QCM : Outils différentiels en électromagnétisme (24 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Une UE a une note globale de 12, mais la note d’un de ses éléments constitutifs est de 7. Quel est son statut ?

Elle est en attente, car seule une note constitutive inférieure à 7 est éliminatoire.
Elle est validée si les travaux pratiques ont été réussis.
Elle est validée, car sa note globale dépasse 10.
Elle n’est pas validée, car une note constitutive égale à 7 empêche la validation.

Elle n’est pas validée, car une note constitutive égale à 7 empêche la validation.

Explication

La validation exige une note globale d’au moins 10 et aucune note constitutive inférieure ou égale à 7. Une note globale suffisante ne compense donc pas une note constitutive égale à 7.

2. Quel ensemble décrit l’évaluation du cours au semestre 3 ?

Deux examens courts de 1 h 30, un examen long de 3 h et un quiz ou QCM, sans travaux pratiques.
Deux examens courts de 3 h, un examen long de 1 h 30, des travaux pratiques et un quiz sur les circuits électriques.
Trois examens courts de 1 h 30, des travaux pratiques et un examen long de 3 h sur les circuits électriques.
Deux examens courts de 1 h 30, un examen long de 3 h, des travaux pratiques et un quiz ou QCM sur les circuits électriques.

Deux examens courts de 1 h 30, un examen long de 3 h, des travaux pratiques et un quiz ou QCM sur les circuits électriques.

Explication

L’évaluation associe deux examens courts de 1 h 30, un examen long de 3 h, des travaux pratiques et un quiz ou QCM sur les circuits électriques. La durée de 3 h correspond à l’examen long, et les travaux pratiques font bien partie des évaluations.

3. Une grandeur de température est attribuée à chaque point d’une pièce. De quel type de champ s’agit-il ?

D’une ligne de champ, car la température est associée à chaque position.
D’un champ vectoriel, car la température peut varier d’un point à l’autre.
D’un champ scalaire, car chaque point reçoit une valeur sans direction.
D’une ligne de niveau, car la température décrit une région entière.

D’un champ scalaire, car chaque point reçoit une valeur sans direction.

Explication

Un champ scalaire attribue une grandeur scalaire, telle que la température, à chaque point d’une région. Le fait que cette valeur varie selon la position ne lui confère pas une direction, contrairement à un champ vectoriel.

4. La vitesse d’un fluide est définie en chaque point d’un écoulement. Comment la représenter ?

Par un champ vectoriel, qui associe un vecteur à chaque point.
Par une ligne de champ, qui relie les points où la vitesse a même intensité.
Par un champ scalaire, qui associe une valeur sans direction à chaque point.
Par une ligne de niveau, qui relie les points de même vitesse.

Par un champ vectoriel, qui associe un vecteur à chaque point.

Explication

La vitesse est un exemple de champ vectoriel, car elle associe un vecteur à chaque point de la région. Un champ scalaire ne décrit pas la direction de la vitesse.

5. Sur une carte d’altitude, que relie une ligne de niveau ?

Les points où le champ vectoriel possède la même direction.
Les points où le champ scalaire possède la même valeur.
Les points où le champ scalaire augmente le plus rapidement.
Les points où le champ vectoriel est tangent à la courbe.

Les points où le champ scalaire possède la même valeur.

Explication

Une ligne de niveau relie les points où un champ scalaire prend une même valeur. La tangence d’un champ vectoriel à une courbe caractérise plutôt une ligne de champ.

6. Pour le champ V⃗=−ye⃗x+xe⃗y\vec V=-y\vec e_x+x\vec e_y, dans quel sens les lignes de champ parcourent-elles les cercles centrés en O ?

Vers O, le long des rayons convergents.
Dans le sens antihoraire autour de O.
Dans le sens horaire autour de O.
Vers l’extérieur, le long des rayons issus de O.

Dans le sens antihoraire autour de O.

Explication

Les lignes de ce champ sont des cercles centrés en O et leur orientation est antihoraire. Un parcours horaire correspondrait au sens opposé à celui indiqué par le champ.

7. Pour déterminer la direction de la plus forte augmentation d’une température décrite par un champ scalaire, quel objet faut-il utiliser ?

Sa circulation, qui est un vecteur pointant vers la valeur maximale.
Son gradient, qui est un champ scalaire mesurant une variation totale.
Son gradient, qui est un champ vectoriel dirigé vers l’augmentation la plus forte.
Sa divergence, qui est un champ vectoriel dirigé vers l’augmentation la plus forte.

Son gradient, qui est un champ vectoriel dirigé vers l’augmentation la plus forte.

Explication

Le gradient d’un champ scalaire est un champ vectoriel orienté vers la plus forte augmentation de ce champ. La divergence s’applique à un champ vectoriel et produit un scalaire, elle ne joue donc pas ici le rôle du gradient.

8. Pour calculer le gradient d’un champ scalaire f(x,y,z)f(x,y,z) en coordonnées cartésiennes, quelle expression faut-il utiliser ?

∇f=∂f∂xe⃗y+∂f∂ye⃗z+∂f∂ze⃗x\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec e_y+\frac{\partial f}{\partial y}\vec e_z+\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_x
∇f=∂f∂xe⃗x−∂f∂ye⃗y+∂f∂ze⃗z\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec e_x-\frac{\partial f}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z
∇f=∂f∂x+∂f∂y+∂f∂z\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}+\frac{\partial f}{\partial y}+\frac{\partial f}{\partial z}
∇f=∂f∂xe⃗x+∂f∂ye⃗y+∂f∂ze⃗z\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial f}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z

$$\nabla f=\frac{\partial f}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial f}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial f}{\partial z}\vec e_z$$

Explication

En coordonnées cartésiennes, le gradient combine chaque dérivée partielle selon une coordonnée avec le vecteur unitaire correspondant. Une somme de dérivées sans vecteurs unitaires est scalaire et ne donne pas le gradient vectoriel.

9. Comment exprime-t-on la circulation d’un champ vectoriel le long d’un chemin orienté de A à B ?

Comme la somme des valeurs du champ aux seuls points A et B.
Comme l’intégrale curviligne du produit vectoriel du champ par le déplacement élémentaire.
Comme l’intégrale de surface du produit scalaire du champ par l’élément de surface orienté.
Comme l’intégrale curviligne du produit scalaire du champ par le déplacement élémentaire.

Comme l’intégrale curviligne du produit scalaire du champ par le déplacement élémentaire.

Explication

La circulation est l’intégrale curviligne du produit scalaire entre le champ vectoriel et le déplacement élémentaire le long du chemin orienté. L’intégration sur une surface avec un élément de surface orienté définit plutôt le flux.

10. Un petit déplacement est perpendiculaire au gradient d’un champ scalaire. Quel effet produit-il sur la valeur du champ au premier ordre ?

Il la diminue le plus fortement, car il s’oppose à la direction du gradient.
Il la conserve, car la variation dans cette direction est nulle.
Il la modifie selon la norme du gradient, quelle que soit la direction.
Il l’augmente le plus fortement, car il suit la direction du gradient.

Il la conserve, car la variation dans cette direction est nulle.

Explication

La variation directionnelle est nulle pour un déplacement perpendiculaire au gradient, donc la valeur du champ est conservée au premier ordre. Un déplacement dans la direction du gradient produit au contraire la plus forte augmentation.

11. Pour un champ vectoriel V⃗=(P,Q,R)\vec V=(P,Q,R) en coordonnées cartésiennes, quelle expression donne sa divergence ?

∂P∂z+∂Q∂x+∂R∂y\frac{\partial P}{\partial z}+\frac{\partial Q}{\partial x}+\frac{\partial R}{\partial y}
∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
∂P∂x−∂Q∂y+∂R∂z\frac{\partial P}{\partial x}-\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
∂R∂y−∂Q∂z\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}

$$\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}$$

Explication

La divergence est la somme des dérivées de chaque composante par rapport à la coordonnée correspondante. Les expressions faisant intervenir des dérivées croisées ne correspondent pas à cette définition.

12. Dans une région où la divergence d’un champ est négative, quelle interprétation locale convient ?

Le champ présente une divergence locale, comme depuis une source.
Le champ n’a pas de source nette locale dans cette région.
Le champ présente une tendance locale à tourner autour d’un axe.
Le champ présente une convergence locale, comme vers un puits.

Le champ présente une convergence locale, comme vers un puits.

Explication

Une divergence négative caractérise un champ convergent localement. Une divergence nulle indique l’absence de source nette locale, tandis que la tendance à tourner est décrite par le rotationnel.

13. Quelle comparaison distingue correctement les lignes du champ électrique électrostatique de celles du champ magnétique en magnétostatique ?

Les charges électriques positives et négatives sont des sources et des puits, tandis que les lignes magnétiques forment des boucles fermées.
Les charges électriques forment des boucles fermées, tandis que les lignes magnétiques partent de pôles positifs et aboutissent à des pôles négatifs.
Les lignes électriques et magnétiques forment des boucles fermées, car aucun des deux champs ne possède de source.
Les deux champs possèdent des sources et des puits ponctuels, mais seuls les champs électriques forment des boucles fermées.

Les charges électriques positives et négatives sont des sources et des puits, tandis que les lignes magnétiques forment des boucles fermées.

Explication

Les charges positives et négatives jouent respectivement le rôle de sources et de puits du champ électrique, alors que les lignes magnétiques sont fermées en l’absence de monopôles magnétiques. L’idée de pôles magnétiques isolés comme sources et puits ne convient donc pas.

14. Comment le théorème d’Ostrogradsky relie-t-il le flux d’un champ à travers une surface fermée à sa divergence ?

Le flux est égal à l’intégrale de la divergence sur le volume enfermé par la surface.
Le flux est égal à l’intégrale de la divergence le long du contour de la surface.
Le flux est égal à la circulation du champ le long du contour de la surface.
Le flux est égal à l’intégrale du rotationnel sur le volume enfermé par la surface.

Le flux est égal à l’intégrale de la divergence sur le volume enfermé par la surface.

Explication

Le théorème d’Ostrogradsky égalise le flux à travers une surface fermée et l’intégrale volumique de la divergence à l’intérieur. Une intégrale le long du contour concerne une circulation et ne représente pas cette relation.

15. Pour V⃗=(P,Q,R)\vec V=(P,Q,R) en coordonnées cartésiennes, quelle est la composante selon e⃗z\vec e_z de rot⁡V⃗\operatorname{rot}\vec V ?

∂P∂x+∂Q∂y+∂R∂z\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}
∂Q∂x−∂P∂y\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}
∂R∂y−∂Q∂z\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}
∂P∂z−∂R∂x\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}

$$\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}$$

Explication

La composante selon e⃗z\vec e_z du rotationnel est la dérivée de QQ par rapport à xx moins celle de PP par rapport à yy. La somme des dérivées des composantes par rapport aux coordonnées correspond à la divergence.

16. Que caractérise le rotationnel d’un champ vectoriel en un point ?

Son flux total à travers toute surface fermée entourant le point.
La dépendance de sa circulation entre deux points à l’itinéraire suivi.
Sa tendance locale à tourner, avec une direction indiquant l’axe de rotation.
Son expansion ou sa convergence locale, avec une direction indiquant les sources.

Sa tendance locale à tourner, avec une direction indiquant l’axe de rotation.

Explication

Le rotationnel décrit la tendance locale du champ à tourner, et son orientation donne l’axe de cette rotation. L’expansion ou la convergence locale relève de la divergence, pas du rotationnel.

17. Selon le théorème de Stokes, à quoi est égal le flux du rotationnel à travers une surface ouverte orientée ?

À la circulation du champ le long du contour orienté de cette surface.
À la circulation du rotationnel le long du contour de cette surface.
À l’intégrale de la divergence du champ sur le volume enfermé par cette surface.
Au flux du champ à travers une surface fermée ayant le même contour.

À la circulation du champ le long du contour orienté de cette surface.

Explication

Stokes relie l’intégrale surfacique du rotationnel à la circulation du champ sur le contour orienté de la surface. L’intégrale de la divergence sur un volume relève du théorème d’Ostrogradsky.

18. Un champ a une circulation nulle sur tout contour fermé. Quelle conséquence cela entraîne-t-il pour sa circulation entre deux points ?

Elle ne dépend que des deux extrémités, et non du chemin suivi.
Elle dépend de la surface choisie entre les deux points, et non du chemin.
Elle est nulle pour tout trajet reliant les deux points.
Elle dépend de la divergence du champ le long du trajet.

Elle ne dépend que des deux extrémités, et non du chemin suivi.

Explication

Une circulation conservative est nulle sur tout contour fermé, ce qui rend la circulation entre deux points indépendante du chemin et déterminée par les extrémités. Cela ne signifie pas que la circulation sur tout trajet entre ces points est nulle.

19. Quelle propriété caractérise un champ à circulation conservative lorsqu’il est exprimé à l’aide d’un potentiel scalaire UU ?

Il vérifie V⃗=−grad⁡U\vec V=-\operatorname{grad}U et sa divergence est nécessairement nulle.
Il vérifie V⃗=grad⁡U\vec V=\operatorname{grad}U et sa divergence est nulle.
Il vérifie V⃗=−grad⁡U\vec V=-\operatorname{grad}U et son rotationnel est nul.
Il vérifie V⃗=rot⁡A⃗\vec V=\operatorname{rot}\vec A et son rotationnel est nul.

Il vérifie $$\vec V=-\operatorname{grad}U$$ et son rotationnel est nul.

Explication

Un champ à circulation conservative dérive d’un potentiel scalaire selon V⃗=−grad⁡U\vec V=-\operatorname{grad}U et son rotationnel est nul. Une divergence nulle caractérise plutôt le champ à flux conservatif, et n’est pas la propriété énoncée ici.

20. Un champ possède un flux conservatif. Quelle description mathématique lui correspond ?

Sa divergence est nulle et il peut s’écrire comme le gradient d’un potentiel scalaire.
Son rotationnel est nul et il peut s’écrire comme le rotationnel d’un potentiel vectoriel.
Son rotationnel est nul et il peut s’écrire comme le gradient négatif d’un potentiel scalaire.
Sa divergence est nulle et il peut s’écrire comme le rotationnel d’un potentiel vectoriel.

Sa divergence est nulle et il peut s’écrire comme le rotationnel d’un potentiel vectoriel.

Explication

Un champ à flux conservatif a une divergence nulle et peut s’écrire V⃗=rot⁡A⃗\vec V=\operatorname{rot}\vec A. La forme en gradient négatif associée à un potentiel scalaire caractérise la circulation conservative.

21. Quelle affirmation compare correctement les conditions des propriétés conservatives du champ électrostatique et du champ magnétique ?

La circulation électrostatique est conservative pour un courant variable, tandis que le flux magnétique est conservatif pour un courant permanent.
Le flux électrostatique est conservatif pour une distribution stationnaire, tandis que la circulation magnétique est conservative pour un courant permanent ou variable.
La circulation électrostatique est conservative pour une distribution stationnaire, tandis que le flux magnétique est conservatif pour un courant permanent ou variable.
La circulation électrostatique et le flux magnétique sont conservatifs uniquement lorsque le courant est permanent.

La circulation électrostatique est conservative pour une distribution stationnaire, tandis que le flux magnétique est conservatif pour un courant permanent ou variable.

Explication

La circulation du champ électrostatique est conservative lorsque la distribution de charges est stationnaire, tandis que le flux du champ magnétique reste conservatif avec un courant permanent ou variable. La condition de stationnarité s’applique ici au champ électrostatique, et non au flux magnétique.

22. En coordonnées cartésiennes, comment s’écrit le laplacien scalaire d’un champ ff ?

La somme des dérivées premières de ff selon xx, yy et zz.
La somme des dérivées croisées de ff selon les trois axes.
Le produit des dérivées secondes de ff selon xx, yy et zz.
La somme des dérivées secondes de ff selon xx, yy et zz.

La somme des dérivées secondes de $$f$$ selon $$x$$, $$y$$ et $$z$$.

Explication

Le laplacien scalaire est la somme des dérivées secondes par rapport à chacune des trois coordonnées cartésiennes. La somme des dérivées premières décrit une autre opération et ne correspond pas à cette définition.

23. Quelle identité relie le laplacien vectoriel d’un champ V⃗\vec V à sa divergence et à son rotationnel ?

ΔV⃗=grad⁡(div⁡V⃗)+rot⁡(rot⁡V⃗)\Delta\vec V=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec V)+\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec V)
ΔV⃗=grad⁡(div⁡V⃗)−rot⁡(rot⁡V⃗)\Delta\vec V=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec V)-\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec V)
ΔV⃗=rot⁡(div⁡V⃗)−grad⁡(rot⁡V⃗)\Delta\vec V=\operatorname{rot}(\operatorname{div}\vec V)-\operatorname{grad}(\operatorname{rot}\vec V)
ΔV⃗=div⁡(grad⁡V⃗)−rot⁡(rot⁡V⃗)\Delta\vec V=\operatorname{div}(\operatorname{grad}\vec V)-\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec V)

$$\Delta\vec V=\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec V)-\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec V)$$

Explication

Le laplacien vectoriel est égal au gradient de la divergence moins le rotationnel du rotationnel. Le signe plus devant le second terme modifierait l’identité.

24. Pour un champ vectoriel V⃗\vec V et un champ scalaire ff suffisamment réguliers, quelles sont les deux identités différentielles nulles ?

rot⁡(rot⁡V⃗)=0\operatorname{rot}(\operatorname{rot}\vec V)=0 et div⁡(grad⁡f)=0\operatorname{div}(\operatorname{grad}f)=0
grad⁡(div⁡V⃗)=0\operatorname{grad}(\operatorname{div}\vec V)=0 et rot⁡(grad⁡f)=0\operatorname{rot}(\operatorname{grad}f)=0
div⁡(rot⁡V⃗)=0\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec V)=0 et rot⁡(grad⁡f)=0\operatorname{rot}(\operatorname{grad}f)=0
div⁡(grad⁡V⃗)=0\operatorname{div}(\operatorname{grad}\vec V)=0 et rot⁡(div⁡f)=0\operatorname{rot}(\operatorname{div}f)=0

$$\operatorname{div}(\operatorname{rot}\vec V)=0$$ et $$\operatorname{rot}(\operatorname{grad}f)=0$$

Explication

La divergence d’un rotationnel est nulle, tout comme le rotationnel d’un gradient. La divergence du gradient d’un champ scalaire correspond plutôt à son laplacien et n’est pas nécessairement nulle.

Révisez avec les flashcards

Mémorisez les réponses avec 47 flashcards sur Outils différentiels en électromagnétisme.

Qu’associe un champ scalaire à chaque point d’une région ?

Une grandeur scalaire.

Qu’associe un champ vectoriel à chaque point d’une région ?

Un vecteur.

Que relie une ligne de niveau d’un champ scalaire ?

Les points où le champ prend la même valeur.

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