Fiche de révision : Optique géométrique et lentilles

📋 Plan du Cours

1. Ondes lumineuses et photons
2. Sources lumineuses et émission
3. Milieux optiques et propagation
4. Objets, images et systèmes optiques
5. Réflexion et réfraction
6. Prismes, dispersion et fibres
7. Stigmatisme et aplanétisme
8. Propriétés des lentilles minces
9. Vergence et construction des images
10. Conjugaison et grandissement des lentilles
11. Œil et appareil photographique
12. Instruments optiques usuels
13. Modèle ondulatoire de la lumière
14. Conditions des interférences lumineuses
15. Éclairement et contraste des interférences
16. Cohérence des ondes lumineuses
17. Interférences avec les trous d’Young
18. Réseaux de diffraction par transmission
19. Diffraction par une fente
20. Polarisation et loi de Malus

📖 1. Ondes lumineuses et photons

★ À maîtriser

📐 Formule - Dans le vide, la longueur d’onde et la fréquence vérifient $\lambda_0=\frac{c}{f_0}$, avec $c=3\times10^8\ \mathrm{m\,s^{-1}}$.

📐 Formule - L’énergie d’un photon de fréquence $f_0$ vérifie $E=hf_0$, où $h=6{,}62\times10^{-34}\ \mathrm{J\,s}$.

Compléments

• Dans le vide, une onde lumineuse associe un champ électrique et un champ magnétique transverses, et l’intensité lumineuse est reliée au carré du champ électrique.

• Le domaine visible du spectre électromagnétique est compris entre 400 et 700 nm.

💡 Astuce mémo

Onde : propagation périodique ; photon : énergie quantifiée.

📖 2. Sources lumineuses et émission

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi de déplacement de Wien s’écrit $\lambda_{\max}T=2{,}9\times10^{-3}\ \mathrm{K\,m}$.

• Dans une lampe spectrale, l’excitation d’un atome suivie de sa désexcitation spontanée produit un photon dont l’énergie égale l’écart entre les niveaux et un spectre discontinu.

Compléments

• Une lampe à incandescence émet un spectre continu par rayonnement thermique du filament de tungstène chauffé.

• Pour un filament à 2900 K, le maximum d’émission se situe dans l’infrarouge et environ 5 % de l’énergie dépensée est retrouvée sous forme de lumière visible.

• Un laser produit par émission stimulée une lumière quasi monochromatique ; la longueur d’onde d’un laser hélium-néon est 632,8 nm.

💡 Astuce mémo

Excitation → désexcitation → photon.

📖 3. Milieux optiques et propagation

🔑 Notions clés & Définitions

• Milieu DLHI : Milieu diélectrique, linéaire, homogène et isotrope.
• Source monochromatique : Source qui émet des photons de même longueur d’onde.
• Source ponctuelle : Source modélisable par un point, ses dimensions transversales étant très faibles devant celles des systèmes optiques traversés et grandes devant la longueur d’onde.

★ À maîtriser

📐 Formule - L’indice de réfraction d’un milieu est $n=\frac{c}{v_\varphi}$ et il est supérieur ou égal à 1.

📐 Formule - À fréquence constante, la longueur d’onde dans un milieu vérifie $\lambda=\frac{\lambda_0}{n}$.

📌 L’approximation de l’optique géométrique revient à négliger la diffraction lorsque la longueur d’onde est très petite devant les dimensions transversales des faisceaux et des obstacles.

Compléments

• Un diélectrique est un isolant, un milieu linéaire répond linéairement à l’excitation, un milieu homogène possède les mêmes propriétés physiques en tout point et un milieu isotrope a une célérité indépendante de la direction.

• Les indices moyens indiqués sont 1 pour le vide, 1,00027 pour l’air dans les conditions normales de température et de pression, 1,33 pour l’eau et 1,5 pour le verre courant.

• Dans un milieu transparent DLHI, la lumière se propage en ligne droite et sa trajectoire ne dépend pas du sens de parcours.

📖 4. Objets, images et systèmes optiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Stigmatisme : Un système optique est stigmatique si l’image d’un point est un point ; le miroir plan est le seul système rigoureusement stigmatique cité.
• Dioptre : Surface de séparation de deux milieux transparents DLHI.
• Système optique : Association de dioptres dont les axes optiques coïncident.
• Objet ponctuel : Un point dont partent les rayons lumineux avant de traverser un système optique est un objet ponctuel.
• Image ponctuelle : Un point vers lequel convergent après le système optique tous les rayons issus d’un objet ponctuel est son image ponctuelle.

★ À maîtriser

📌 Un objet situé dans l’espace objet est réel, tandis qu’un objet situé hors de cet espace est virtuel ; une image située dans l’espace image est réelle, tandis qu’une image située hors de cet espace est virtuelle.

Compléments

📐 Formule - Le chemin optique entre deux points est $L=\int n\,ds$ le long du trajet lumineux.

💡 Astuce mémo

Objet réel avant le système ; image réelle après le système.

📖 5. Réflexion et réfraction

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle d’incidence : Angle entre le rayon incident et la normale au point d’incidence.

★ À maîtriser

• Lors de la réflexion, le rayon réfléchi appartient au plan d’incidence et les angles d’incidence et de réflexion, mesurés par rapport à la normale, sont égaux. - Snell (1580-1626) –Descartes (1596-1650)

• Lors de la réfraction, le rayon réfracté appartient au plan d’incidence et les angles vérifient $n_1\sin i_1=n_2\sin i_2$. - Snell (1580-1626) –Descartes (1596-1650)

• Lorsqu’un rayon passe d’un milieu d’indice supérieur n₁ vers un milieu d’indice inférieur n₂, l’angle limite vérifie $\sin i_{1\mathrm{lim}}=\frac{n_2}{n_1}$ et une incidence supérieure à cet angle entraîne une réflexion totale.

Compléments

• Les lois de la réflexion sont indépendantes de la longueur d’onde.

• L’image d’un objet ponctuel réel par un miroir plan est virtuelle et ponctuelle, et l’image d’un objet étendu a la même taille que l’objet, avec un grandissement égal à 1.

• Lorsqu’un rayon passe dans un milieu plus réfringent, il se rapproche de la normale ; dans un milieu moins réfringent, il s’en éloigne.

📖 6. Prismes, dispersion et fibres

🔑 Notions clés & Définitions

• Prisme : Milieu transparent DLHI limité par deux plans dont l’intersection forme l’arête du prisme.

★ À maîtriser

• La dépendance de l’indice du verre à la longueur d’onde permet de mesurer des longueurs d’onde avec un prisme étalonné et un goniomètre, et provoque des aberrations chromatiques dans les lentilles.

📌 Dans une fibre à saut d’indice, l’indice du cœur doit être supérieur à celui de la gaine pour permettre la réflexion totale à leur interface.

Compléments

• À angle d’incidence donné, l’augmentation de l’angle du prisme augmente la déviation.

• La loi de Cauchy décrit la variation de l’indice du verre avec la longueur d’onde par un développement limité à l’ordre 2, dont les constantes dépendent de la qualité du verre.

📐 Formule - Pour une fibre à saut d’indice, le nombre d’ouverture vérifie $\mathrm{ON}=\frac{1}{n_0}\sqrt{n_c^2-n_g^2}$ et l’angle maximal d’acceptance vérifie $\theta_{0m}=\arcsin(\mathrm{ON})$.

📐 Formule - Pour la fibre étudiée avec $n_0=1$, $n_c=1{,}6$, $n_g=1{,}5$ et $L=100\ \mathrm{m}$, l’élargissement temporel est $\Delta t\simeq3{,}6\times10^{-8}\ \mathrm{s}$ et la fréquence limite est de l’ordre de $3\times10^7\ \mathrm{Hz}$.

💡 Astuce mémo

Indice dépendant de la longueur d’onde → dispersion et aberrations chromatiques.

📖 7. Stigmatisme et aplanétisme

★ À maîtriser

📌 Les conditions de Gauss exigent des rayons proches de l’axe optique et peu inclinés par rapport à celui-ci ; leur non-respect provoque des aberrations géométriques.

Compléments

• Les objets étendus sont généralement placés dans un plan transverse à l’axe optique et leurs images doivent être planes dans un plan parallèle.

📐 Formule - Pour un système aplanétique transversal, la relation des sinus d’Abbe s’écrit $n\,\overline{AB}\sin\alpha=n'\,\overline{A'B'}\sin\alpha'$.

📖 8. Propriétés des lentilles minces

🔑 Notions clés & Définitions

• Lentille : Matériau transparent DLHI délimité par deux dioptres sphériques.

★ À maîtriser

• Toute lentille mince possède un axe optique, un centre optique O et deux foyers objet F et image F′ symétriques par rapport à O, avec $\overline{OF'}=-\overline{OF}$.

• Un rayon passant par le centre optique d’une lentille mince n’est pas dévié.

📐 Formule - La distance focale image est définie par $f'=\overline{OF'}$ et dépend des rayons de courbure des faces ainsi que des indices de la lentille et du milieu environnant.

Compléments

📌 Une lentille est mince lorsque son épaisseur est faible devant les rayons de courbure de ses deux faces.

📌 Un rayon objet parallèle à l’axe optique converge vers le foyer image, tandis qu’un rayon image parallèle à l’axe optique provient du foyer objet.

• Le plan focal objet et le plan focal image sont orthogonaux à l’axe optique et passent respectivement par le foyer objet et le foyer image ; ils contiennent une infinité de foyers secondaires.

📌 Une lentille convergente a des bords minces, tandis qu’une lentille divergente a des bords épais.

📖 9. Vergence et construction des images

★ À maîtriser

📐 Formule - La vergence d’une lentille vaut $C=\frac{1}{f'}$ et s’exprime en dioptries lorsque la focale est exprimée en mètres.

📌 Une lentille convergente a une distance focale image positive et une vergence positive, tandis qu’une lentille divergente a une distance focale image négative et une vergence négative.

• La construction graphique de l’image d’un objet par une lentille mince suit ces étapes.

Compléments

📐 Formule - Pour deux lentilles minces accolées, la vergence équivalente vérifie $C=C_1+C_2$.

📖 10. Conjugaison et grandissement des lentilles

🔑 Notions clés & Définitions

• Grandissement : Le grandissement est le rapport algébrique de la taille de l’image à celle de l’objet, soit $\gamma=\frac{\overline{A'B'}}{\overline{AB}}=\frac{\overline{OA'}}{\overline{OA}}$.
• Grossissement : Le grossissement est le rapport du diamètre angulaire de l’image observée à l’infini à celui de l’objet observé à l’œil nu, soit $G=\frac{\alpha'}{\alpha}$.

★ À maîtriser

📐 Formule - La loi de conjugaison de Descartes pour une lentille mince s’écrit $\frac{1}{\overline{OA'}}-\frac{1}{\overline{OA}}=\frac{1}{\overline{OF'}}=\frac{1}{f'}$.

📌 Un grandissement positif correspond à une image droite et un grandissement négatif à une image renversée.

Compléments

📐 Formule - La loi de conjugaison de Newton s’écrit $\overline{F'A'}\,\overline{FA}=-f'^2$.

📌 Si la valeur absolue du grandissement est supérieure à 1, l’image est agrandie ; si elle est inférieure à 1, l’image est rétrécie.

💡 Astuce mémo

Grandissement : taille et orientation ; grossissement : diamètre angulaire.

📖 11. Œil et appareil photographique

🔑 Notions clés & Définitions

• Accommodation : L’accommodation est le processus de diminution de la focale de l’œil pour voir des objets plus proches.

★ À maîtriser

• L’œil peut être modélisé par une lentille convergente de focale réglable et un capteur fixe, la rétine, sur laquelle l’image est inversée.

• La myopie correspond à un œil qui converge trop et se corrige par une lentille divergente, tandis que l’hypermétropie correspond à un œil qui ne converge pas assez et se corrige par une lentille convergente.

Compléments

• Pour un œil emmétrope, le punctum proximum est situé à environ 25 cm et le punctum remotum est à l’infini.

• Un appareil photo basique peut être modélisé par une lentille convergente et un capteur photosensible de résolution limitée par la taille de ses éléments d’image.

📌 À quantité de lumière reçue donnée, doubler le temps de pose impose de diviser par deux la surface du diaphragme pour conserver la même énergie lumineuse.

💡 Astuce mémo

Accommodation diminue la focale → l’œil voit de près.

📖 12. Instruments optiques usuels

🔑 Notions clés & Définitions

• Puissance : La puissance d’un microscope est le rapport de l’angle sous lequel l’image est observée à l’infini à la taille de l’objet, soit $P=\frac{\alpha'}{AB}$.

★ À maîtriser

• Un téléobjectif associe une lentille convergente et une lentille divergente de façon que l’image intermédiaire de l’objet à l’infini se forme entre le centre optique de la seconde lentille et son foyer objet.

• Une lunette astronomique comprend un objectif convergent de grande focale et un oculaire convergent de courte focale, dont le foyer objet coïncide avec le foyer image de l’objectif.

Compléments

📐 Formule - Le grossissement d’une lunette astronomique vaut $G=\frac{\alpha'}{\alpha}=\frac{f'_1}{f'_2}$.

• Le cercle oculaire est l’image de l’objectif par l’oculaire et se situe au voisinage du foyer image de l’oculaire.

• Un collimateur place un objet au foyer objet d’une lentille convergente afin d’en former une image à l’infini.

📌 Dans un viseur à frontale fixe, une image nette se forme sur un écran à distance fixe de la lentille, donc la distance objet-lentille est la même pour tout objet observé nettement.

📖 13. Modèle ondulatoire de la lumière

🔑 Notions clés & Définitions

• Temps de cohérence : Le temps de cohérence est la durée moyenne pendant laquelle la phase d’une source lumineuse reste constante.
• Vibration lumineuse : La vibration lumineuse est la grandeur scalaire s(M,t) utilisée pour décrire la lumière naturelle dans le modèle scalaire de Fresnel.
• Surface d’onde : Une surface d’onde relative à une source ponctuelle regroupe les points de chemin optique égal, et donc de phase égale pour une onde monochromatique.

★ À maîtriser

• Selon le modèle électromagnétique, la lumière est une onde électromagnétique vectorielle constituée de champs électrique et magnétique couplés.

📐 Formule - Le principe de superposition donne pour les vibrations lumineuses $s(M,t)=\sum_i s_i(M,t)$.

📐 Formule - L’éclairement est la puissance lumineuse surfacique moyenne reçue et vérifie $E=K\langle s(M,t)^2\rangle$, où K est une constante positive.

📐 Formule - Le déphasage accumulé sur un trajet de chemin optique L vérifie $\varphi(M')=\varphi(M)+\frac{2\pi}{\lambda_0}L_{MM'}$.

Compléments

📐 Formule - Pour une onde monochromatique sinusoïdale, la longueur d’onde dans le milieu vérifie $\lambda=vT$, où v est la vitesse de propagation et T la période.

📐 Formule - Le chemin optique sur un trajet est défini par $L=\int n\,ds$ ; dans un milieu homogène d’indice n entre A et A’, il vaut $L_{AA'}=n\,AA'$.

• Une réflexion sur une surface métallique ou sur un milieu plus réfringent ajoute un déphasage de π.

• Les surfaces d’onde sont orthogonales aux rayons lumineux et le chemin optique entre deux surfaces d’onde est identique le long de tout rayon. - Malus, théorème de Malus

📌 Une onde plane possède des surfaces d’onde planes parallèles et des rayons parallèles, tandis qu’une onde sphérique possède des surfaces d’onde sphériques concentriques et des rayons concourant en sa source.

📐 Formule - La longueur de cohérence est la distance parcourue dans le vide pendant le temps de cohérence et vérifie $L_c=c\tau_c$.

📖 14. Conditions des interférences lumineuses

★ À maîtriser

• Dans l’expérience des trous d’Young, deux trous éclairés par une source ponctuelle se comportent approximativement comme deux sources ponctuelles cohérentes.

📌 Deux ondes produisent des interférences si elles ont la même fréquence et une différence de phase indépendante du temps au point d’observation.

📌 Des ondes issues d’une source initiale unique peuvent interférer si elles restent cohérentes, c’est-à-dire si leur différence de phase est constante.

Compléments

• Dans les dispositifs de Young, les franges sont orthogonales au segment joignant les deux sources et, avec des fentes, elles sont parallèles aux fentes.

📌 L’interfrange augmente proportionnellement à la distance entre le dispositif interférométrique et l’écran ainsi qu’à la longueur d’onde, et diminue lorsque la séparation des sources augmente.

• En lumière blanche, les franges de Young sont plus difficiles à observer qu’avec un laser ou une lampe spectrale et présentent des irisations autour de la frange centrale blanche.

📌 Deux sources indépendantes ou deux ondes de fréquences différentes ne produisent pas d’interférences optiques durables, et l’éclairement total est alors la somme des éclairements individuels.

💡 Astuce mémo

Sources indépendantes → phases aléatoires → pas d’interférences.

📖 15. Éclairement et contraste des interférences

★ À maîtriser

📐 Formule - L’éclairement en M vérifie $E(M)=E_1(M)+E_2(M)+2\sqrt{E_1(M)E_2(M)}\cos(\varphi_2(M)-\varphi_1(M)).$

📌 Les interférences sont constructives lorsque $\cos(\varphi_2(M)-\varphi_1(M))>0$ et destructives lorsque $\cos(\varphi_2(M)-\varphi_1(M))<0$.

📐 Formule - Lorsque les éclairements des deux sources sont uniformes dans la zone d’observation, le contraste vaut $C=\frac{E_{\max}-E_{\min}}{E_{\max}+E_{\min}}=\frac{2\sqrt{E_1E_2}}{E_1+E_2}$.

Compléments

• La moyenne de l’éclairement est $E_1(M)+E_2(M)$, et ses extrema sont $\left(\sqrt{E_1(M)}+\sqrt{E_2(M)}\right)^2$ et $\left(\sqrt{E_1(M)}-\sqrt{E_2(M)}\right)^2$.

• L’éclairement est maximal lorsque $\varphi_2(M)-\varphi_1(M)=2p\pi$ et minimal lorsque $\varphi_2(M)-\varphi_1(M)=(2p+1)\pi$, où p est un entier relatif.

• Le contraste est maximal lorsque $E_1=E_2$.

📐 Formule - Pour deux sources de même éclairement $E_1=E_2$, l’éclairement s’écrit $E(M)=2E_1(1+\cos\varphi(M))=4E_1\cos^2\left(\frac{\varphi(M)}{2}\right)$, avec $E_0=4E_1$.

💡 Astuce mémo

Le cosinus positif renforce l’éclairement ; le cosinus négatif l’atténue.

📖 16. Cohérence des ondes lumineuses

🔑 Notions clés & Définitions

• Cohérence temporelle : Caractérise la capacité des ondes à interférer selon leur durée de train d’onde et leur longueur de cohérence.
• Cohérence spatiale : Dépend de l’étendue de la source initiale ; une source ponctuelle présente une cohérence spatiale parfaite.

★ À maîtriser

📌 Les interférences sont possibles lorsque la différence de chemin optique est inférieure à la longueur de cohérence.

Compléments

• Une source qui tend vers une source parfaitement monochromatique possède une meilleure cohérence temporelle et une longueur de cohérence plus élevée.

• En lumière polychromatique, fermer progressivement un iris ou une fente réduit la taille apparente de la source et peut améliorer la cohérence spatiale jusqu’à rendre visibles les franges.

💡 Astuce mémo

Temporelle : longueur de cohérence ; spatiale : taille de la source.

📖 17. Interférences avec les trous d’Young

🔑 Notions clés & Définitions

• Ordre d’interférence : L’ordre d’interférence en M est $p(M)=\frac{\varphi}{2\pi}$ ; il est entier pour un maximum d’éclairement et demi-entier pour un minimum.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour deux trous d’Young séparés de a, la différence de marche dans la zone d’observation vérifie $\delta=d_2-d_1=\frac{ax}{D}$ lorsque la séparation des trous est petite devant D et que x et y sont petits devant D.

📐 Formule - L’interfrange des trous d’Young vaut $i=\frac{\lambda D}{a}$ et correspond à la distance entre deux franges brillantes consécutives ou deux franges sombres consécutives.

Compléments

• Dans l’approximation des petits angles, la différence de marche $\delta=\frac{ax}{D}$ ne dépend pas de la coordonnée y.

📐 Formule - Le déphasage en M vaut $\varphi=\varphi_{02}-\varphi_{01}+\frac{2\pi ax}{\lambda D}$.

• Les surfaces de différence de marche constante sont des hyperboloïdes de révolution dont les foyers sont les deux trous ; dans les conditions usuelles, leurs portions observées s’assimilent à des droites orthogonales au segment reliant les trous.

• Avec les trous d’Young, les interférences sont délocalisées et peuvent se produire partout où les faisceaux diffractés par les deux trous se superposent.

📖 18. Réseaux de diffraction par transmission

🔑 Notions clés & Définitions

• Réseau par transmission : Objet diffractant dont la transparence varie périodiquement dans l’espace ; sa période spatiale est le pas a.

★ À maîtriser

📐 Formule - La condition d’interférences constructives entre rayons consécutifs est $\delta=n_{\mathrm{air}}a(\sin\alpha+\sin\alpha_0)=p\lambda_0$, où p est un entier relatif.

📐 Formule - L’équation du réseau en transmission est $\sin(\alpha_p)+\sin(\alpha_0)=\frac{p\lambda}{a}$, où λ est la longueur d’onde dans le milieu et p l’ordre de diffraction entier relatif.

📐 Formule - Pour N fentes identiques, l’éclairement diffracté varie comme $I=K'\left(\frac{\sin(N\varphi/2)}{\sin(\varphi/2)}\right)^2$ pour des ondes monochromatiques cohérentes.

Compléments

• Un réseau par transmission simple comporte N ouvertures rectangulaires parallèles et équidistantes, de largeur b et de longueur H ; les ordres de grandeur indiqués sont a de l’ordre de la dizaine de micromètres, b du micromètre, H du centimètre et N du millier.

📐 Formule - Le nombre de traits par unité de longueur du réseau vérifie $n=\frac{1}{a}$ et, pour un réseau de longueur L, $L=Na$.

• Un réseau est dispersif, car les directions diffractées $\alpha_p$ dépendent de la longueur d’onde.

📐 Formule - Au minimum de déviation d’ordre p, $D_{m,p}=2\alpha_{0,\min}$ et $2\sin\left(\frac{D_{m,p}}{2}\right)=\frac{p\lambda}{a}$.

📖 19. Diffraction par une fente

★ À maîtriser

• La diffraction apparaît lorsqu’un faisceau lumineux est limité par un obstacle et que la distance caractéristique de variation de l’amplitude lumineuse n’est plus très supérieure à la longueur d’onde.

📐 Formule - La largeur de la tache centrale de diffraction par une fente vaut $2\lambda_0 f'_2/b$ dans le plan focal image et son diamètre angulaire vaut $2\lambda_0/b$.

Compléments

• La diffraction d’une fente rectiligne produit une figure lumineuse perpendiculaire à la fente, avec une tache centrale intense deux fois plus large que la distance entre maxima secondaires consécutifs.

• Pour une fente de largeur b observée dans les conditions de Fraunhofer, le premier minimum apparaît lorsque $u=1/b$, avec $u=(x_M-x_{S'})/(\lambda_0 f'_2)$.

• Pour observer la diffraction dans les conditions de Fraunhofer sans lentille, la distance D doit vérifier $D\gg a^2/\lambda_0$, où a est la dimension caractéristique de la pupille.

📖 20. Polarisation et loi de Malus

★ À maîtriser

• La lumière naturelle est non polarisée : ses vibrations transversales sont désordonnées et ne présentent en moyenne aucune direction privilégiée.

📐 Formule - Pour deux polariseurs dont les axes de transmission font un angle α, la loi de Malus donne $I_2=I_1\cos^2\alpha$.

Compléments

• Dans un polaroïd, les chaînes moléculaires conductrices absorbent fortement une vibration dont le champ électrique leur est parallèle et transmettent davantage celle dont le champ leur est perpendiculaire ; cette dernière direction est l’axe de transmission.

• La polarisation rectiligne par réflexion vitreuse a été découverte par Louis Malus en 1809 ; à l’incidence de Brewster, la lumière réfléchie est polarisée rectilignement et les rayons réfléchi et réfracté sont orthogonaux.

• Deux polariseurs croisés, dont les axes font un angle $\alpha=\pi/2$, produisent une extinction de la lumière transmise.