Fiche de révision : Oscillateur harmonique et amortissement

📋 Plan du Cours

1. Dynamique et énergie newtoniennes
2. Ressort et loi de Hooke
3. Caractéristiques de l’oscillateur harmonique
4. Oscillateur masse-ressort libre
5. Énergie et puits de potentiel
6. Oscillateur masse-ressort amorti

📖 1. Dynamique et énergie newtoniennes

🔑 Notions clés & Définitions

• Quantité de mouvement : La quantité de mouvement d’un corps de masse m animé d’une vitesse $\vec v$ est $\vec p=m\vec v$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Le principe fondamental de la dynamique s’écrit $\frac{d\vec p}{dt}=\vec f$, où $\vec f$ est la somme des forces extérieures.

📐 Formule — Le théorème de l’énergie cinétique donne $W_{AB}=E_c(B)-E_c(A)$ avec $E_c=\frac{1}{2}mv^2$.

📐 Formule — L’énergie mécanique $E_M=E_c+E_p$ est conservée si les forces non conservatives sont nulles, car $\frac{dE_M}{dt}=P_{f_{nc}}=0$.

Compléments

📐 Formule — Le théorème de la puissance cinétique s’écrit $\frac{dE_c}{dt}=\vec f\cdot\vec v=P_f$.

💡 Astuce mémo

Force → travail → énergie → puissance

📖 2. Ressort et loi de Hooke

🔑 Notions clés & Définitions

• Ressort : Dispositif mécanique qui emmagasine de l’énergie lorsqu’il est déformé et la restitue lorsqu’il est relâché.

★ À maîtriser

📐 Formule — La loi de Hooke s’écrit $\vec T=-k\Delta l\,\vec e_x$, avec $\Delta l=l-l_0$ et k la constante de raideur.

📐 Formule — L’énergie potentielle élastique stockée par un ressort vaut $E_p=\frac{1}{2}k(\Delta l)^2$.

Compléments

📐 Formule — Pour deux ressorts en parallèle, la raideur équivalente vérifie $k_{eq}=k_1+k_2$.

📐 Formule — Pour deux ressorts en série, la raideur équivalente vérifie $\frac{1}{k_{eq}}=\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}$.

💡 Astuce mémo

Série = souplesse accrue ; parallèle = rigidité accrue

📖 3. Caractéristiques de l’oscillateur harmonique

🔑 Notions clés & Définitions

• Oscillateur harmonique : Système idéal dont une grandeur physique varie sinusoïdalement selon $x(t)=x_m\cos(\omega_0t+\varphi)$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Dans $x(t)=x_m\cos(\omega_0t+\varphi)$, $x_m$ est l’amplitude, $\omega_0$ la pulsation propre, $\varphi$ la phase à l’origine, $T_0=\frac{2\pi}{\omega_0}$ la période et $f_0=\frac{1}{T_0}$ la fréquence.

📐 Formule — L’équation différentielle d’un oscillateur harmonique est $\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2x=0$.

Compléments

• Les exemples d’oscillateurs harmoniques cités sont:
  • un système masse-ressort
  • un pendule liquide dans un tube
  • un circuit RLC

💡 Astuce mémo

APF : amplitude, pulsation, phase

📖 4. Oscillateur masse-ressort libre

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour un mobile de masse m relié à un ressort de raideur k sans frottement, l’équation du mouvement est $m\frac{d^2x}{dt^2}+kx=0$, soit $\frac{d^2x}{dt^2}+\omega_0^2x=0$ avec $\omega_0^2=\frac{k}{m}$.

📐 Formule — Avec $x(0)=x_m$ et $v(0)=0$, la position du mobile est $x(t)=x_m\cos(\omega_0t)$.

Compléments

📐 Formule — La vitesse correspondante est $v(t)=-x_m\omega_0\sin(\omega_0t)=\omega_0x_m\cos\left(\omega_0t+\frac{\pi}{2}\right)$.

📐 Formule — La résolution complexe utilise les racines $r_1=j\omega_0$ et $r_2=-j\omega_0$, avec $j^2=-1$.

💡 Astuce mémo

Ressort déformé → force de rappel → oscillation sinusoïdale

📖 5. Énergie et puits de potentiel

🔑 Notions clés & Définitions

• Équilibre stable : Position où aucune force ne s’applique et où le mobile reste au repos.

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour le système masse-ressort libre, l’énergie mécanique constante vaut $E_M=\frac{1}{2}mv^2+\frac{1}{2}kx^2$.

📐 Formule — L’énergie potentielle élastique est $E_p(x)=\frac{1}{2}kx^2$ et la force de rappel vérifie $\vec T=-\operatorname{grad}E_p$.

Compléments

• Dans l’oscillation, l’énergie potentielle et l’énergie cinétique se convertissent réciproquement tandis que l’énergie mécanique reste constante.

💡 Astuce mémo

Aux extrêmes : énergie potentielle ; à l’équilibre : énergie cinétique

📖 6. Oscillateur masse-ressort amorti

★ À maîtriser

📐 Formule — Avec un frottement fluide $\vec F=-\alpha\vec v$, l’équation du mouvement devient $\frac{d^2x}{dt^2}+2\lambda\frac{dx}{dt}+\omega_0^2x=0$ avec $2\lambda=\frac{\alpha}{m}$.

📌 Le régime est pseudopériodique si $\lambda<\omega_0$, apériodique si $\lambda>\omega_0$ et critique si $\lambda=\omega_0$.

📐 Formule — En régime pseudopériodique, la pulsation amortie est $\omega=\sqrt{\omega_0^2-\lambda^2}$ et la période vaut $T=\frac{2\pi}{\omega}$.

• En régime apériodique, le mobile revient à sa position d’équilibre sans osciller, et le régime critique est plus rapide que le régime apériodique.

Compléments

📐 Formule — En régime pseudopériodique, la position s’écrit $x(t)=x_m e^{-\lambda t}\cos(\omega t-\varphi)$, ce qui traduit une amplitude décroissante.

📐 Formule — En régime critique, lorsque $\lambda=\omega_0$, la solution avec les conditions initiales données est $x(t)=x_m e^{-\omega_0t}(1+\omega_0t)$.

💡 Astuce mémo

Sous-amorti → critique → sur-amorti

📊 Tableaux de synthèse

Régimes d’amortissement