QCM : Logique et raisonnements mathématiques (11 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Concernant les propositions mathématiques :

Une proposition mathématique peut être vraie et fausse simultanément.
Une proposition mathématique possède une valeur de vérité déterminée.
Une proposition mathématique est également appelée assertion.
Une conjecture mathématique est un énoncé démontré.
Une proposition mathématique est un énoncé non paradoxal.

Une proposition mathématique possède une valeur de vérité déterminée. · Une proposition mathématique est également appelée assertion. · Une proposition mathématique est un énoncé non paradoxal.

Explication

Une proposition non paradoxale a une valeur de vérité déterminée et est aussi appelée assertion. Elle ne peut pas être à la fois vraie et fausse. Une conjecture est un énoncé que l’on pense vrai sans l’avoir démontré, tandis qu’un théorème est démontré.

2. Parmi les propositions suivantes concernant les prédicats, la(les)quelle(s) est(sont) exacte(s) ?

Un prédicat est un énoncé mathématique dont la vérité reste indépendante de toute variable.
La valeur de vérité d’un prédicat varie selon la variable considérée.
Un prédicat est une proposition dont la valeur de vérité dépend d’une variable.
Un prédicat relève des propositions mathématiques lorsque sa variable est fixée.
Un prédicat est une conjecture importante dont la démonstration est achevée.

La valeur de vérité d’un prédicat varie selon la variable considérée. · Un prédicat est une proposition dont la valeur de vérité dépend d’une variable. · Un prédicat relève des propositions mathématiques lorsque sa variable est fixée.

Explication

Un prédicat est une proposition dont la vérité dépend d’une variable, et fixer cette variable permet d’évaluer sa valeur de vérité. La dépendance à une variable le distingue d’un énoncé à vérité indépendante, tandis que la démonstration d’une conjecture concerne la distinction entre conjecture et théorème.

3. À propos de la conjonction P∧QP \land Q :

La conjonction P∧QP \land Q est vraie dès que l’une des propositions est vraie.
La conjonction P∧QP \land Q est fausse si l’une des deux propositions est fausse.
La conjonction P∧QP \land Q est vraie lorsque PP et QQ sont toutes deux vraies.
La conjonction P∧QP \land Q est vraie lorsque PP est vraie et QQ est fausse.
La conjonction P∧QP \land Q exige la vérité simultanée de ses deux propositions.

La conjonction $$P \land Q$$ est fausse si l’une des deux propositions est fausse. · La conjonction $$P \land Q$$ est vraie lorsque $$P$$ et $$Q$$ sont toutes deux vraies. · La conjonction $$P \land Q$$ exige la vérité simultanée de ses deux propositions.

Explication

La conjonction est vraie lorsque les deux propositions sont vraies, et devient fausse dès que l’une est fausse. Le critère « au moins une vraie » décrit la disjonction, et deux propositions vraies rendent la conjonction vraie.

4. Lorsqu’on évalue la disjonction P∨QP \lor Q, quelles propositions sont exactes ?

La disjonction P∨QP \lor Q est vraie si au moins l’une des propositions est vraie.
La disjonction P∨QP \lor Q exige que les deux propositions soient vraies.
La disjonction P∨QP \lor Q est fausse lorsque les deux propositions sont fausses.
La disjonction P∨QP \lor Q est fausse dès que l’une des propositions est fausse.
La disjonction P∨QP \lor Q est fausse lorsque PP est vraie et QQ est fausse.

La disjonction $$P \lor Q$$ est vraie si au moins l’une des propositions est vraie. · La disjonction $$P \lor Q$$ est fausse lorsque les deux propositions sont fausses.

Explication

La disjonction est vraie dès qu’au moins une proposition est vraie; elle est fausse lorsque les deux sont fausses. Elle ne requiert donc pas que les deux propositions soient vraies et ne devient pas fausse dès que l’une est fausse.

5. Que signifie l’équivalence logique P⇔QP \Leftrightarrow Q ?

Les propositions PP et QQ sont toutes deux vraies, sans que leurs valeurs puissent être fausses ensemble.
Les implications P⇒QP \Rightarrow Q et Q⇒PQ \Rightarrow P sont vraies, donc PP et QQ ont la même valeur de vérité.
La négation de PP implique la négation de QQ, sans condition sur l’implication inverse.
L’implication P⇒QP \Rightarrow Q est vraie, mais l’implication réciproque n’est pas requise.

Les implications $$P \Rightarrow Q$$ et $$Q \Rightarrow P$$ sont vraies, donc $$P$$ et $$Q$$ ont la même valeur de vérité.

Explication

Une équivalence exige que chacune des deux propositions implique l’autre, ce qui garantit qu’elles ont la même valeur de vérité. Une implication dans un seul sens n’établit pas cette égalité des valeurs de vérité.

6. Quelle équivalence logique exprime la négation de la conjonction de deux propositions PP et QQ ?

¬(P∧Q)⇔¬P∧¬Q\neg(P \land Q) \Leftrightarrow \neg P \land \neg Q
¬(P∧Q)⇔P∨Q\neg(P \land Q) \Leftrightarrow P \lor Q
¬(P∧Q)⇔¬P∨¬Q\neg(P \land Q) \Leftrightarrow \neg P \lor \neg Q
¬(P∧Q)⇔P∧¬Q\neg(P \land Q) \Leftrightarrow P \land \neg Q

$$\neg(P \land Q) \Leftrightarrow \neg P \lor \neg Q$$

Explication

La loi de De Morgan transforme la négation d’une conjonction en disjonction des négations. La conjonction des négations correspond plutôt à la négation d’une disjonction.

7. Quel rôle joue le quantificateur existentiel dans une assertion portant sur un ensemble EE ?

Il affirme qu’au moins un élément de EE vérifie la propriété considérée.
Il affirme qu’un unique élément de EE vérifie la propriété considérée.
Il affirme qu’aucun élément de EE ne vérifie la propriété considérée.
Il affirme que chaque élément de EE vérifie la propriété considérée.

Il affirme qu’au moins un élément de $$E$$ vérifie la propriété considérée.

Explication

Le quantificateur existentiel indique qu’il existe au moins un élément de l’ensemble qui satisfait la propriété. Le quantificateur universel, distracteur plausible, exige au contraire que la propriété soit vérifiée par chaque élément.

8. Pour démontrer que n(n+1)n(n+1) est pair pour tout entier naturel nn par disjonction de cas, quelle démarche faut-il suivre ?

Distinguer les cas où nn est pair et où nn est impair, puis vérifier la propriété dans chaque cas.
Transformer l’énoncé en une équivalence avec une proposition plus simple, puis examiner ses cas de vérité.
Vérifier la propriété pour les deux premières valeurs de nn, puis supposer qu’elle se transmet au rang suivant.
Supposer que n(n+1)n(n+1) est impair, puis déduire une contradiction à partir de cette hypothèse.

Distinguer les cas où $$n$$ est pair et où $$n$$ est impair, puis vérifier la propriété dans chaque cas.

Explication

Tout entier naturel est soit pair, soit impair ; établir la parité du produit dans chacun de ces cas couvre toutes les possibilités. Une vérification de quelques premiers rangs suivie d’une transmission relève plutôt d’un raisonnement par récurrence.

9. En quoi le raisonnement par contraposée diffère-t-il du raisonnement par l’absurde pour établir une implication P⇒QP \Rightarrow Q ?

La contraposée démontre ¬Q⇒¬P\neg Q \Rightarrow \neg P, tandis que l’absurde suppose PP vraie et QQ fausse pour obtenir une contradiction.
La contraposée suppose PP vraie et QQ fausse, tandis que l’absurde démontre directement ¬Q⇒¬P\neg Q \Rightarrow \neg P.
La contraposée vérifie des conditions nécessaires à une solution, tandis que l’absurde vérifie que ces conditions suffisent.
La contraposée démontre Q⇒PQ \Rightarrow P, tandis que l’absurde démontre ¬P⇒¬Q\neg P \Rightarrow \neg Q.

La contraposée démontre $$\neg Q \Rightarrow \neg P$$, tandis que l’absurde suppose $$P$$ vraie et $$Q$$ fausse pour obtenir une contradiction.

Explication

La contraposée remplace l’implication initiale par l’implication équivalente ¬Q⇒¬P\neg Q \Rightarrow \neg P. Le raisonnement par l’absurde, lui, part de PP vraie et QQ fausse afin de faire apparaître une contradiction.

10. Dans une récurrence forte, quelle hypothèse permet d’établir la propriété au rang suivant ?

La propriété est vraie au rang considéré et au rang suivant.
La propriété est vraie au rang initial et son hérédité simple est établie.
La propriété est vraie à tous les rangs depuis le rang initial jusqu’au rang considéré.
La propriété est vraie aux deux rangs précédant le rang considéré.

La propriété est vraie à tous les rangs depuis le rang initial jusqu’au rang considéré.

Explication

La récurrence forte suppose que la propriété est vraie à chaque rang compris entre le rang initial et le rang considéré afin d’en déduire sa vérité au rang suivant. L’hypothèse portant sur les deux rangs précédents caractérise plutôt la récurrence double.

11. Pourquoi un énoncé mathématique dépendant d’une variable est-il qualifié de prédicat plutôt que de proposition ?

Il exprime une conjecture qui n’a pas encore été démontrée.
Il ne peut pas recevoir de valeur de vérité.
Il est vrai et faux simultanément pour certaines valeurs.
Sa valeur de vérité dépend de la valeur attribuée à la variable.

Sa valeur de vérité dépend de la valeur attribuée à la variable.

Explication

Un prédicat est un énoncé dont la valeur de vérité varie selon la variable considérée. Une proposition, en revanche, possède une valeur de vérité sans dépendre d’une variable libre.

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Qu’est-ce qu’une proposition mathématique ?

Un énoncé non paradoxal qui est vrai ou faux, mais pas les deux simultanément.

Quand la négation ¬P est-elle vraie ?

Lorsque P est fausse.

De qui et de quelle année date la démonstration du grand théorème de Fermat ?

Andrew Wiles l’a démontré en 1995.

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