Fiche de révision : Compléments sur la dérivation

📋 Plan du Cours

1. Composition et règle de dérivation
2. Dérivées des compositions usuelles
3. Dérivées successives et étude des signes
4. Demi-tangentes et tangentes verticales
5. Formules usuelles et opérations

📖 1. Composition et règle de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : La composée de f par g, notée g ◦ f, est définie par (g ◦ f)(x) = g(f(x)) lorsque f(x) appartient au domaine de g.

★ À maîtriser

📌 Si f est dérivable sur I, g est dérivable sur J et f(I) ⊂ J, alors g ◦ f est dérivable sur I et (g ◦ f)′(x) = f′(x) × g′(f(x)).

Compléments

• Pour f(x) = sin x et g(x) = eˣ, la dérivée de leur composée e^(sin x) est cos x × e^(sin x).

• Pour f(x) = 2x + 4 et g(x) = √x, g ◦ f est définie sur [−2 ; +∞[ mais dérivable seulement sur ]−2 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Suivre x vers f(x), puis vers g(f(x)) : dériver l’étape intérieure avant l’étape extérieure.

📖 2. Dérivées des compositions usuelles

★ À maîtriser

• Pour un entier relatif non nul n et une fonction dérivable u, (uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹ ; si n < 0, u ne doit s’annuler nulle part sur l’intervalle considéré.

• Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors √u est dérivable sur I et (√u)′ = u′/(2√u).

• Pour une fonction dérivable u, (eᵘ)′ = u′eᵘ.

Compléments

📌 Si a ≠ 0 et u est dérivable, la fonction x ↦ u(ax + b) a pour dérivée a × u′(ax + b), sur les x tels que ax + b appartient au domaine de u.

• La fonction √(2x + 3) est dérivable sur ]−3/2 ; +∞[ et sa dérivée vaut 1/√(2x + 3).

📖 3. Dérivées successives et étude des signes

🔑 Notions clés & Définitions

• Dérivée seconde : La dérivée seconde f′′ est la dérivée de la dérivée première f′, lorsqu’elle existe.

★ À maîtriser

• Les dérivées successives sont définies par récurrence à partir de f⁽⁰⁾ = f et f⁽ⁿ⁺¹⁾ = (f⁽ⁿ⁾)′ lorsque ces dérivées existent.

Compléments

• Si f(t) représente la position d’un mobile, f′(t) représente sa vitesse instantanée et f′′(t) son accélération.

• L’étude des dérivées successives de g(x) = sin x − x + x³/6 permet d’établir x ≥ sin x ≥ x − x³/6 pour x ≥ 0, avec les inégalités retournées pour x < 0.

📖 4. Demi-tangentes et tangentes verticales

🔑 Notions clés & Définitions

• Point anguleux : Un point est anguleux lorsque les nombres dérivés à gauche et à droite existent mais sont différents.
• Tangente verticale : La courbe admet une tangente verticale en a lorsque le taux de variation de f en a tend vers +∞ ou −∞.
• Nombre dérivé à droite : Le nombre dérivé à droite en a est la limite du taux de variation lorsque x tend vers a par valeurs supérieures, si cette limite existe.

📝 Points essentiels

• Pour f(x) = (x + 2)/(|x| + 1), les nombres dérivés à droite et à gauche en 0 valent respectivement −1 et 3, donc la courbe présente un point anguleux en 0.

• La courbe de la fonction racine carrée admet une demi-tangente verticale à l’origine, car son taux de variation à droite tend vers +∞.

💡 Astuce mémo

Deux pentes latérales distinctes donnent un point anguleux ; une pente infinie donne une tangente verticale.

📖 5. Formules usuelles et opérations

★ À maîtriser

• Les dérivées usuelles incluent (ax + b)′ = a, (x²)′ = 2x, (x³)′ = 3x², (1/x)′ = −1/x², (sin x)′ = cos x, (cos x)′ = −sin x et (eˣ)′ = eˣ, avec leurs domaines de validité usuels.

📌 Les dérivées d’une somme et d’un multiple constant vérifient (u + v)′ = u′ + v′ et (ku)′ = ku′.

📌 La dérivée d’un produit vérifie (uv)′ = u′v + uv′.

Compléments

📌 Si v ne s’annule pas, la dérivée du quotient u/v est (u′v − uv′)/v².