Fiche de révision : Dérivation et étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé et taux d’accroissement
2. Tangente et approximation affine
3. Fonction dérivée et domaine
4. Dérivées des fonctions usuelles
5. Opérations sur les dérivées
6. Dérivée et sens de variation
7. Extrema locaux et dérivée

📖 1. Nombre dérivé et taux d’accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement de f entre a et a+h, avec h non nul, est le coefficient directeur de la sécante reliant les points d’abscisses a et a+h : $\tau_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Nombre dérivé : La fonction f est dérivable en a lorsque son taux d’accroissement admet une limite lorsque h tend vers 0 ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

📝 Points essentiels

• En cinématique, le taux d’accroissement représente la vitesse moyenne entre les instants a et a+h, tandis que le nombre dérivé représente la vitesse instantanée à l’instant a.

• Pour f(x)=x²+4x−5, le nombre dérivé en −3 vaut −2.

• La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0, car les limites à droite et à gauche de son taux d’accroissement valent respectivement 1 et −1.

• La fonction racine carrée n’est pas dérivable en 0, car son taux d’accroissement y tend vers l’infini.

📖 2. Tangente et approximation affine

🔑 Notions clés & Définitions

• Approximation affine : L’approximation affine de f au voisinage de a est la fonction de h définie par $h\mapsto f(a)+hf'(a)$, qui approche f(a+h) lorsque h est proche de 0.

★ À maîtriser

📌 Si f est dérivable en a, sa courbe admet au point (a;f(a)) une tangente de coefficient directeur f′(a), d’équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$.

Compléments

• Le coefficient directeur de la tangente à la courbe de f en a est le nombre dérivé f′(a).

• L’approximation affine de √1,02 autour de 1 donne 1,01, avec une erreur de l’ordre de 10⁻⁴.

📖 3. Fonction dérivée et domaine

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction dérivable : Une fonction est dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en chacun des points de cet intervalle.
• Fonction dérivée : La fonction dérivée f′ associe à chaque x de l’intervalle le nombre dérivé f′(x) de f en x.

📝 Points essentiels

• La fonction racine carrée est dérivable sur ]0 ; +∞[ et sa dérivée est $f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}$.

📖 4. Dérivées des fonctions usuelles

★ À maîtriser

• Les dérivées usuelles sont : ax+b ↦ a sur ℝ ; x² ↦ 2x sur ℝ ; x³ ↦ 3x² sur ℝ ; xⁿ ↦ nxⁿ⁻¹ pour n≥2 sur ℝ ; 1/x ↦ −1/x² sur ℝ{0} ; 1/xⁿ ↦ −n/xⁿ⁺¹ pour n≥1 sur ℝ{0} ; √x ↦ 1/(2√x) sur ]0 ; +∞[ ; sin x ↦ cos x sur ℝ ; cos x ↦ −sin x sur ℝ ; eˣ ↦ eˣ sur ℝ.

Compléments

• Plusieurs formules se regroupent sous la règle $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ pour n entier, avec les cas indiqués pour les domaines concernés, et pour n=1/2 correspondant à √x.

📖 5. Opérations sur les dérivées

★ À maîtriser

• Pour des fonctions dérivables u et v et une constante réelle k, les règles sont : somme, $(u+v)'=u'+v'$ ; multiple, $(ku)'=ku'$ ; produit, $(uv)'=u'v+uv'$ ; inverse, $(1/u)'=-u'/u^2$ ; quotient, $(u/v)'=(u'v-uv')/v^2$ ; exponentielle composée, $(e^u)'=u'e^u$.

Compléments

📌 Les règles de somme, produit et quotient s’appliquent sur l’intersection des domaines de dérivabilité concernés ; l’inverse exige u≠0 et le quotient exige v≠0.

• Pour dériver une expression composée, on repère sa construction usuelle, on vérifie les domaines de dérivabilité des fonctions concernées, puis on applique la formule correspondante.

📖 6. Dérivée et sens de variation

★ À maîtriser

• Sur un intervalle inclus dans son domaine de dérivation, si f′ est positive sauf éventuellement en quelques points où elle s’annule, f est strictement croissante.

• Sur un intervalle inclus dans son domaine de dérivation, si f′ est négative sauf éventuellement en quelques points où elle s’annule, f est strictement décroissante.

• Si f′ est nulle sur un intervalle, alors f est constante sur cet intervalle.

Compléments

• Pour établir les variations d’une fonction dérivable, on calcule f′, on étudie son signe, puis on dresse le tableau de variations de f.

📖 7. Extrema locaux et dérivée

🔑 Notions clés & Définitions

• Maximum local : La fonction f admet un maximum local en x₀ s’il existe un intervalle ouvert centré en x₀ sur lequel f(x)≤f(x₀) ; f(x₀) est alors le maximum local.
• Extremum local : Un extremum local est un maximum local ou un minimum local de la fonction.

★ À maîtriser

📌 Si une fonction dérivable admet un extremum local en un point intérieur de son intervalle de définition, sa dérivée s’annule en ce point.

📌 Si la dérivée d’une fonction s’annule en un point en changeant de signe, la fonction admet un extremum local en ce point.

Compléments

• La fonction x³ a une dérivée qui s’annule en 0 sans changer de signe et n’a donc pas d’extremum local en 0.

💡 Astuce mémo

Une dérivée nulle avec changement de signe marque un extremum ; sans changement, comme pour x³ en 0, elle n’en marque pas.