur de champ
14. Ouverture et quantité de lumière
15. Critères de qualité d’image
16. Limites et amélioration de l’image

📖 1. Histoire et modèles de la lumière

★ À maîtriser

• Newton défend une description corpusculaire de la lumière, tandis que Christiaan Huygens développe une théorie ondulatoire dans son « traité de la lumière », en 1678.

• En 1905, Einstein explique l’effet photoélectrique en supposant que les quanta de Planck existent sous forme de photons d’énergie $h\nu$, dépendant de la fréquence $\nu$.

Compléments

• En 1924, Louis de Broglie concilie les approches ondulatoire et corpusculaire en proposant la dualité onde-corpuscule.

• À la fin du XIXe siècle, la lumière est admise comme une onde électromagnétique se propageant à la vitesse $c = 3\times10^8\ \mathrm{m.s^{-1}}$.

💡 Astuce mémo

Newton défend le corpuscule, Huygens l’onde

📖 2. Rayons lumineux et réfraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Rayon lumineux : Caractérisé par une direction de propagation et une vitesse de propagation.
• Indice de réfraction : L’indice de réfraction d’un milieu est le rapport entre la vitesse de la lumière dans le vide et sa vitesse dans ce milieu, soit $n(\lambda)=\frac{c}{v(\lambda)}>1$.

★ À maîtriser

📌 Selon le principe de Fermat, la lumière emprunte le trajet qui minimise son temps de parcours.

• Dans tout milieu homogène, les rayons lumineux se propagent en ligne droite à une vitesse qui dépend du milieu.

Compléments

📐 Formule - La fréquence et la longueur d’onde dans le vide sont liées par $c = \lambda\nu$.

• Le spectre visible correspond aux longueurs d’onde comprises entre 400 nm et 750 nm.

📌 Une lumière polychromatique comporte plusieurs longueurs d’onde, tandis qu’une lumière monochromatique n’en comporte qu’une seule.

💡 Astuce mémo

Un changement de milieu modifie la vitesse et dévie le rayon

📖 3. Lois de Snell-Descartes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dioptre : Surface séparant deux milieux transparents d’indices différents.

★ À maîtriser

• La réflexion diffuse, produite par une surface irrégulière, ne forme pas d’image discernable, tandis que la réflexion spéculaire, produite par une surface très lisse, en forme une.

• Le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence et son angle vérifie $r_1=-i_1$.

• Le rayon réfracté appartient au plan d’incidence et vérifie la loi de Snell-Descartes $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$.

• Lorsqu’un rayon passe d’un milieu d’indice plus élevé vers un milieu d’indice plus faible, il existe un angle limite $i_\ell$ défini par $n_2\sin i_\ell=n_1$ ; si $i_1>i_\ell$, le rayon réfracté disparaît et seule subsiste la réflexion.

Compléments

📌 Si le rayon passe vers un milieu d’indice plus élevé, avec $n_2>n_1$, il se rapproche de la normale et vérifie $i_2<i_1$.

• La loi de Cauchy approxime la dispersion dans les milieux transparents par $n(\lambda)=a+\frac{b}{\lambda^2}$, où $a$ et $b$ sont des paramètres positifs propres au matériau.

💡 Astuce mémo

Réflexion : symétrie ; réfraction : indices et angles

📖 4. Objets, images et stigmatisme

🔑 Notions clés & Définitions

• Système optique centré : Constitué de surfaces transparentes ou réfléchissantes possédant un axe de symétrie de révolution appelé axe optique.
• Stigmatisme : Si les rayons émergents, ou leurs prolongements, se coupent tous en un même point image.
• Aplanétisme : Si l’image d’un objet plan perpendiculaire à l’axe optique est également plane et perpendiculaire à cet axe.

★ À maîtriser

📌 Un objet ou une image réels sont matérialisés par l’intersection des rayons lumineux, tandis qu’un objet ou une image virtuels le sont par l’intersection de leurs prolongements.

📌 Les conditions de Gauss consistent à utiliser des rayons proches de l’axe optique et peu inclinés par rapport à cet axe.

Compléments

📌 Un système est dioptrique si le rayon émergent ne ressort pas par la face d’entrée, et catadioptrique s’il en ressort par cette face.

💡 Astuce mémo

Réel : intersection des rayons ; virtuel : intersection des prolongements

📖 5. Miroir et dioptre plan

★ À maîtriser

• Le miroir plan est le seul système présenté comme rigoureusement stigmatique et aplanétique.

• Un miroir plan forme l’image d’un point par symétrie par rapport au plan du miroir : un objet réel donne une image virtuelle et un objet virtuel donne une image réelle.

• Un dioptre plan n’est pas stigmatique dans des conditions quelconques, car la position de l’image dépend de l’angle d’incidence.

Compléments

📐 Formule - Pour un miroir plan, les distances algébriques vérifient $AH=HA'$, où $H$ est le projeté orthogonal de $A$ sur le miroir.

• Le grandissement transversal d’un miroir plan vaut exactement $\gamma=+1$, car la symétrie conserve les dimensions.

📐 Formule - Dans les conditions de Gauss, la relation de conjugaison du dioptre plan est $\frac{H'A'}{HA}=\frac{n_2}{n_1}$.

💡 Astuce mémo

Le miroir plan est rigoureusement stigmatique, le dioptre plan seulement en conditions de Gauss

📖 6. Lentilles minces et foyers

🔑 Notions clés & Définitions

• Lentille mince : Association de deux dioptres sphériques dont l’épaisseur est faible devant la valeur absolue de leurs rayons de courbure, de sorte que leurs sommets sont confondus au centre optique.

★ À maîtriser

📌 Une lentille convergente a des bords minces, tandis qu’une lentille divergente a des bords épais.

📌 Une lentille convergente forme un foyer image réel en aval pour les rayons incidents parallèles à l’axe, tandis qu’une lentille divergente forme un foyer image virtuel en arrière de la lentille.

📐 Formule - La distance focale image est la distance algébrique $f'=OF'$ ; elle est positive pour une lentille convergente et négative pour une lentille divergente.

📌 Dans les conditions de Gauss, un rayon passant par le centre optique d’une lentille mince n’est pas dévié.

Compléments

• Le foyer principal objet d’une lentille convergente est réel et en amont, tandis que celui d’une lentille divergente est virtuel et en aval.

💡 Astuce mémo

Convergente : foyer image réel ; divergente : foyer image virtuel

📖 7. Images et formules des lentilles

★ À maîtriser

• Pour construire l’image d’un objet étendu par une lentille mince en conditions de Gauss, on utilise les rayons principaux issus du sommet de l’objet.

📌 Pour une lentille convergente, un objet réel situé à plus de $2f'$ donne une image réelle, renversée et réduite, tandis qu’un objet situé entre $f'$ et $2f'$ donne une image réelle, renversée et agrandie.

📌 Pour une lentille convergente, un objet réel situé à moins de $f'$ donne une image virtuelle, droite et agrandie.

📐 Formule - Les formules de Descartes pour une lentille mince sont $\frac{1}{OA'}-\frac{1}{OA}=\frac{1}{f'}$ et $\gamma=\frac{A'B'}{AB}=\frac{OA'}{OA}$.

Compléments

📌 Une lentille divergente donne d’un objet réel une image virtuelle, droite et réduite, quelle que soit la position de l’objet.

📐 Formule - Les formules de Newton relient le grandissement et les distances aux foyers, notamment $\gamma=-\frac{F'H'}{f'}=-\frac{f}{FH}$ et $FH\times F'H'=-f'^2$.

💡 Astuce mémo

Centre optique, foyer image, foyer objet : trois rayons pour construire l’image

📖 8. Associations et usages des lentilles

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour des lentilles minces accolées, les vergences s’additionnent selon $V_3=V_1+V_2$, avec $V=\frac{1}{f'}$.

📐 Formule - Pour deux lentilles minces séparées d’une distance $e$, la formule de Gullstrand est $\frac{1}{f'}=\frac{1}{f_1'}+\frac{1}{f_2'}-\frac{e}{f_1'f_2'}$.

Compléments

📐 Formule - L’équation des opticiens donne la distance focale d’une lentille mince par $\frac{1}{f'}=(n-1)\left(\frac{1}{R_1}-\frac{1}{R_2}\right)$.

• La méthode d’autocollimation règle une lentille convergente pour produire un faisceau parallèle à partir d’une source ponctuelle.

• L’aberration chromatique vient du fait que la distance focale dépend de la longueur d’onde, de sorte qu’une lumière blanche forme des images à des distances légèrement différentes selon sa couleur.

💡 Astuce mémo

Accoler les lentilles additionne les vergences ; les espacer impose Gullstrand

📖 9. Œil et vision

★ À maîtriser

• L’œil humain comprend un système de formation d’images principalement constitué de la cornée et du cristallin, un système d’accommodation assuré par le cristallin, un iris et une rétine reliée au cerveau par le nerf optique.

• La vergence basale d’un œil emmétrope est d’environ 18 δ pour une vision à l’infini et peut atteindre environ 33 δ pour une vision de près à 25 cm.

• Les cônes, concentrés dans la macula ou fovéa, permettent la vision des couleurs et sont utilisés en vision diurne, tandis que les bâtonnets, présents sur toute la rétine et surtout en périphérie, assurent une vision nocturne sensible sans perception des couleurs.

Compléments

• Dans l’œil réduit de Listing, un seul dioptre de rayon de courbure 5,8 mm sépare l’air d’indice $n_1=1$ du vitré d’indice $n_2=1{,}336$, et la rétine se trouve à 23 mm de la cornée.

• Les maxima de sensibilité des cônes sont :

  • vers 550 nm pour le rouge
  • vers 530 nm pour le vert
  • vers 430 nm pour le bleu

💡 Astuce mémo

Cônes : couleurs et vision diurne ; bâtonnets : sensibilité et vision nocturne

📖 10. Amétropies et champ optique

🔑 Notions clés & Définitions

• Champ imagé : Zone de l’espace objet conjuguée à une zone choisie du plan image, lorsque les plans objet et image sont définis.

★ À maîtriser

📌 La myopie rend floue la vision lointaine et se corrige par une lentille divergente, tandis que l’hypermétropie gêne la vision de près et se corrige par une lentille convergente.

Compléments

• Pour un œil emmétrope jeune, le punctum proximum se situe à environ 25 cm et le punctum remotum à l’infini.

• Le daltonisme résulte de variations génétiques entraînant l’absence ou la modification d’une ou plusieurs opsines photosensibles, et le cours indique qu’il n’existe pas de correction.

• La rigidification partielle du cristallin entre 45 et 55 ans réduit l’accommodation et peut empêcher la vision de près ; ce défaut est appelé presbytie.

💡 Astuce mémo

Myopie : correction divergente ; hypermétropie : correction convergente

📖 11. Amétropies et correction de l’œil

★ À maîtriser

• Chez un œil emmétrope et jeune, le punctum proximum se situe à environ 25 cm et le punctum remotum à l’infini.

📌 La myopie, due à un œil trop long, rend flous les objets lointains et rapproche le punctum remotum de l’œil, tandis que l’hypermétropie, due à un œil trop court, gêne la vision de près et éloigne le punctum proximum.

• La myopie se corrige avec une lentille divergente et l’hypermétropie avec une lentille convergente, portées en lunettes ou en lentilles de contact.

Compléments

• La capacité d’accommodation du cristallin reste généralement de l’ordre de 15 δ dans ces amétropies.

• La forme de la cornée peut être corrigée par ablation de matière sous la cornée à l’aide d’un laser.

💡 Astuce mémo

Myopie : lentille divergente ; hypermétropie : lentille convergente

📖 12. Champ et grossissement optiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Grossissement angulaire : Le rapport entre l’angle sous lequel l’objet est vu à travers l’instrument et l’angle sous lequel il serait vu sans instrument.

★ À maîtriser

• Le champ imagé dépend de la distance de l’objet à la lentille et de la dimension retenue sur le capteur.

📐 Formule - Pour un capteur au foyer image de la lentille, le demi-champ angulaire correspondant à une dimension de capteur $y'$ vaut $\theta = \arctan\left(\frac{y'}{2f'}\right)$.

Compléments

• La dimension d’un pixel dans le plan objet correspond à la résolution dans ce plan si aucun autre phénomène, comme les aberrations ou la diffraction, ne limite l’image.

• Pour un objet proche, l’angle de référence sans instrument est celui obtenu en plaçant l’œil au punctum proximum, convention fixée à 25 cm pour un adulte.

📖 13. Mise au point et profondeur de champ

★ À maîtriser

• La mise au point consiste à modifier la distance entre la lentille et le capteur pour former une image nette sur celui-ci.

• En optique géométrique, l’image d’un plan perpendiculaire à l’axe optique est un plan image unique, et l’observation dans un autre plan produit une image floue.

• La profondeur de champ est la plage de distances sur laquelle un capteur de pixels de taille finie ne distingue pas le flou de l’image.

Compléments

📌 Un point situé avant le plan objet de mise au point forme son image en avant du capteur, tandis qu’un point situé après ce plan forme son image en arrière du capteur.

• La profondeur de champ augmente lorsque la mise au point est faite plus loin, lorsque la focale diminue ou lorsque le nombre d’ouverture augmente.

💡 Astuce mémo

Plan décalé → image floue sur le capteur

📖 14. Ouverture et quantité de lumière

★ À maîtriser

📐 Formule - Le nombre d’ouverture est défini par $N = \frac{f'}{D}$, où $f'$ est la focale et $D$ le diamètre utile de l’optique.

• Un grand diamètre d’optique permet de collecter davantage de lumière, mais s’accompagne d’une profondeur de champ plus faible et d’un coût généralement plus élevé.

Compléments

• Le diamètre utile de l’optique est réglé par un iris mécanique dans la plupart des objectifs.

• Les valeurs usuelles du nombre d’ouverture comprennent 1,4, 2, 2,8, 4 et 5,6, et chaque cran multiplie approximativement ce nombre par $\sqrt{2}$.

• Chaque cran d’ouverture modifie la surface de collection d’un facteur 2 et peut être compensé par une modification du temps de pose d’un facteur 2.

💡 Astuce mémo

Diaphragme fermé → moins de lumière, mais plus de profondeur de champ

📖 15. Critères de qualité d’image

🔑 Notions clés & Définitions

• Résolution spatiale : La capacité d’un système d’imagerie à séparer deux objets proches et la distance minimale entre eux dans l’espace objet pour qu’ils soient séparés dans l’image.
• Rapport signal sur bruit : Le rapport entre l’intensité du signal utile et le niveau de bruit, mesuré ici par l’écart type des intensités des pixels sans signal.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le contraste normalisé d’une image est $C = \frac{I_{\max}-I_{\min}}{I_{\max}+I_{\min}}$ et varie de 0 à 1.

Compléments

• Dans l’exemple du cours, le contraste vaut 1 pour une image dont les intensités minimale et maximale sont 0 et 255, et 0,68 pour une image dont elles sont 30 et 158.

• Une image est d’autant meilleure que son rapport signal sur bruit est élevé.

📖 16. Limites et amélioration de l’image

🔑 Notions clés & Définitions

• Diffraction : La modification de la propagation de la lumière lorsqu’elle rencontre un obstacle ou une ouverture, qui écarte les rayons du comportement prévu par l’optique géométrique.
• Aberration : L’écart entre un rayon paraxial décrit par l’optique géométrique et le rayon réel correspondant, qui fait converger les rayons issus d’un point objet vers différents points image.

★ À maîtriser

• La diffraction élargit l’image d’un point en une tache dont la taille est proportionnelle à la longueur d’onde et limite ainsi la résolution spatiale.

• Si les détails de l’image optique sont plus petits que les pixels, ils sont perdus à l’acquisition et la résolution est imposée par la taille des pixels ; si les pixels sont plus petits que le plus petit détail optique, la résolution enregistrée est celle du système optique.

• Un rayonnement de longueur d’onde plus faible réduit la taille de la tache de diffraction et peut améliorer la résolution.

• L’optique adaptative corrige en temps réel les déformations évolutives et imprévisibles du rayonnement lumineux dans l’atmosphère grâce à un miroir déformable.

Compléments

• Les aberrations chromatiques proviennent de la variation de l’indice optique avec la longueur d’onde ; dans le verre, l’indice augmente quand la longueur d’onde diminue.

• Les principales aberrations géométriques sont :

  • l’aberration sphérique
  • la coma
  • l’astigmatisme
  • la courbure de champ
  • la distorsion

• Le bruit peut provenir du rayonnement lumineux, notamment du bruit de photon et du bruit de fond, ou du détecteur, notamment du bruit de lecture et du bruit thermique ; les signaux parasites comprennent une lumière supplémentaire ou le rayonnement thermique de l’environnement.

• Le Blu-ray, breveté par Sony en 2006, utilise un laser bleu de 405 nm au lieu des faisceaux rouge et infrarouge utilisés respectivement pour le DVD et le CD, ce qui permet de lire et graver des sillons plus petits et plus rapprochés.

• Les aberrations peuvent être compensées en associant des lentilles de matériaux et de formes différents, et les systèmes d’imagerie doivent utiliser des doublets achromatiques plutôt que de simples lentilles pour corriger les aberrations chromatiques au premier ordre.

• L’optique adaptative, développée initialement dans les années 1950 pour l’astronomie, est aussi utilisée en ophtalmologie, pour les lasers et en microscopie.

📊 Tableaux de synthèse

Images selon le système et l’objet

Types de photorécepteurs