Inégalités et propriétés des réels

📋 Plan du Cours

1. Inégalités classiques et racines
2. Moyennes et encadrement des produits
3. Irrationalité et nombres irrationnels
4. Partie entière et calculs associés

📖 1. Inégalités classiques et racines

★ À maîtriser

📐 Formule - Pour tous réels $x,y$, l’inégalité de Young s’écrit $|xy| \leq \frac{1}{2}(|x|^2+|y|^2).$

📐 Formule - Pour tous réels $a,b,x,y$, l’inégalité de Cauchy–Schwarz s’écrit $|ax+by| \leq \sqrt{x^2+y^2}\sqrt{a^2+b^2}.$

📐 Formule - Pour tous réels $a,b\geq 0$, on a $\sqrt{a+b}\leq \sqrt a+\sqrt b,$ avec égalité si et seulement si $a=0$ ou $b=0$.

Compléments

📐 Formule - Pour tous réels $a,b$, on a $\left|\sqrt{|a|}-\sqrt{|b|}\right|\leq \sqrt{|a-b|}.$

📐 Formule - Pour tous réels $a,b,c$, on a $(a+b+c)^2\leq 3(a^2+b^2+c^2).$

📖 2. Moyennes et encadrement des produits

🔑 Notions clés & Définitions

• Moyenne arithmétique : La moyenne arithmétique de deux réels strictement positifs $a,b$ est $m=\frac{a+b}{2}.$
• Moyenne géométrique : La moyenne géométrique de deux réels strictement positifs $a,b$ est $g=\sqrt{ab}.$
• Moyenne harmonique : La moyenne harmonique de deux réels strictement positifs $a,b$ est $h=\frac{2ab}{a+b}.$