QCM : Compléments sur la dérivation (9 questions)

Question 1

1. Pour calculer $(g \circ f)(x)$ , quelle opération faut-il effectuer en premier ?

Appliquer

g

à

x

, puis de nouveau à son résultat

Calculer

f(x)

, puis appliquer

g

au résultat

Calculer le produit de

f(x)

et de

g(x)

Calculer

g(x)

, puis appliquer

f

au résultat

Explication

Par définition, $(g \circ f)(x)=g(f(x))$ : on applique d’abord $f$ , puis $g$ . Calculer $g(x)$ en premier inverse l’ordre, tandis que le produit et la répétition de $g$ ne correspondent pas à cette composition.

Answer

Calculer $$f(x)$$, puis appliquer $$g$$ au résultat

Question 2

2. On considère $h(x)=\sqrt{2x+4}$ . Quelle affirmation décrit correctement son domaine de définition et l’intervalle où elle est dérivable ?

Définie sur

]-2,+\infty[

et dérivable sur ce même intervalle

Définie sur

[-2,+\infty[

et dérivable sur

]-2,+\infty[

Définie et dérivable sur

[-2,+\infty[

Définie et dérivable sur

\mathbb{R}

Explication

La racine est définie lorsque $2x+4\geq 0$ , soit pour $x\geq -2$ , mais elle est dérivable lorsque l’expression sous la racine est strictement positive, soit pour $x>-2$ . Inclure la borne dans l’intervalle de dérivabilité confond définition et dérivabilité; l’exclure du domaine ou prendre tout $\mathbb{R}$ donne un domaine incorrect.

Answer

Définie sur $$[-2,+\infty[$$ et dérivable sur $$]-2,+\infty[$$

Question 3

3. Pour $H(x)=e^{3x^2-1}$ , quelle est la dérivée de $H$ ?

6x

6x e^{3x^2-1}

e^{3x^2-1}

(3x^2-1)e^{3x^2-1}

Explication

La dérivée de $e^{u(x)}$ est $u'(x)e^{u(x)}$ ; ici, $u'(x)=6x$ . $e^{3x^2-1}$ omet ce facteur, $6x$ omet l’exponentielle et multiplier par l’exposant utilise le mauvais facteur.

Answer

$$6x e^{3x^2-1}$$

Question 4

4. Sur un intervalle où $u(x)>0$ , quelle expression donne la dérivée de $\sqrt{u(x)}$ ?

\dfrac{1}{2\sqrt{u(x)}}

\dfrac{2\sqrt{u(x)}}{u'(x)}

\dfrac{u'(x)}{\sqrt{u(x)}}

\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}

Explication

Pour une fonction intérieure dérivable et strictement positive, $(\sqrt{u})'=u'/(2\sqrt{u})$ . L’expression sans $u'$ oublie la dérivée intérieure, celle sans le facteur deux omet une constante, et la dernière inverse la structure de la formule.

Answer

$$\dfrac{u'(x)}{2\sqrt{u(x)}}$$

Question 5

5. Que désignent les dérivées successives d’une fonction ?

Les dérivées obtenues en élevant la fonction à des puissances successives

Les dérivées obtenues par récurrence, en dérivant chaque dérivée précédente lorsqu’elle existe

Les dérivées calculées en plusieurs points distincts de l’intervalle étudié

Les dérivées calculées à gauche et à droite d’un même point

Explication

Les dérivées successives se construisent par récurrence : on part de la fonction, puis on dérive le résultat précédent lorsque la dérivée existe. Les dérivées à gauche et à droite décrivent plutôt des comportements latéraux en un point.

Answer

Les dérivées obtenues par récurrence, en dérivant chaque dérivée précédente lorsqu’elle existe

Question 6

6. Quelle est la limite du taux de variation à droite de la fonction racine carrée en 0, qui explique la présence d’une demi-tangente verticale à l’origine ?

Elle tend vers 0.

Elle tend vers une valeur finie strictement positive.

Elle tend vers

+\infty

.

Elle tend vers

-\infty

.

Explication

Pour la fonction racine carrée, le taux de variation à droite en 0 tend vers $+\infty$ , ce qui caractérise la demi-tangente verticale à l’origine. Une limite égale à 0 correspondrait à une pente horizontale, et non à une pente infinie.

Answer

Elle tend vers $$+\infty$$.

Question 7

7. Quel est le rôle de la formule du produit dans le calcul de la dérivée de deux fonctions dérivables multipliées ?

Elle exprime la dérivée comme la somme des deux facteurs multipliée par le produit de leurs dérivées.

Elle exprime la dérivée comme la somme de la dérivée du premier facteur multipliée par le second et du premier facteur multiplié par la dérivée du second.

Elle exprime la dérivée comme le produit des dérivées des deux facteurs.

Elle exprime la dérivée comme la différence des dérivées des deux facteurs.

Explication

La formule du produit permet de dériver un produit en additionnant les deux termes croisés : chaque facteur est dérivé à tour de rôle. Multiplier les dérivées des deux facteurs ne donne pas, en général, la dérivée de leur produit.

Answer

Elle exprime la dérivée comme la somme de la dérivée du premier facteur multipliée par le second et du premier facteur multiplié par la dérivée du second.

Question 8

8. Quelle différence distingue la définition de la composée $g\circ f$ de la règle permettant de la dériver ?

La composée vaut

g(f(x))

lorsque cette expression est définie, tandis que sa dérivée utilise

f'(x)+g'(f(x))

.

La composée vaut

g(x)f(x)

lorsque ces fonctions sont définies, tandis que sa dérivée utilise

g'(x)f'(x)

.

La composée vaut

f(g(x))

lorsque cette expression est définie, tandis que sa dérivée utilise

g'(x)f'(g(x))

.

La composée vaut

g(f(x))

lorsque cette expression est définie, tandis que sa dérivée utilise

f'(x)g'(f(x))

.

Explication

La définition consiste à appliquer d’abord $f$ , puis $g$ , alors que la règle de dérivation multiplie la dérivée intérieure par la dérivée extérieure évaluée en $f(x)$ . La somme des dérivées ne tient pas compte de l’effet de composition.

Answer

La composée vaut $$g(f(x))$$ lorsque cette expression est définie, tandis que sa dérivée utilise $$f'(x)g'(f(x))$$.

Question 9

9. Si l’on remplace l’argument d’une fonction dérivable $u$ par $ax+b$ , avec $a\neq 0$ , quel effet cette transformation a-t-elle sur la dérivée ?

Elle ajoute

a

à la dérivée évaluée en

ax+b

.

Elle remplace la dérivée par sa valeur en

x

.

Elle multiplie la dérivée évaluée en

ax+b

par

a

.

Elle divise la dérivée évaluée en

ax+b

par

a

.

Explication

La dérivation de la composition avec $ax+b$ fait apparaître la dérivée de l’expression intérieure, égale à $a$ , d’où $a\,u'(ax+b)$ . Diviser par $a$ ne correspond pas à la règle de dérivation d’une composition.

Answer

Elle multiplie la dérivée évaluée en $$ax+b$$ par $$a$$.

QCM : Compléments sur la dérivation (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer $(g \circ f)(x)$ , quelle opération faut-il effectuer en premier ?

2. On considère $h(x)=\sqrt{2x+4}$ . Quelle affirmation décrit correctement son domaine de définition et l’intervalle où elle est dérivable ?

3. Pour $H(x)=e^{3x^2-1}$ , quelle est la dérivée de $H$ ?

4. Sur un intervalle où $u(x)>0$ , quelle expression donne la dérivée de $\sqrt{u(x)}$ ?

5. Que désignent les dérivées successives d’une fonction ?

6. Quelle est la limite du taux de variation à droite de la fonction racine carrée en 0, qui explique la présence d’une demi-tangente verticale à l’origine ?

7. Quel est le rôle de la formule du produit dans le calcul de la dérivée de deux fonctions dérivables multipliées ?

8. Quelle différence distingue la définition de la composée $g\circ f$ de la règle permettant de la dériver ?

9. Si l’on remplace l’argument d’une fonction dérivable $u$ par $ax+b$ , avec $a\neq 0$ , quel effet cette transformation a-t-elle sur la dérivée ?

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QCM : Compléments sur la dérivation (9 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour calculer (g∘f)(x)(g \circ f)(x)(g∘f)(x), quelle opération faut-il effectuer en premier ?

2. On considère h(x)=2x+4h(x)=\sqrt{2x+4}h(x)=2x+4​. Quelle affirmation décrit correctement son domaine de définition et l’intervalle où elle est dérivable ?

3. Pour H(x)=e3x2−1H(x)=e^{3x^2-1}H(x)=e3x2−1, quelle est la dérivée de HHH ?

4. Sur un intervalle où u(x)>0u(x)>0u(x)>0, quelle expression donne la dérivée de u(x)\sqrt{u(x)}u(x)​ ?

5. Que désignent les dérivées successives d’une fonction ?

6. Quelle est la limite du taux de variation à droite de la fonction racine carrée en 0, qui explique la présence d’une demi-tangente verticale à l’origine ?

7. Quel est le rôle de la formule du produit dans le calcul de la dérivée de deux fonctions dérivables multipliées ?

8. Quelle différence distingue la définition de la composée g∘fg\circ fg∘f de la règle permettant de la dériver ?

9. Si l’on remplace l’argument d’une fonction dérivable uuu par ax+bax+bax+b, avec a≠0a\neq 0a=0, quel effet cette transformation a-t-elle sur la dérivée ?

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2. On considère $h(x)=\sqrt{2x+4}$ . Quelle affirmation décrit correctement son domaine de définition et l’intervalle où elle est dérivable ?

3. Pour $H(x)=e^{3x^2-1}$ , quelle est la dérivée de $H$ ?

4. Sur un intervalle où $u(x)>0$ , quelle expression donne la dérivée de $\sqrt{u(x)}$ ?

8. Quelle différence distingue la définition de la composée $g\circ f$ de la règle permettant de la dériver ?

9. Si l’on remplace l’argument d’une fonction dérivable $u$ par $ax+b$ , avec $a\neq 0$ , quel effet cette transformation a-t-elle sur la dérivée ?