Fiche de révision : Inégalités et propriétés des réels

📋 Plan du Cours

1. Inégalités classiques et racines
2. Moyennes et encadrement des produits
3. Irrationalité et nombres irrationnels
4. Partie entière et calculs associés

📖 1. Inégalités classiques et racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels $x,y$, l’inégalité de Young s’écrit $|xy| \leq \frac{1}{2}(|x|^2+|y|^2).$

📐 Formule - Pour tous réels $a,b,x,y$, l’inégalité de Cauchy–Schwarz s’écrit $|ax+by| \leq \sqrt{x^2+y^2}\sqrt{a^2+b^2}.$

📐 Formule - Pour tous réels $a,b\geq 0$, on a $\sqrt{a+b}\leq \sqrt a+\sqrt b,$ avec égalité si et seulement si $a=0$ ou $b=0$.

Compléments

📐 Formule - Pour tous réels $a,b$, on a $\left|\sqrt{|a|}-\sqrt{|b|}\right|\leq \sqrt{|a-b|}.$

📐 Formule - Pour tous réels $a,b,c$, on a $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2).$

📖 2. Moyennes et encadrement des produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique de deux réels strictement positifs $a,b$ est $m=\frac{a+b}{2}.$
• Moyenne géométrique : La moyenne géométrique de deux réels strictement positifs $a,b$ est $g=\sqrt{ab}.$
• Moyenne harmonique : La moyenne harmonique de deux réels strictement positifs $a,b$ est $h=\frac{2ab}{a+b}.$

★ À maîtriser

📐 Formule - Si $|x-a_1|\leq r_1$ et $|y-a_2|\leq r_2$, avec $r_1,r_2>0$, alors $|xy-a_1a_2|\leq r_1r_2+|a_1|r_2+|a_2|r_1.$

📌 Pour deux réels strictement positifs $a,b$, leurs moyennes vérifient $h\leq g\leq m,$ où $h$ est la moyenne harmonique, $g$ la moyenne géométrique et $m$ la moyenne arithmétique.

Compléments

📐 Formule - Pour tout réel $x>0$, on a $\frac{1}{1+x}<\frac{1}{\sqrt{1+x}}<\frac{1}{\sqrt{x}}.$

📖 3. Irrationalité et nombres irrationnels

★ À maîtriser

📌 Si $r$ est rationnel et $x$ est irrationnel, alors $r+x$ est irrationnel.

• Le quotient $\frac{\ln 3}{\ln 2}$ est irrationnel.

Compléments

• En supposant que $\sqrt2$, $\sqrt3$ et $\sqrt6$ sont irrationnels, leur somme $\sqrt2+\sqrt3+\sqrt6$ est irrationnelle.

• En supposant que $\sqrt2$, $\sqrt3$ et $\sqrt6$ sont irrationnels, le nombre $(3\sqrt2+2\sqrt3+\sqrt6)^2$ est irrationnel.

📖 4. Partie entière et calculs associés

🔑 Notions clés & Définitions

• Partie entière : La partie entière $E(x)$ d’un réel $x$ est l’unique entier $n$ tel que $n\leq x<n+1$.

📝 Points essentiels

📐 Formule - Pour tous entiers $m,n$, on a $E\left(\frac{m+n}{2}\right)+E\left(\frac{n-m+1}{2}\right)=n.$

• Pour tout entier naturel $n$, on a $E\big((\sqrt n+\sqrt{n+1})^2\big)=4n+1.$