QCM : Dérivation et étude des fonctions (16 questions)

Question 1

1. Pour une fonction définie par $f(x)=x^2$ , quel est son taux d’accroissement entre les abscisses $3$ et $3+h$ , avec $h\neq 0$ ?

6+h

-(6+h)

6h+h^2

9

Explication

Le taux d’accroissement vaut $\frac{f(3+h)-f(3)}{h}=\frac{(3+h)^2-9}{h}=6+h$ . L’expression $6h+h^2$ oublie la division par $h$ , tandis que $9$ est la valeur de $f(3)$ .

Answer

La fonction est dérivable en $$a$$ et cette limite est $$f'(a)$$.

Answer

$$y=3(x-2)+5$$

Answer

Oui, c’est précisément la condition de dérivabilité sur l’intervalle.

Answer

Le nombre dérivé de $$f$$ en $$x$$, noté $$f'(x)$$.

Answer

$$u'(x)v(x)+u(x)v'(x)$$

Answer

Non, car le quotient n’est pas défini en $$a$$

Answer

Strictement croissante

Answer

$$g$$ est strictement décroissante

Answer

$$p$$ est constante

Answer

7 est un maximum local de la fonction en 3

Answer

$$f'(4)=0$$

Answer

La fonction admet un minimum local en 2

Question 2

2. Une fonction a pour taux d’accroissement en $a$ une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$ . Que permet de conclure cette propriété ?

La fonction est continue en

a

, sans conclusion sur sa dérivabilité.

La fonction est dérivable en

a

et cette limite est nécessairement nulle.

La fonction est dérivable en

a

et cette limite est

f'(a)

.

La fonction vaut cette limite en

a

, donc elle est dérivable en

a

.

Explication

La dérivabilité en $a$ est définie par l’existence d’une limite du taux d’accroissement lorsque $h$ tend vers $0$ ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)$ . Une limite nulle n’est pas imposée, et la limite n’est pas la valeur de $f(a)$ .

Question 3

3. La fonction $f$ est dérivable en $2$ , avec $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ . Quelle est l’équation de la tangente à sa courbe en ce point ?

y=-3(x-2)+5

y=2(x-2)+5

y=3(x-2)+5

y=3x+5

Explication

La tangente en $a$ a pour équation $y=f'(a)(x-a)+f(a)$ ; ici, cela donne $y=3(x-2)+5$ . L’expression $3x+5$ ne passe pas par le point de tangence $(2,5)$ , et $-3$ inverse le signe de la pente.

Question 4

4. Pour estimer $f(4,1)$ au voisinage de $a=4$ , on sait que $f(4)=7$ et $f'(4)=-2$ . Quelle valeur fournit l’approximation affine ?

-1,8

7,2

6,8

5

Explication

L’approximation affine est $f(a)+hf'(a)$ , avec $h=4,1-4=0,1$ ; on obtient $7+0,1\times(-2)=6,8$ . La valeur $7,2$ provient d’une inversion du signe de la dérivée, et $5$ oublie le facteur $h$ .

Question 5

5. Une fonction est-elle dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en chacun des points de cet intervalle ?

Oui, dès qu’elle est continue sur tout l’intervalle.

Oui, dès qu’elle est dérivable aux extrémités de l’intervalle.

Oui, c’est précisément la condition de dérivabilité sur l’intervalle.

Oui, dès que sa dérivée est constante sur l’intervalle.

Explication

Être dérivable sur un intervalle signifie être dérivable en chacun de ses points. La continuité seule, une dérivée constante ou la dérivabilité aux extrémités ne définissent pas cette condition.

Question 6

6. Que donne la fonction dérivée $f'$ lorsqu’on lui fournit un réel $x$ de l’intervalle où $f$ est dérivable ?

Le nombre dérivé de

f

en

x

, noté

f'(x)

.

L’abscisse du point où la dérivée de

f

s’annule.

La pente de la tangente à la courbe en un autre point.

La valeur de la fonction initiale en

x

, notée

f(x)

.

Explication

La fonction dérivée associe à chaque $x$ le nombre dérivé de $f$ en ce point, soit $f'(x)$ . $f(x)$ désigne l’image par la fonction initiale, tandis qu’une abscisse d’annulation ou la pente en un autre point ne correspond pas à cette association.

Question 7

7. Pour $f(x)=x^3$ , quelle expression donne $f'(x)$ sur son domaine de dérivabilité ?

3x^2

x^2

2x^3

3x^3

Explication

La dérivée de $x^n$ est $nx^{n-1}$ ; avec $n=3$ , on obtient $3x^2$ . $x^2$ oublie le facteur 3, tandis que $3x^3$ et $2x^3$ conservent à tort la puissance initiale.

Question 8

8. Un calculateur utilise la règle de dérivation des puissances pour dériver $x^5$ . Quelle expression doit-il obtenir ?

x^4

5x^5

-5x^6

5x^4

Explication

La règle donne $\frac{d}{dx}x^n=nx^{n-1}$ ; pour $n=5$ , la dérivée est donc $5x^4$ . $x^4$ omet le coefficient, $5x^5$ ne réduit pas l’exposant, et $-5x^6$ reprend à tort une forme associée aux puissances réciproques.

Question 9

9. Pour des fonctions dérivables $u$ et $v$ , on pose $h(x)=u(x)v(x)$ . Quelle expression donne $h'(x)$ ?

u'(x)v(x)+u(x)v'(x)

u'(x)+v'(x)

u'(x)v(x)

\frac{u'(x)v(x)-u(x)v'(x)}{v(x)^2}

Explication

La dérivée d’un produit est $u'v+uv'$ . L’expression avec un dénominateur applique la règle du quotient, $u'v$ omet un terme et $u'+v'$ dérive une somme.

Question 10

10. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur leur domaine respectif, mais $v(a)=0$ . Peut-on appliquer en $a$ la règle de dérivation du quotient $u/v$ ?

Oui, si

u(a)

est également nul

Non, car les deux fonctions doivent avoir le même domaine

Non, car le quotient n’est pas défini en

a

Oui, dès que

u

et

v

sont dérivables en

a

Explication

La règle du quotient s’applique sur l’intersection des domaines de dérivabilité où $v\ne 0$ ; ici, le quotient n’est pas défini en $a$ . La dérivabilité des fonctions, la valeur de $u(a)$ et l’égalité de leurs domaines ne remplacent pas cette condition.

Question 11

11. Sur un intervalle $I$ où elle est dérivable, une fonction $f$ vérifie $f'(x)\geq 0$ , avec une dérivée nulle en quelques points seulement. Quel est le sens de variation de $f$ sur $I$ ?

Strictement croissante

Non monotone

Constante

Strictement décroissante

Explication

Une dérivée positive, avec éventuellement quelques zéros, implique que $f$ est strictement croissante sur l’intervalle. La positivité de $f$ ne détermine pas ses variations, les signes négatifs indiqueraient une décroissance, et quelques zéros ne rendent pas la fonction constante.

Question 12

12. Sur un intervalle où elle est dérivable, une fonction $g$ vérifie $g'(x)\leq 0$ , avec une dérivée nulle en quelques points seulement. Quelle conclusion s’applique ?

g

est strictement croissante

g

est constante

g

est strictement décroissante

g

est négative

Explication

Une dérivée négative, sauf éventuellement en quelques points où elle s’annule, entraîne une décroissance stricte. La croissance correspond au signe positif, la constance à une dérivée nulle sur tout l’intervalle, et le signe de $g$ ne découle pas de celui de $g'$ .

Question 13

13. Sur tout un intervalle $I$ , la dérivée d’une fonction $p$ vaut zéro. Que peut-on conclure sur $p$ dans cet intervalle ?

p

est strictement croissante

p

est strictement décroissante

p

est constante

p

est identiquement nulle

Explication

Si la dérivée est nulle sur un intervalle, la fonction y est constante, sans que cette constante doive valoir zéro. Une pente nulle ne décrit ni une croissance ni une décroissance stricte.

Question 14

14. Pour une fonction définie autour de $x_0=3$ , on vérifie que, dans un intervalle ouvert centré en 3, toutes les valeurs de $f(x)$ sont inférieures ou égales à $f(3)=7$ . Quelle affirmation est justifiée ?

7 est nécessairement le maximum global de la fonction

7 est un minimum local de la fonction en 3

7 est un maximum local de la fonction en 3

3 est un maximum local de la fonction

Explication

Un maximum local en 3 signifie que, dans un voisinage ouvert de 3, $f(x)\leq f(3)$ ; la valeur maximale locale est donc $f(3)=7$ . Confondre avec un maximum global étend à tort la condition à tout le domaine.

Question 15

15. Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert possède un maximum local au point intérieur $x=4$ . Quelle valeur doit prendre sa dérivée en ce point ?

f'(4)=1

f'(4)=0

f'(4)<0

La dérivée en 4 peut être non nulle

Explication

Pour une fonction dérivable ayant un extremum local en un point intérieur, la dérivée s’annule en ce point, donc $f'(4)=0$ . Une dérivée non nulle ou égale à 1 contredit cette condition nécessaire.

Question 16

16. La dérivée d’une fonction continue s’annule en $x=2$ , est négative juste à gauche de 2 et positive juste à droite. Quel comportement de la fonction en 2 en découle ?

La fonction admet un maximum local en 2

La fonction admet nécessairement un minimum global en 2

La fonction admet un minimum local en 2

La fonction n’admet pas d’extremum local en 2

Explication

Une dérivée qui passe du signe négatif au signe positif indique que la fonction décroît puis croît : elle admet donc un minimum local en 2. Le changement de signe opposé caractériserait un maximum, tandis qu’un minimum local n’implique pas un minimum global.

QCM : Dérivation et étude des fonctions (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie par $f(x)=x^2$ , quel est son taux d’accroissement entre les abscisses $3$ et $3+h$ , avec $h\neq 0$ ?

2. Une fonction a pour taux d’accroissement en $a$ une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$ . Que permet de conclure cette propriété ?

3. La fonction $f$ est dérivable en $2$ , avec $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ . Quelle est l’équation de la tangente à sa courbe en ce point ?

4. Pour estimer $f(4,1)$ au voisinage de $a=4$ , on sait que $f(4)=7$ et $f'(4)=-2$ . Quelle valeur fournit l’approximation affine ?

5. Une fonction est-elle dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en chacun des points de cet intervalle ?

6. Que donne la fonction dérivée $f'$ lorsqu’on lui fournit un réel $x$ de l’intervalle où $f$ est dérivable ?

7. Pour $f(x)=x^3$ , quelle expression donne $f'(x)$ sur son domaine de dérivabilité ?

8. Un calculateur utilise la règle de dérivation des puissances pour dériver $x^5$ . Quelle expression doit-il obtenir ?

9. Pour des fonctions dérivables $u$ et $v$ , on pose $h(x)=u(x)v(x)$ . Quelle expression donne $h'(x)$ ?

10. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur leur domaine respectif, mais $v(a)=0$ . Peut-on appliquer en $a$ la règle de dérivation du quotient $u/v$ ?

11. Sur un intervalle $I$ où elle est dérivable, une fonction $f$ vérifie $f'(x)\geq 0$ , avec une dérivée nulle en quelques points seulement. Quel est le sens de variation de $f$ sur $I$ ?

12. Sur un intervalle où elle est dérivable, une fonction $g$ vérifie $g'(x)\leq 0$ , avec une dérivée nulle en quelques points seulement. Quelle conclusion s’applique ?

13. Sur tout un intervalle $I$ , la dérivée d’une fonction $p$ vaut zéro. Que peut-on conclure sur $p$ dans cet intervalle ?

14. Pour une fonction définie autour de $x_0=3$ , on vérifie que, dans un intervalle ouvert centré en 3, toutes les valeurs de $f(x)$ sont inférieures ou égales à $f(3)=7$ . Quelle affirmation est justifiée ?

15. Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert possède un maximum local au point intérieur $x=4$ . Quelle valeur doit prendre sa dérivée en ce point ?

16. La dérivée d’une fonction continue s’annule en $x=2$ , est négative juste à gauche de 2 et positive juste à droite. Quel comportement de la fonction en 2 en découle ?

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QCM : Dérivation et étude des fonctions (16 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour une fonction définie par f(x)=x2f(x)=x^2f(x)=x2, quel est son taux d’accroissement entre les abscisses 333 et 3+h3+h3+h, avec h≠0h\neq 0h=0 ?

2. Une fonction a pour taux d’accroissement en aaa une limite finie lorsque hhh tend vers 000. Que permet de conclure cette propriété ?

3. La fonction fff est dérivable en 222, avec f(2)=5f(2)=5f(2)=5 et f′(2)=3f'(2)=3f′(2)=3. Quelle est l’équation de la tangente à sa courbe en ce point ?

4. Pour estimer f(4,1)f(4,1)f(4,1) au voisinage de a=4a=4a=4, on sait que f(4)=7f(4)=7f(4)=7 et f′(4)=−2f'(4)=-2f′(4)=−2. Quelle valeur fournit l’approximation affine ?

5. Une fonction est-elle dérivable sur un intervalle si elle est dérivable en chacun des points de cet intervalle ?

6. Que donne la fonction dérivée f′f'f′ lorsqu’on lui fournit un réel xxx de l’intervalle où fff est dérivable ?

7. Pour f(x)=x3f(x)=x^3f(x)=x3, quelle expression donne f′(x)f'(x)f′(x) sur son domaine de dérivabilité ?

8. Un calculateur utilise la règle de dérivation des puissances pour dériver x5x^5x5. Quelle expression doit-il obtenir ?

9. Pour des fonctions dérivables uuu et vvv, on pose h(x)=u(x)v(x)h(x)=u(x)v(x)h(x)=u(x)v(x). Quelle expression donne h′(x)h'(x)h′(x) ?

10. Les fonctions uuu et vvv sont dérivables sur leur domaine respectif, mais v(a)=0v(a)=0v(a)=0. Peut-on appliquer en aaa la règle de dérivation du quotient u/vu/vu/v ?

11. Sur un intervalle III où elle est dérivable, une fonction fff vérifie f′(x)≥0f'(x)\geq 0f′(x)≥0, avec une dérivée nulle en quelques points seulement. Quel est le sens de variation de fff sur III ?

12. Sur un intervalle où elle est dérivable, une fonction ggg vérifie g′(x)≤0g'(x)\leq 0g′(x)≤0, avec une dérivée nulle en quelques points seulement. Quelle conclusion s’applique ?

13. Sur tout un intervalle III, la dérivée d’une fonction ppp vaut zéro. Que peut-on conclure sur ppp dans cet intervalle ?

14. Pour une fonction définie autour de x0=3x_0=3x0​=3, on vérifie que, dans un intervalle ouvert centré en 3, toutes les valeurs de f(x)f(x)f(x) sont inférieures ou égales à f(3)=7f(3)=7f(3)=7. Quelle affirmation est justifiée ?

15. Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert possède un maximum local au point intérieur x=4x=4x=4. Quelle valeur doit prendre sa dérivée en ce point ?

16. La dérivée d’une fonction continue s’annule en x=2x=2x=2, est négative juste à gauche de 2 et positive juste à droite. Quel comportement de la fonction en 2 en découle ?

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1. Pour une fonction définie par $f(x)=x^2$ , quel est son taux d’accroissement entre les abscisses $3$ et $3+h$ , avec $h\neq 0$ ?

2. Une fonction a pour taux d’accroissement en $a$ une limite finie lorsque $h$ tend vers $0$ . Que permet de conclure cette propriété ?

3. La fonction $f$ est dérivable en $2$ , avec $f(2)=5$ et $f'(2)=3$ . Quelle est l’équation de la tangente à sa courbe en ce point ?

4. Pour estimer $f(4,1)$ au voisinage de $a=4$ , on sait que $f(4)=7$ et $f'(4)=-2$ . Quelle valeur fournit l’approximation affine ?

6. Que donne la fonction dérivée $f'$ lorsqu’on lui fournit un réel $x$ de l’intervalle où $f$ est dérivable ?

7. Pour $f(x)=x^3$ , quelle expression donne $f'(x)$ sur son domaine de dérivabilité ?

8. Un calculateur utilise la règle de dérivation des puissances pour dériver $x^5$ . Quelle expression doit-il obtenir ?

9. Pour des fonctions dérivables $u$ et $v$ , on pose $h(x)=u(x)v(x)$ . Quelle expression donne $h'(x)$ ?

10. Les fonctions $u$ et $v$ sont dérivables sur leur domaine respectif, mais $v(a)=0$ . Peut-on appliquer en $a$ la règle de dérivation du quotient $u/v$ ?

11. Sur un intervalle $I$ où elle est dérivable, une fonction $f$ vérifie $f'(x)\geq 0$ , avec une dérivée nulle en quelques points seulement. Quel est le sens de variation de $f$ sur $I$ ?

12. Sur un intervalle où elle est dérivable, une fonction $g$ vérifie $g'(x)\leq 0$ , avec une dérivée nulle en quelques points seulement. Quelle conclusion s’applique ?

13. Sur tout un intervalle $I$ , la dérivée d’une fonction $p$ vaut zéro. Que peut-on conclure sur $p$ dans cet intervalle ?

14. Pour une fonction définie autour de $x_0=3$ , on vérifie que, dans un intervalle ouvert centré en 3, toutes les valeurs de $f(x)$ sont inférieures ou égales à $f(3)=7$ . Quelle affirmation est justifiée ?

15. Une fonction dérivable sur un intervalle ouvert possède un maximum local au point intérieur $x=4$ . Quelle valeur doit prendre sa dérivée en ce point ?

16. La dérivée d’une fonction continue s’annule en $x=2$ , est négative juste à gauche de 2 et positive juste à droite. Quel comportement de la fonction en 2 en découle ?