Dérivation et étude des fonctions

📋 Plan du Cours

1. Nombre dérivé et taux d’accroissement
2. Tangente et approximation affine
3. Fonction dérivée et domaine
4. Dérivées des fonctions usuelles
5. Opérations sur les dérivées
6. Dérivée et sens de variation
7. Extrema locaux et dérivée

📖 1. Nombre dérivé et taux d’accroissement

🔑 Notions clés & Définitions

• Taux d’accroissement : Le taux d’accroissement de f entre a et a+h, avec h non nul, est le coefficient directeur de la sécante reliant les points d’abscisses a et a+h : $\tau_a(h)=\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.
• Nombre dérivé : La fonction f est dérivable en a lorsque son taux d’accroissement admet une limite lorsque h tend vers 0 ; cette limite est le nombre dérivé $f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$.

📝 Points essentiels

• En cinématique, le taux d’accroissement représente la vitesse moyenne entre les instants a et a+h, tandis que le nombre dérivé représente la vitesse instantanée à l’instant a.

• Pour f(x)=x²+4x−5, le nombre dérivé en −3 vaut −2.

• La fonction valeur absolue n’est pas dérivable en 0, car les limites à droite et à gauche de son taux d’accroissement valent respectivement 1 et −1.