Fiche de révision : Trigonométrie et fonctions circulaires

📋 Plan du Cours

1. Cercle trigonométrique et repérage
2. Valeurs remarquables et équations
3. Angles associés et formules fondamentales
4. Fonctions cosinus et sinus
5. Fonction tangente
6. Limites et tangentes remarquables
7. Signaux sinusoïdaux
8. Combinaisons de sinus et cosinus
9. Équations trigonométriques générales

📖 1. Cercle trigonométrique et repérage

🔑 Notions clés & Définitions

• Cercle trigonométrique : Cercle de rayon 1 centré en O.
• Repérage trigonométrique : Un point M du cercle trigonométrique est repéré par un réel x correspondant à la longueur algébrique de l’arc IM, positive dans le sens trigonométrique.
• Cosinus et sinus : Par définition, cos(x) et sin(x) sont respectivement l’abscisse et l’ordonnée du point M associé à x sur le cercle trigonométrique.

📝 Points essentiels

📐 Formule — Pour tout réel x, $\cos^2(x)+\sin^2(x)=1$.

📐 Formule — Lorsque cos(x) est non nul, $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$.

💡 Astuce mémo

Visualiser le point M sur le cercle unité, avec cosinus en abscisse et sinus en ordonnée.

📖 2. Valeurs remarquables et équations

📝 Points essentiels

• Les valeurs remarquables pour x égal à 0, π/6, π/4, π/3 et π/2 sont respectivement cos(x) égal à 1, √3/2, √2/2, 1/2 et 0, et sin(x) égal à 0, 1/2, √2/2, √3/2 et 1.

• Les valeurs remarquables de la tangente sont tan(0)=0, tan(π/6)=1/√3, tan(π/4)=1, tan(π/3)=√3, tandis que tan(π/2) n’est pas définie.

• Pour résoudre une équation ou une inéquation trigonométrique portant sur une valeur remarquable, on repère les angles correspondants sur le cercle trigonométrique et on tient compte de la périodicité ; pour la tangente, on utilise aussi l’axe des tangentes.

📖 3. Angles associés et formules fondamentales

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour tous réels x et y, $\cos(x+y)=\cos(x)\cos(y)-\sin(x)\sin(y)$ et $\sin(x+y)=\sin(x)\cos(y)+\sin(y)\cos(x)$.

📐 Formule — Lorsque l’expression est définie, $\tan(x+y)=\frac{\tan(x)+\tan(y)}{1-\tan(x)\tan(y)}$.

📐 Formule — Les formules de duplication sont $\cos(2x)=\cos^2(x)-\sin^2(x)=2\cos^2(x)-1=1-2\sin^2(x)$ et $\sin(2x)=2\sin(x)\cos(x)$.

Compléments

📐 Formule — Les formules de différence sont $\cos(x-y)=\cos(x)\cos(y)+\sin(x)\sin(y)$, $\sin(x-y)=\sin(x)\cos(y)-\sin(y)\cos(x)$ et, lorsque l’expression est définie, $\tan(x-y)=\frac{\tan(x)-\tan(y)}{1+\tan(x)\tan(y)}$.

📐 Formule — Lorsque l’expression est définie, $\tan(2x)=\frac{2\tan(x)}{1-\tan^2(x)}$.

💡 Astuce mémo

Cosinus est pair, sinus et tangente sont impairs.

📖 4. Fonctions cosinus et sinus

📝 Points essentiels

• La fonction cosinus est définie, continue et dérivable sur R, et sa dérivée est $\cos'(x)=-\sin(x)$.

• La fonction cosinus est 2π-périodique et paire : $\cos(x+2\pi)=\cos(x)$ et $\cos(-x)=\cos(x)$.

• La fonction sinus est définie, continue et dérivable sur R, et sa dérivée est $\sin'(x)=\cos(x)$.

• La fonction sinus est 2π-périodique et impaire : $\sin(x+2\pi)=\sin(x)$ et $\sin(-x)=-\sin(x)$.

📌 Pour tout réel x, les fonctions sinus et cosinus vérifient $-1\leq\sin(x)\leq 1$ et $-1\leq\cos(x)\leq 1$.

💡 Astuce mémo

Cosinus se réfléchit sur l’axe des ordonnées, sinus sur l’origine.

📖 5. Fonction tangente

🔑 Notions clés & Définitions

• Fonction tangente : La fonction tangente est le quotient $\tan(x)=\frac{\sin(x)}{\cos(x)}$ défini sur $D=\mathbb R\setminus\{\frac\pi2+k\pi\mid k\in\mathbb Z\}$.

★ À maîtriser

📐 Formule — Sur son domaine de définition, la dérivée de la tangente est $\tan'(x)=1+\tan^2(x)=\frac{1}{\cos^2(x)}$.

• La tangente est π-périodique et impaire : $\tan(x+\pi)=\tan(x)$ et $\tan(-x)=-\tan(x)$.

• La tangente est strictement croissante sur chaque intervalle $]-\frac\pi2+k\pi,\frac\pi2+k\pi[$ et ses limites aux bornes sont −∞ à gauche et +∞ à droite.

Compléments

• Les asymptotes verticales de la courbe de la tangente ont pour équations $x=\frac\pi2+k\pi$ avec k entier relatif.

💡 Astuce mémo

Domaine exclu, période π, imparité, croissance, asymptotes.

📖 6. Limites et tangentes remarquables

★ À maîtriser

📐 Formule — Les limites remarquables en zéro sont $\lim_{x\to0}\frac{\sin(x)}x=1$ et $\lim_{x\to0}\frac{\cos(x)-1}{x^2}=-\frac12$.

📐 Formule — L’équation de la tangente à la courbe d’une fonction dérivable f au point d’abscisse a est $y=f(a)+f'(a)(x-a)$.

Compléments

• Les tangentes aux courbes de sinus en 0 et en π/2 ont respectivement pour équations y=x et y=1.

• Les tangentes aux courbes de cosinus en 0 et en π/2 ont respectivement pour équations y=1 et y=π/2−x.

💡 Astuce mémo

Dérivées et limites près de zéro → tangentes et approximations locales.

📖 7. Signaux sinusoïdaux

🔑 Notions clés & Définitions

• Période : Temps nécessaire à une oscillation complète.
• Amplitude : Distance entre sa valeur moyenne et son maximum.

📝 Points essentiels

📐 Formule — La fréquence et la pulsation d’un signal vérifient $f=\frac1T$ et $\omega=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$.

📐 Formule — Pour A>0 et ω>0, les fonctions $t\mapsto A\sin(\omega t+\varphi)$ et $t\mapsto A\cos(\omega t+\varphi)$ ont pour période $T=\frac{2\pi}{\omega}$.

💡 Astuce mémo

Amplitude, pulsation, phase → période et translation de la courbe.

📖 8. Combinaisons de sinus et cosinus

★ À maîtriser

📐 Formule — Pour deux réels A et B non simultanément nuls, il existe C>0 et ϕ tels que $A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t)=C\cos(\omega t+\varphi)$.

📐 Formule — Dans cette transformation, l’amplitude résultante est $C=\sqrt{A^2+B^2}$.

Compléments

📌 Lorsque A est non nul, un choix possible de phase vérifie $\tan(\varphi)=-\frac BA$.

📖 9. Équations trigonométriques générales

★ À maîtriser

📌 Pour des expressions définies, $\cos(f(x))=\cos(g(x))$ équivaut à l’existence d’un entier k tel que f(x)=g(x)+2kπ ou f(x)=−g(x)+2kπ.

• Pour résoudre une équation de la forme a cos(x)+b sin(x)=c avec (a,b) différent de (0,0), on la transforme en $\sqrt{a^2+b^2}\cos(x+\varphi)=c$ puis on résout une équation de cosinus.

📌 Toute résolution d’une équation trigonométrique doit respecter les conditions de définition des expressions, en particulier pour la tangente.

Compléments

• Pour une équation $\cos(f(x))=\sin(g(x))$, on transforme le sinus en cosinus grâce à $\sin(g(x))=\cos(\frac\pi2-g(x))$, puis on applique la règle des équations de cosinus.

💡 Astuce mémo

Transformer, distinguer les cas, résoudre, puis vérifier le domaine.

📊 Tableaux de synthèse

Propriétés des fonctions trigonométriques