QCM : Inégalités et propriétés des réels (8 questions)

Question 1

1. Pour $a=3$ , $b=-4$ , $x=2$ et $y=1$ , quelle borne l’inégalité de Cauchy–Schwarz donne-t-elle pour $|ax+by|$ ?

\sqrt{13}

\sqrt{41}

5\sqrt{2}

\sqrt{125}

Explication

Cauchy–Schwarz donne $\sqrt{x^2+y^2}\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{5}\sqrt{25}=\sqrt{125}$ . $\sqrt{13}$ omet une norme, $5\sqrt{2}$ additionne les normes, et $\sqrt{41}$ résulte d’une mauvaise combinaison des carrés.

Answer

$$\sqrt{125}$$

Question 2

2. Pour quels couples de réels non négatifs $a,b$ a-t-on égalité dans $\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt b$ ?

Lorsque

a=b

Lorsque

a=0

ou

b=0

Lorsque

a=b=0

Lorsque

a>0

et

b>0

Explication

L’égalité dans cette inégalité a lieu si et seulement si l’un des deux termes est nul. La stricte positivité, l’égalité des termes et leur nullité simultanée ne donnent pas la condition générale.

Answer

Lorsque $$a=0$$ ou $$b=0$$

Question 3

3. Pour deux nombres strictement positifs $a=4$ et $b=9$ , quel ordre relie leur moyenne harmonique $h$ , leur moyenne géométrique $g$ et leur moyenne arithmétique $m$ ?

h\leq m\leq g

h\leq g\leq m

g\leq h\leq m

m\leq g\leq h

Explication

Pour deux réels strictement positifs, la moyenne harmonique est inférieure ou égale à la moyenne géométrique, elle-même inférieure ou égale à la moyenne arithmétique. Les autres ordres inversent l’une de ces comparaisons.

Answer

$$h\leq g\leq m$$

Question 4

4. On sait que $|x-2|\leq 0{,}1$ et $|y+3|\leq 0{,}2$ . Quelle borne l’inégalité d’encadrement des produits donne-t-elle pour $|xy-2(-3)|$ ?

0{,}82

0{,}92

0{,}62

0{,}32

Explication

La borne vaut $r_1r_2+|a_1|r_2+|a_2|r_1=0{,}02+0{,}4+0{,}5=0{,}92$ . $0{,}82$ omet le produit des rayons, $0{,}32$ omet le terme associé à $a_1$ et $0{,}62$ celui associé à $a_2$ .

Answer

$$0{,}92$$

Question 5

5. Que signifie qu’un nombre est irrationnel ?

Il est égal au quotient de deux entiers dont le dénominateur est non nul.

Il est la somme d’un nombre entier et d’un nombre rationnel.

Il ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers.

Il possède une écriture décimale qui se termine après un nombre fini de chiffres.

Explication

Un nombre irrationnel n’est pas rationnel : il ne peut donc pas s’exprimer comme le quotient de deux entiers. Une écriture décimale finie, contrairement à ce que suggère un distracteur, représente un nombre rationnel.

Answer

Il ne peut pas s’écrire comme le quotient de deux entiers.

Question 6

6. Pour tout entier naturel $n$ , quelle valeur vaut $E\big((\sqrt n+\sqrt{n+1})^2\big)$ ?

4n+1

4n+2

4n-1

2n+1

Explication

La formule associée à la partie entière donne $E\big((\sqrt n+\sqrt{n+1})^2\big)=4n+1$ pour tout entier naturel $n$ . La valeur $4n+2$ ne correspond pas à cette formule, qui fixe le résultat à une unité de moins.

Answer

Borner $$|xy|$$ par la moyenne de $$|x|^2$$ et $$|y|^2$$.

Answer

La moyenne arithmétique est leur demi-somme, tandis que la moyenne géométrique est la racine carrée de leur produit.

Question 7

7. Quel est le rôle de l’inégalité de Young pour deux réels $x$ et $y$ ?

Borner

|x+y|

par la somme de

|x|

et

|y|

.

Borner

|x-y|

par la racine de

|x|+|y|

.

Borner

|xy|

par la moyenne de

|x|^2

et

|y|^2

.

Borner

|xy|

par le produit de

|x|

et

|y|

.

Explication

L’inégalité de Young fournit une borne supérieure de $|xy|$ égale à $\frac{1}{2}(|x|^2+|y|^2)$ . La borne faisant intervenir une racine et les carrés des normes correspond plutôt à l’inégalité de Cauchy–Schwarz.

Question 8

8. Pour deux réels strictement positifs distincts, quelle distinction entre les moyennes arithmétique et géométrique est correcte ?

La moyenne arithmétique est leur demi-produit, tandis que la moyenne géométrique est la moitié de leur somme.

La moyenne arithmétique est la racine carrée de leur produit, tandis que la moyenne géométrique est leur demi-somme.

La moyenne arithmétique est leur demi-somme, tandis que la moyenne géométrique est la racine carrée de leur produit.

La moyenne arithmétique est leur somme, tandis que la moyenne géométrique est leur produit.

Explication

La moyenne arithmétique de deux réels positifs est définie par leur somme divisée par deux, alors que la moyenne géométrique est la racine carrée de leur produit. La racine du produit correspond donc à la moyenne géométrique, et non à la moyenne arithmétique.

QCM : Inégalités et propriétés des réels (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour $a=3$ , $b=-4$ , $x=2$ et $y=1$ , quelle borne l’inégalité de Cauchy–Schwarz donne-t-elle pour $|ax+by|$ ?

2. Pour quels couples de réels non négatifs $a,b$ a-t-on égalité dans $\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt b$ ?

3. Pour deux nombres strictement positifs $a=4$ et $b=9$ , quel ordre relie leur moyenne harmonique $h$ , leur moyenne géométrique $g$ et leur moyenne arithmétique $m$ ?

4. On sait que $|x-2|\leq 0{,}1$ et $|y+3|\leq 0{,}2$ . Quelle borne l’inégalité d’encadrement des produits donne-t-elle pour $|xy-2(-3)|$ ?

5. Que signifie qu’un nombre est irrationnel ?

6. Pour tout entier naturel $n$ , quelle valeur vaut $E\big((\sqrt n+\sqrt{n+1})^2\big)$ ?

7. Quel est le rôle de l’inégalité de Young pour deux réels $x$ et $y$ ?

8. Pour deux réels strictement positifs distincts, quelle distinction entre les moyennes arithmétique et géométrique est correcte ?

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QCM : Inégalités et propriétés des réels (8 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour a=3a=3a=3, b=−4b=-4b=−4, x=2x=2x=2 et y=1y=1y=1, quelle borne l’inégalité de Cauchy–Schwarz donne-t-elle pour ∣ax+by∣|ax+by|∣ax+by∣ ?

2. Pour quels couples de réels non négatifs a,ba,ba,b a-t-on égalité dans a+b≤a+b\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt ba+b​≤a​+b​ ?

3. Pour deux nombres strictement positifs a=4a=4a=4 et b=9b=9b=9, quel ordre relie leur moyenne harmonique hhh, leur moyenne géométrique ggg et leur moyenne arithmétique mmm ?

4. On sait que ∣x−2∣≤0,1|x-2|\leq 0{,}1∣x−2∣≤0,1 et ∣y+3∣≤0,2|y+3|\leq 0{,}2∣y+3∣≤0,2. Quelle borne l’inégalité d’encadrement des produits donne-t-elle pour ∣xy−2(−3)∣|xy-2(-3)|∣xy−2(−3)∣ ?

5. Que signifie qu’un nombre est irrationnel ?

6. Pour tout entier naturel nnn, quelle valeur vaut E((n+n+1)2)E\big((\sqrt n+\sqrt{n+1})^2\big)E((n​+n+1​)2) ?

7. Quel est le rôle de l’inégalité de Young pour deux réels xxx et yyy ?

8. Pour deux réels strictement positifs distincts, quelle distinction entre les moyennes arithmétique et géométrique est correcte ?

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1. Pour $a=3$ , $b=-4$ , $x=2$ et $y=1$ , quelle borne l’inégalité de Cauchy–Schwarz donne-t-elle pour $|ax+by|$ ?

2. Pour quels couples de réels non négatifs $a,b$ a-t-on égalité dans $\sqrt{a+b}\leq\sqrt a+\sqrt b$ ?

3. Pour deux nombres strictement positifs $a=4$ et $b=9$ , quel ordre relie leur moyenne harmonique $h$ , leur moyenne géométrique $g$ et leur moyenne arithmétique $m$ ?

4. On sait que $|x-2|\leq 0{,}1$ et $|y+3|\leq 0{,}2$ . Quelle borne l’inégalité d’encadrement des produits donne-t-elle pour $|xy-2(-3)|$ ?

6. Pour tout entier naturel $n$ , quelle valeur vaut $E\big((\sqrt n+\sqrt{n+1})^2\big)$ ?

7. Quel est le rôle de l’inégalité de Young pour deux réels $x$ et $y$ ?