Compléments sur la dérivation

📋 Plan du Cours

1. Composition et règle de dérivation
2. Dérivées des compositions usuelles
3. Dérivées successives et étude des signes
4. Demi-tangentes et tangentes verticales
5. Formules usuelles et opérations

📖 1. Composition et règle de dérivation

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction composée : La composée de f par g, notée g ◦ f, est définie par (g ◦ f)(x) = g(f(x)) lorsque f(x) appartient au domaine de g.

★ À maîtriser

📌 Si f est dérivable sur I, g est dérivable sur J et f(I) ⊂ J, alors g ◦ f est dérivable sur I et (g ◦ f)′(x) = f′(x) × g′(f(x)).

Compléments

• Pour f(x) = sin x et g(x) = eˣ, la dérivée de leur composée e^(sin x) est cos x × e^(sin x).

• Pour f(x) = 2x + 4 et g(x) = √x, g ◦ f est définie sur [−2 ; +∞[ mais dérivable seulement sur ]−2 ; +∞[.

💡 Astuce mémo

Suivre x vers f(x), puis vers g(f(x)) : dériver l’étape intérieure avant l’étape extérieure.

📖 2. Dérivées des compositions usuelles

• Pour un entier relatif non nul n et une fonction dérivable u, (uⁿ)′ = nu′uⁿ⁻¹ ; si n < 0, u ne doit s’annuler nulle part sur l’intervalle considéré.

• Si u est dérivable et strictement positive sur I, alors √u est dérivable sur I et (√u)′ = u′/(2√u).