Fiche de révision : Outils mathématiques en électrostatique

📋 Plan du Cours

1. Opérations sur les vecteurs
2. Angles plans et solides
3. Différentielles et intégrales multiples
4. Développements limités près de zéro
5. Circulation et flux des champs
6. Coordonnées et éléments différentiels
7. Opérateurs et théorème de Stokes
8. Théorèmes de Stokes et d’Ostrogradski
9. Opérations sur les matrices
10. Vecteurs et symétries géométriques
11. Principe de Curie et symétries physiques
12. Symétries et direction des champs

📖 1. Opérations sur les vecteurs

🔑 Notions clés & Définitions

• Vecteur unitaire : Vecteur de norme unité qui indique la direction et le sens d’un vecteur associé.
• Champ scalaire : Fonction qui associe un nombre à chaque point de l’espace.
• Champ vectoriel : Fonction qui associe un vecteur à chaque point de l’espace.
• Produit scalaire : Scalaire égal au produit des normes des deux vecteurs multiplié par le cosinus de l’angle entre eux.
• Produit vectoriel : Vecteur perpendiculaire au plan formé par les deux vecteurs, orienté de sorte que ceux-ci et leur produit forment un trièdre direct.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Le vecteur unitaire associé à un vecteur non nul $\vec a$ s’écrit $\vec e_a=\frac{\vec a}{a}$.

• Le potentiel électrique $V(\vec r)$ est un exemple de champ scalaire.

• Les champs électrique $\vec E$ et magnétique $\vec B$ sont des exemples de champs vectoriels.

• Dans un repère cartésien d’origine O, le vecteur position vérifie $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$.

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, $\vec a\cdot\vec b=a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z$.

• Deux vecteurs sont perpendiculaires si et seulement si leur produit scalaire est nul.

• Deux vecteurs sont parallèles si et seulement si leur produit vectoriel est nul.

• Le produit vectoriel est anticommutatif : $\vec a\wedge\vec b=-\vec b\wedge\vec a$.

💡 Astuce mémo

Le produit scalaire donne un nombre, le produit vectoriel un vecteur

📖 2. Angles plans et solides

🔑 Notions clés & Définitions

• Angle plan : Rapport de la longueur d’un arc de cercle à son rayon, mesuré en radians.
• Angle solide : Rapport de la surface d’une calotte sphérique au carré du rayon de la sphère, mesuré en stéradians.

📖 3. Différentielles et intégrales multiples

🔑 Notions clés & Définitions

• Différentielle : Pour une fonction différentiable de plusieurs variables, somme des dérivées partielles par rapport à chaque variable, chacune multipliée par la différentielle de cette variable.

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour $f(x_1,\ldots,x_n)$, $df=\sum_{i=1}^{n}\frac{\partial f}{\partial x_i}dx_i$.

📌 Une intégrale simple porte sur une variable et correspond à une intégrale curviligne, une intégrale double porte sur deux variables et correspond à une intégrale de surface, et une intégrale triple porte sur trois variables et correspond à une intégrale de volume.

Compléments

📌 La différentielle d’une somme vérifie $d(f+g)=df+dg$, et celle d’un produit par une constante $d(\alpha f)=\alpha\,df$.

📐 Formule - La différentielle d’un produit vérifie $d(fg)=f\,dg+g\,df$.

• En physique, la différentielle décrit la réaction d’un système à une très petite modification d’un paramètre.

• L’intégrale double de $1$ sur un rectangle donne l’aire du rectangle, et l’intégrale triple de $1$ sur un parallélépipède donne son volume.

📌 Si $F=\int f\,dx$, alors $\frac{dF}{dx}=f$ et $\int df=f+C$, où la primitive est définie à une constante près.

• En physique, l’intégrale mesure une variation totale en additionnant les petites variations locales.

💡 Astuce mémo

Une, deux, puis trois variables : courbe, surface, volume

📖 4. Développements limités près de zéro

🔑 Notions clés & Définitions

• Développement limité : Développement de Taylor-Young jusqu’à l’ordre n, avec un reste qui tend vers zéro lorsque x tend vers zéro.

★ À maîtriser

📐 Formule - Le développement limité s’écrit $f(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+x^n\varepsilon(x)$, avec $\lim_{x\to 0}\varepsilon(x)=0$.

Compléments

• Au voisinage de zéro, $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\cdots+\frac{x^n}{n!}+x^n\varepsilon(x)$.

• En physique, un développement limité permet d’approcher une fonction complexe par un polynôme, par exemple pour faciliter une intégration.

📖 5. Circulation et flux des champs

🔑 Notions clés & Définitions

• Circulation : Intégrale curviligne du champ le long d’un contour.
• Flux : Intégrale de surface du produit scalaire du champ par le vecteur normal unitaire.

📝 Points essentiels

📐 Formule - La circulation de $\vec F$ le long de $\Gamma$ s’écrit $C_{\vec F}=\int_{\Gamma}\vec F\cdot d\vec M$.

📐 Formule - La circulation élémentaire vérifie $dC_{\vec F}=\vec F\cdot d\vec M$.

📐 Formule - Le flux de $\vec F$ à travers $S$ s’écrit $\Phi=\iint_S\vec F\cdot\vec n\,dS$, et son élément différentiel est $d\Phi=\vec F\cdot d\vec S$.

📌 Le signe du flux dépend de l’orientation du vecteur normal à la surface.

📌 Pour une surface fermée, le vecteur normal est par convention dirigé vers l’extérieur.

💡 Astuce mémo

La circulation suit un contour ; le flux traverse une surface

📖 6. Coordonnées et éléments différentiels

★ À maîtriser

• En coordonnées cartésiennes, $\overrightarrow{OM}=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z$, $d\vec M=dx\vec e_x+dy\vec e_y+dz\vec e_z$ et $d\tau=dx\,dy\,dz$.

• En coordonnées cylindriques, $\overrightarrow{OM}=\rho\vec e_\rho+z\vec e_z$ et $d\vec M=d\rho\vec e_\rho+\rho\,d\theta\vec e_\theta+dz\vec e_z$.

• En coordonnées cylindriques, les éléments différentiels sont $dS=\rho\,d\theta\,dz$ pour la surface latérale, $dS=\rho\,d\rho\,d\theta$ pour la base, et $d\tau=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$ pour le volume.

• En coordonnées sphériques, $\overrightarrow{OM}=r\vec e_r$ et $d\vec M=dr\vec e_r+r\,d\theta\vec e_\theta+r\sin\theta\,d\varphi\vec e_\varphi$.

• En coordonnées sphériques, $dS=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi$ et $d\tau=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$.

Compléments

• En coordonnées cartésiennes, les éléments de surface sont $dx\,dy$, $dx\,dz$ et $dy\,dz$.

• En coordonnées cylindriques, $\rho\geq0$, $0\leq\theta\leq2\pi$ et $-\infty<z<+\infty$.

• En coordonnées sphériques, $r\geq0$, $0\leq\theta\leq\pi$ et $0\leq\varphi\leq2\pi$.

• Les coordonnées polaires sont le cas bidimensionnel des coordonnées cylindriques avec $z=0$.

📐 Formule - Le vecteur unitaire radial polaire vérifie $\vec e_r=\cos\theta\,\vec e_x+\sin\theta\,\vec e_y$ et $\frac{\partial\vec e_r}{\partial\theta}=\vec e_\theta$.

• Le choix d’un système de coordonnées dépend des conditions particulières du problème, notamment de sa symétrie et des expressions des champs.

📖 7. Opérateurs et théorème de Stokes

🔑 Notions clés & Définitions

• Gradient : Champ vectoriel défini en coordonnées cartésiennes par les dérivées partielles du scalaire dans les directions des axes.
• Divergence : Champ scalaire égal à la somme des dérivées partielles de ses composantes selon les axes correspondants.
• Rotationnel : Champ vectoriel défini en coordonnées cartésiennes par les dérivées croisées de ses composantes.
• Laplacien : Somme des dérivées partielles secondes du champ scalaire selon les trois axes cartésiens.
• Opérateur nabla : Opérateur différentiel $\vec\nabla=\vec e_x\frac{\partial}{\partial x}+\vec e_y\frac{\partial}{\partial y}+\vec e_z\frac{\partial}{\partial z}$ en coordonnées cartésiennes.

★ À maîtriser

📐 Formule - En coordonnées cartésiennes, $\operatorname{grad}U=\frac{\partial U}{\partial x}\vec e_x+\frac{\partial U}{\partial y}\vec e_y+\frac{\partial U}{\partial z}\vec e_z$ et $dU=\operatorname{grad}U\cdot d\vec M$.

Compléments

• Le Laplacien d’un champ vectoriel est le vecteur dont les composantes sont les Laplaciens des composantes du champ.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $\operatorname{grad}U=\vec e_\rho\frac{\partial U}{\partial\rho}+\vec e_\theta\frac{1}{\rho}\frac{\partial U}{\partial\theta}+\vec e_z\frac{\partial U}{\partial z}$.

📐 Formule - En coordonnées cylindriques, $\Delta U=\frac{1}{\rho}\frac{\partial}{\partial\rho}\left(\rho\frac{\partial U}{\partial\rho}\right)+\frac{1}{\rho^2}\frac{\partial^2U}{\partial\theta^2}+\frac{\partial^2U}{\partial z^2}$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, $\operatorname{grad}U=\vec e_r\frac{\partial U}{\partial r}+\vec e_\theta\frac{1}{r}\frac{\partial U}{\partial\theta}+\vec e_\varphi\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial U}{\partial\varphi}$.

📐 Formule - En coordonnées sphériques, $\Delta U=\frac{1}{r^2}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^2\frac{\partial U}{\partial r}\right)+\frac{1}{r^2\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta\frac{\partial U}{\partial\theta}\right)+\frac{1}{r^2\sin^2\theta}\frac{\partial^2U}{\partial\varphi^2}$.

• Le théorème de Stokes est aussi appelé théorème du rotationnel.

• Le théorème de Stokes concerne un champ vectoriel continûment dérivable défini dans l’espace et un contour fermé orienté associé à une surface.

📖 8. Théorèmes de Stokes et d’Ostrogradski

★ À maîtriser

• Le théorème de Stokes relie la circulation d’un champ vectoriel sur un contour fermé orienté à l’intégrale du rotationnel sur la surface qu’il borde : $\oint_C \mathbf{E}\cdot d\mathbf{l}=\iint_S \operatorname{rot}(\mathbf{E})\cdot\mathbf{n}\,dS$.

• Le théorème d’Ostrogradski relie le flux d’un champ vectoriel à travers une surface fermée à l’intégrale de sa divergence dans le volume qu’elle enferme : $\iint_S \mathbf{E}\cdot\mathbf{n}\,dS=\iiint_V \operatorname{div}(\mathbf{E})\,d\tau$.

Compléments

• Dans le théorème de Stokes, la normale unitaire à la surface est orientée dans le sens direct de l’espace.

• Dans le théorème d’Ostrogradski, la normale unitaire à la surface fermée est dirigée vers l’extérieur du volume.

📖 9. Opérations sur les matrices

🔑 Notions clés & Définitions

• Matrice : Tableau rectangulaire de nombres réels ou complexes, organisé en lignes et en colonnes.

★ À maîtriser

📌 La somme de deux matrices s’effectue composante par composante et n’est définie que si les deux matrices ont la même taille.

📌 Le produit AB est défini lorsque le nombre de colonnes de A est égal au nombre de lignes de B; le produit a alors autant de lignes que A et autant de colonnes que B.

Compléments

• Une matrice de n lignes et m colonnes est de taille n × m; si n = m, elle est carrée, et l’élément aᵢⱼ se trouve à la ligne i et à la colonne j.

📐 Formule - Pour le produit C = AB, chaque composante est donnée par $c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$.

📖 10. Vecteurs et symétries géométriques

★ À maîtriser

• Sous l’inversion par rapport à l’origine, un vrai vecteur (vecteur polaire) change de sens, tandis qu’un pseudo-vecteur (vecteur axial) est conservé.

• Par un plan de symétrie, un vrai vecteur devient son symétrique géométrique, tandis qu’un pseudo-vecteur devient son antisymétrique.

• Un plan de symétrie conserve le signe des charges qu’il met en correspondance, tandis qu’un plan d’antisymétrie échange les charges positives et négatives.

Compléments

• Les vrais vecteurs comprennent :

  • le champ électrostatique
  • la densité de courant
  • la vitesse
  • le vecteur position

• Les pseudo-vecteurs comprennent :

  • le champ magnétostatique
  • le produit vectoriel de deux vrais vecteurs
  • le vecteur rotation instantanée
  • la normale à une surface

📌 Lors d’une translation ou d’une rotation, vrais vecteurs et pseudo-vecteurs se transforment de la même manière.

💡 Astuce mémo

Au plan de symétrie, le vrai vecteur se réfléchit tandis que le pseudo-vecteur s’inverse.

📖 11. Principe de Curie et symétries physiques

🔑 Notions clés & Définitions

• Élément de symétrie : Opération de symétrie géométrique qui laisse le système physique invariant.

★ À maîtriser

📌 Selon le principe de Curie, les éléments de symétrie des causes doivent se retrouver dans les effets qu’elles produisent.

Compléments

• Une symétrie de translation le long d’un axe rend les effets indépendants de la variable associée à cet axe.

• Une symétrie de révolution autour d’un axe rend les effets indépendants de l’angle de rotation autour de cet axe.

• Une symétrie de translation et de révolution autour du même axe rend les effets indépendants de la coordonnée axiale et de l’angle, et laisse la coordonnée radiale comme seule variable spatiale possible.

• Une symétrie sphérique rend les effets indépendants des angles et ne laisse que la distance au centre comme variable spatiale possible.

💡 Astuce mémo

Symétrie des causes → symétrie des effets.

📖 12. Symétries et direction des champs

★ À maîtriser

📌 En un point d’un plan de symétrie, un effet vectoriel est contenu dans le plan et un effet pseudo-vectoriel lui est perpendiculaire.

📌 En un point d’un plan d’antisymétrie, un effet vectoriel est perpendiculaire au plan et un effet pseudo-vectoriel y est contenu.

• Pour étudier un champ électrostatique à partir des symétries du système, il faut choisir des coordonnées adaptées, réduire les variables d’espace grâce au principe de Curie, déterminer la direction du champ à l’aide des plans de symétrie ou d’antisymétrie, puis effectuer le calcul analytique.

Compléments

📌 Pour déterminer la direction d’un vrai vecteur en un point, on peut chercher un plan d’antisymétrie passant par ce point, auquel le vecteur est perpendiculaire, ou deux plans de symétrie dont l’intersection donne sa direction.

• Pour un fil infiniment long uniformément chargé, la symétrie de translation le long du fil et la symétrie de révolution autour de celui-ci permettent d’exprimer le champ comme ne dépendant que de la distance radiale au fil.

💡 Astuce mémo

Coordonnées adaptées → variables réduites → direction du champ → calcul.