QCM : Outils mathématiques en électrostatique (34 questions)

Question 1

1. Pour représenter la direction et le sens d’un vecteur associé sans conserver sa longueur, quelle propriété doit avoir le vecteur utilisé ?

Avoir la même norme que le vecteur associé

Être perpendiculaire au vecteur associé

Avoir une norme égale à l’unité

Avoir une norme égale à zéro

Explication

Un vecteur unitaire a une norme égale à l’unité et indique la direction et le sens du vecteur associé. Une norme nulle annule le vecteur, la perpendicularité n’est pas la propriété définitoire, et une norme identique ne garantit pas l’unité.

Answer

Avoir une norme égale à l’unité

Question 2

2. Dans un modèle, la température est définie en chaque point d’une région de l’espace. Quelle nature de champ décrit cette grandeur ?

Un champ défini sur une surface

Un champ scalaire

Un champ vectoriel

Un vecteur isolé

Explication

Un champ scalaire associe un nombre à chaque point de l’espace, comme la température dans ce modèle. Un champ vectoriel associe un vecteur, un vecteur isolé n’est pas défini point par point, et la restriction à une surface ne découle pas de la définition.

Answer

Un champ scalaire

Question 3

3. En chaque point d’une région, un modèle attribue une flèche représentant à la fois une direction et un sens. Comment classer cette fonction ?

Un champ scalaire

Un champ vectoriel

Un champ de nombres

Un vecteur isolé

Explication

Un champ vectoriel associe un vecteur à chaque point de l’espace. Un champ scalaire et un champ de nombres attribuent des nombres, tandis qu’un vecteur isolé ne décrit pas l’ensemble des points.

Answer

Un champ vectoriel

Question 4

4. Deux vecteurs ont des normes de 3 et 5 et forment un angle de $60^\circ$ . Quelle valeur obtient-on pour leur produit scalaire ?

8

15

\frac{15}{2}

\frac{15\sqrt{3}}{2}

Explication

Le produit scalaire vaut le produit des normes multiplié par le cosinus de l’angle : $3\times5\times\cos(60^\circ)=15\times\frac{1}{2}=\frac{15}{2}$ . La valeur $15$ omet le cosinus, $\frac{15\sqrt{3}}{2}$ utilise le sinus et $8$ additionne les normes.

Answer

$$\frac{15}{2}$$

Question 5

5. Un arc de cercle de longueur $2\pi$ mètres est tracé sur un cercle de rayon $4$ mètres. Quelle mesure en radians correspond à l’angle plan associé ?

2\pi

radians

\frac{\pi}{2}

radians

\frac{\pi}{8}

radians

\frac{1}{2\pi}

radians

Explication

L’angle plan est le rapport de la longueur de l’arc au rayon : $\frac{2\pi}{4}=\frac{\pi}{2}$ radians. $\frac{1}{2\pi}$ inverse ce rapport, $\frac{\pi}{8}$ divise par le rayon au carré, et $2\pi$ reprend la longueur sans la rapporter au rayon.

Answer

$$\frac{\pi}{2}$$ radians

Question 6

6. Une calotte sphérique d’aire $12$ mètres carrés est délimitée sur une sphère de rayon $3$ mètres. Quelle est la mesure de l’angle solide correspondant ?

\frac{4}{9}

stéradians

4

stéradians

\frac{4}{3}

stéradians

\frac{3}{4}

stéradians

Explication

L’angle solide est le rapport de l’aire de la calotte au carré du rayon : $\frac{12}{3^2}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3}$ stéradians. $4$ divise par le rayon, $\frac{3}{4}$ inverse le rapport et $\frac{4}{9}$ ne correspond pas à l’aire rapportée au rayon au carré.

Answer

$$\frac{4}{3}$$ stéradians

Question 7

7. Pour une fonction de deux variables $f(x,y)=x^2y+3y$ , quelle expression donne sa différentielle ?

(2xy)\,dx+(x^2+3)\,dy

(2y)\,dx+(x^2+3)\,dy

(2xy+x^2+3)\,(dx+dy)

(x^2+3)\,dx+(2xy)\,dy

Explication

La différentielle est la somme de chaque dérivée partielle multipliée par la différentielle de sa variable : $df=f_x\,dx+f_y\,dy$ . Ici, $f_x=2xy$ et $f_y=x^2+3$ ; inverser ces coefficients ou omettre une contribution ne respecte pas cette règle.

Answer

$$(2xy)\,dx+(x^2+3)\,dy$$

Question 8

8. Un calcul porte successivement sur une variable le long d’une courbe, deux variables sur une surface, puis trois variables dans une région de l’espace. Quelle association entre intégrales et objets géométriques convient ?

Simple : curviligne; double : de surface; triple : de volume

Simple : curviligne; double : de volume; triple : de surface

Simple : de surface; double : de volume; triple : curviligne

Simple : de volume; double : curviligne; triple : de surface

Explication

Le nombre de variables intégrées correspond ici à la dimension de l’objet : une variable pour une intégrale curviligne, deux pour une intégrale de surface et trois pour une intégrale de volume. Les associations « double-volume » ou « simple-surface » confondent ces dimensions.

Answer

Simple : curviligne; double : de surface; triple : de volume

Question 9

9. Si $f$ et $g$ sont différentiables et qu’en un point leurs valeurs sont respectivement $2$ et $5$ , tandis que $df=3\,dx$ et $dg=4\,dx$ , quelle est la différentielle de leur produit en ce point ?

12\,dx

23\,dx

17\,dx

7\,dx

Explication

La règle du produit donne $d(fg)=f\,dg+g\,df$ ; ainsi $2(4\,dx)+5(3\,dx)=23\,dx$ . Le résultat $12\,dx$ correspond à la multiplication des différentielles, tandis que $7\,dx$ omet les facteurs $f$ et $g$ .

Answer

$$23\,dx$$

Question 10

10. Que désigne le développement limité d’ordre $n$ d’une fonction au voisinage de zéro ?

Le développement de Taylor-Young jusqu’à l’ordre

n

au voisinage d’un point quelconque

Un polynôme jusqu’à l’ordre

n

avec un reste constant non nul

Une série de Taylor infinie qui représente exactement la fonction

Le développement de Taylor-Young jusqu’à l’ordre

n

, avec un reste tendant vers zéro

Explication

Un développement limité d’ordre $n$ au voisinage de zéro est le développement de Taylor-Young tronqué à cet ordre, avec un reste qui tend vers zéro lorsque $x$ tend vers zéro. Une série infinie exacte, un reste constant ou un centre arbitraire ne correspond pas à cette définition.

Answer

Le développement de Taylor-Young jusqu’à l’ordre $$n$$, avec un reste tendant vers zéro

Question 11

11. Pour approcher $e^x$ près de zéro par un polynôme de degré deux, quelle expression faut-il retenir, avec un reste négligeable devant $x^2$ ?

1+x

1+x+x^2

1+x+\frac{x^2}{2}

1-x+\frac{x^2}{2}

Explication

Le développement limité de $e^x$ près de zéro commence par $1+x+\frac{x^2}{2!}$ , soit $1+x+\frac{x^2}{2}$ . L’expression $1+x$ néglige le terme quadratique, $x^2$ n’a pas son facteur $\frac{1}{2}$ et le terme linéaire de $e^x$ est positif.

Answer

$$1+x+\frac{x^2}{2}$$

Question 12

12. Pour calculer la circulation d’un champ vectoriel associé à un trajet donné, sur quel objet faut-il intégrer le champ ?

En un point choisi du trajet

À travers une surface orientée

Le long du contour suivi par le trajet

Dans le volume délimité par le trajet

Explication

La circulation est l’intégrale curviligne du champ le long du contour. L’intégration à travers une surface correspond au flux, tandis qu’une intégration volumique ou une évaluation ponctuelle ne décrit pas la circulation.

Answer

Le long du contour suivi par le trajet

Question 13

13. Un champ vectoriel traverse une surface orientée et l’on veut mesurer sa contribution normale à cette surface. Quelle opération définit le flux ?

Intégrer le produit vectoriel du champ par la normale sur la surface

Intégrer le champ le long du contour qui borde la surface

Intégrer le champ dans le volume situé derrière la surface

Intégrer le produit scalaire du champ par la normale unitaire sur la surface

Explication

Le flux à travers une surface orientée est l’intégrale de surface du produit scalaire du champ par le vecteur normal unitaire. Une intégrale le long du contour décrit une circulation, le produit vectoriel n’est pas la définition du flux, et l’intégrale volumique porte sur un autre objet.

Answer

Intégrer le produit scalaire du champ par la normale unitaire sur la surface

Question 14

14. Un déplacement infinitésimal en coordonnées cartésiennes comporte les variations $dx$ , $dy$ et $dz$ . Quelle expression donne son vecteur déplacement élémentaire ?

d\vec M=dx\vec e_x+dy\vec e_y

d\vec M=dx\,dy\,dz

d\vec M=dx\vec e_x+dy\vec e_y+dz\vec e_z

d\vec M=x\vec e_x+y\vec e_y+z\vec e_z

Explication

En coordonnées cartésiennes, le déplacement élémentaire est la somme des trois variations coordonnées, chacune portée par son vecteur de base. L’expression avec $x,y,z$ est le vecteur position, la formule à deux termes omet la direction z et le produit des différentielles est un élément de volume.

Answer

$$d\vec M=dx\vec e_x+dy\vec e_y+dz\vec e_z$$

Question 15

15. Pour un petit élément de volume décrit en coordonnées cylindriques par $d\rho$ , $d\theta$ et $dz$ , quel facteur géométrique faut-il inclure dans son élément de volume ?

d\tau=d\rho\,d\theta\,dz

d\tau=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz

d\tau=r^2\sin\theta\,d\rho\,d\theta\,dz

d\tau=\rho\,d\theta\,dz

Explication

L’élément de volume cylindrique comporte le facteur jacobien $\rho$ , d’où $d\tau=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$ . Sans ce facteur, on l’omet; $\rho\,d\theta\,dz$ correspond à la surface latérale, et le facteur en $r^2\sin\theta$ est sphérique.

Answer

$$d\tau=\rho\,d\rho\,d\theta\,dz$$

Question 16

16. En coordonnées sphériques, un point est décrit par $r$ , $\theta$ et $\varphi$ . Quelle expression donne son déplacement infinitésimal selon la composante angulaire $d\varphi$ ?

dr\,\vec e_r

r\,d\theta\,\vec e_\theta

r\sin\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi

r\,d\varphi\,\vec e_\varphi

Explication

En coordonnées sphériques, le déplacement associé à la variation azimutale $d\varphi$ vaut $r\sin\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi$ . La composante en $d\theta$ suit $\vec e_\theta$ , l’expression sans sinus omet le facteur géométrique et $dr\,\vec e_r$ est la composante radiale.

Answer

$$r\sin\theta\,d\varphi\,\vec e_\varphi$$

Question 17

17. Pour calculer le volume d’une petite région en coordonnées sphériques, quelle expression différentielle faut-il intégrer ?

d\tau=dr\,d\theta\,d\varphi

d\tau=r^2\sin\theta\,d\theta\,d\varphi

d\tau=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi

d\tau=r\,dr\,d\theta\,d\varphi

Explication

L’élément de volume sphérique est $r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$ . Sans le facteur jacobien, ce facteur sans $dr$ décrit la surface sphérique, tandis que $r$ seul est le facteur radial cylindrique.

Answer

$$d\tau=r^2\sin\theta\,dr\,d\theta\,d\varphi$$

Question 18

18. En coordonnées cartésiennes, quelle opération associe à un champ scalaire un champ vectoriel formé par ses dérivées partielles selon les axes ?

Le gradient

Le Laplacien

Le rotationnel

La divergence

Explication

Le gradient d’un champ scalaire est un champ vectoriel constitué de ses dérivées partielles dans les directions des axes. La divergence et le rotationnel s’appliquent à un champ vectoriel, tandis que le Laplacien est un scalaire pour un champ scalaire.

Answer

Le gradient

Question 19

19. Pour un potentiel scalaire $U(x,y,z)=x^2+3y+z^2$ , quelle expression donne sa différentielle au point considéré, en fonction des déplacements $dx,dy,dz$ ?

dU=2x\,dy+3\,dz+2z\,dx

dU=2x\,dx+3\,dy+2z\,dz

dU=2x+3+2z

dU=x\,dx+3\,dy+z\,dz

Explication

La différentielle vérifie $dU=\operatorname{grad}U\cdot d\vec M$ ; ici les dérivées partielles sont $2x$ , $3$ et $2z$ , associées respectivement à $dx$ , $dy$ et $dz$ . L’option avec $x$ et $z$ omet les facteurs issus de la dérivation, celle qui permute les déplacements associe les dérivées aux mauvais axes, et la dernière ne tient pas compte du déplacement.

Answer

$$dU=2x\,dx+3\,dy+2z\,dz$$

Question 20

20. Lorsqu’on calcule la divergence d’un champ vectoriel en coordonnées cartésiennes, quelle nature a le résultat ?

Un champ vectoriel

Un champ scalaire

Un champ scalaire issu d’un champ scalaire

Un champ tensoriel

Explication

La divergence additionne les dérivées partielles des composantes selon leurs axes respectifs et produit un scalaire. L’idée qu’elle donne un vecteur correspond au rotationnel; le champ d’entrée vectoriel ne fixe pas la nature du résultat.

Answer

Un champ scalaire

Question 21

21. Un champ scalaire $U(x,y,z)$ est étudié en un point où ses dérivées partielles secondes selon $x$ , $y$ et $z$ valent respectivement $4$ , $-1$ et $2$ . Quelle valeur prend son Laplacien en ce point ?

7

-8

4

5

Explication

Le Laplacien d’un champ scalaire est la somme de ses dérivées partielles secondes selon les trois axes : $4+(-1)+2=5$ . La valeur $7$ oublie le signe négatif, $4$ ne retient qu’un terme et $-8$ correspond à un produit erroné.

Answer

Le flux du rotationnel à travers la surface

Answer

Vers l’extérieur du volume

Answer

La somme n’est pas définie, car les tailles diffèrent

Answer

$$4 \times 5$$

Answer

Additionner les produits des éléments de la ligne i de A par les éléments correspondants de la colonne j de B

Answer

Il conserve son sens

Answer

Il devient son antisymétrique

Answer

Le plan de symétrie conserve les signes; le plan d’antisymétrie les échange

Answer

Il doit respecter les éléments de symétrie de la distribution.

Answer

Un élément de symétrie du système.

Answer

Être contenu dans le plan.

Answer

Être perpendiculaire au plan.

Answer

Choisir des coordonnées adaptées, réduire les variables, déterminer la direction, puis calculer.

Question 22

22. Un champ vectoriel est défini sur une surface bordée par un contour fermé orienté. Quelle quantité de surface permet de calculer sa circulation autour du contour avec le théorème de Stokes ?

Le flux du rotationnel à travers la surface

Le flux du champ à travers la surface

L’intégrale du rotationnel dans le volume

L’intégrale de la divergence dans le volume

Explication

Le théorème de Stokes égalise la circulation sur le contour à l’intégrale de surface du rotationnel projeté sur la normale. La divergence et l’intégrale de volume relèvent du théorème d’Ostrogradski, tandis que le flux du champ lui-même n’est pas la quantité de Stokes.

Question 23

23. Pour appliquer le théorème d’Ostrogradski à un volume fermé, dans quel sens faut-il orienter la normale à sa surface ?

Dans le sens direct associé au contour

Vers l’intérieur du volume

Le long du contour de la surface

Vers l’extérieur du volume

Explication

Dans le théorème d’Ostrogradski, la normale unitaire à la surface fermée est dirigée vers l’extérieur du volume. L’orientation associée au contour concerne Stokes, une normale intérieure inverse le sens demandé, et une tangente n’est pas une normale.

Question 24

24. On veut additionner une matrice de taille $2 \times 3$ et une matrice de taille $3 \times 2$ . Quelle conclusion s’applique ?

La somme n’est pas définie, car les tailles diffèrent

La somme est définie, car les colonnes de la première égalent les lignes de la seconde

La somme est définie, car les deux matrices ont six éléments

La somme est définie après permutation des lignes et des colonnes de la seconde

Explication

Une somme matricielle se calcule composante par composante et exige des matrices de même taille. Avoir le même nombre total d’éléments ou satisfaire la condition du produit ne suffit pas.

Question 25

25. Une matrice $A$ possède $4$ lignes et $2$ colonnes, tandis qu’une matrice $B$ possède $2$ lignes et $5$ colonnes. Quelle est la taille de $AB$ ?

4 \times 2

2 \times 2

2 \times 5

4 \times 5

Explication

Le nombre de colonnes de $A$ égale le nombre de lignes de $B$ , donc le produit existe; sa taille reprend les lignes de $A$ et les colonnes de $B$ . La taille $2 \times 2$ conserve à tort les dimensions communes, tandis que $4 \times 2$ et $2 \times 5$ reprennent les dimensions d’une seule matrice.

Question 26

26. Pour calculer l’élément de la ligne $i$ et de la colonne $j$ du produit $C=AB$ , quelle opération faut-il effectuer ?

Additionner les produits des éléments de la ligne i de A par les éléments correspondants de la colonne j de B

Additionner les produits des éléments de la colonne j de A par les éléments correspondants de la ligne i de B

Additionner les éléments de la ligne i de A et de la colonne j de B

Multiplier entre eux les éléments de même position de A et de B

Explication

Chaque composante du produit est le produit scalaire de la ligne correspondante de $A$ avec la colonne correspondante de $B$ , soit $c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj}$ . La multiplication terme à terme et l’addition directe ne suivent pas cette règle; l’option utilisant colonne et ligne inverse les indices.

Question 27

27. Lorsqu’un système est inversé par rapport à l’origine, comment se transforme un vecteur axial qui lui est associé ?

Il prend le sens opposé

Il devient le symétrique géométrique d’un miroir plan

Il perd sa direction et devient un scalaire

Il conserve son sens

Explication

Sous l’inversion par rapport à l’origine, un pseudo-vecteur, ou vecteur axial, est conservé. Le changement de sens caractérise le vecteur polaire; la transformation par un plan de symétrie relève d’une autre opération.

Question 28

28. Un vecteur axial est transformé par un plan de symétrie. Quel est son comportement ?

Il conserve son sens sans transformation

Il devient un vecteur nul dans le plan

Il devient son symétrique géométrique

Il devient son antisymétrique

Explication

Par un plan de symétrie, un pseudo-vecteur devient son antisymétrique, tandis qu’un vrai vecteur devient son symétrique géométrique. La conservation du vecteur axial concerne l’inversion par rapport à l’origine, et non la réflexion par un plan.

Question 29

29. Un plan miroir met en correspondance des charges situées de part et d’autre de lui. Quel critère distingue un plan de symétrie d’un plan d’antisymétrie pour ces charges ?

Les deux plans conservent les signes, mais déplacent les charges différemment

Le plan de symétrie échange les signes; le plan d’antisymétrie les conserve

Le plan de symétrie conserve les signes; le plan d’antisymétrie les échange

Les deux plans échangent les signes, mais déplacent les charges différemment

Explication

Un plan de symétrie met en correspondance des charges de même signe, alors qu’un plan d’antisymétrie échange les signes positif et négatif. Les autres réponses inversent cette distinction ou attribuent aux deux types de plans le même comportement des charges.

Question 30

30. Une distribution de charges est inchangée par réflexion dans un plan. En appliquant le principe de Curie, quelle propriété doit aussi présenter le champ électrostatique produit ?

Il doit respecter les éléments de symétrie de la distribution.

Il doit présenter une symétrie de révolution autour de la normale au plan.

Il doit être invariant par translation selon la normale au plan.

Il peut ne présenter aucun élément de symétrie commun avec la distribution.

Explication

Le principe de Curie impose que les éléments de symétrie des causes se retrouvent dans les effets qu’elles produisent. Une invariance par translation ou une symétrie de révolution ne découle pas de la seule réflexion considérée.

Question 31

31. Une opération géométrique transforme un système physique sans en modifier l’état. Comment appelle-t-on cette opération de symétrie ?

Une direction privilégiée du système.

Une dépendance spatiale du système.

Une transformation de l’effet du système.

Un élément de symétrie du système.

Explication

Un élément de symétrie est une opération de symétrie géométrique qui laisse le système physique invariant. Une transformation de l’effet ou une dépendance spatiale ne désigne pas cette opération.

Question 32

32. En un point situé dans un plan de symétrie du système, quelle orientation doit avoir un champ électrique, qui est un effet vectoriel ?

Être parallèle à l’axe normal au plan.

Être contenu dans l’intersection de deux plans d’antisymétrie.

Être contenu dans le plan.

Être perpendiculaire au plan.

Explication

Dans un plan de symétrie, un effet vectoriel est contenu dans ce plan. La perpendicularité caractérise ici un effet vectoriel sur un plan d’antisymétrie, tandis qu’un pseudovecteur suit une règle distincte.

Question 33

33. Un point appartient à un plan d’antisymétrie d’une distribution de charges. Quelle orientation le champ électrique doit-il avoir en ce point ?

Être parallèle à toute direction du plan.

Être contenu dans l’intersection de deux plans de symétrie.

Être perpendiculaire au plan.

Être contenu dans le plan.

Explication

Sur un plan d’antisymétrie, un effet vectoriel est perpendiculaire au plan. La règle d’un vecteur contenu dans le plan concerne un plan de symétrie, et la règle du pseudovecteur ne s’applique pas au champ électrique.

Question 34

34. Pour déterminer le champ électrostatique d’une distribution présentant des symétries, quelle démarche respecte l’ordre logique de l’étude ?

Choisir des coordonnées adaptées, réduire les variables, déterminer la direction, puis calculer.

Déterminer la direction, calculer le champ, réduire les variables, puis choisir les coordonnées.

Calculer le champ, déterminer sa direction, choisir les coordonnées, puis réduire les variables.

Réduire les variables, calculer le champ, choisir les coordonnées, puis déterminer sa direction.

Explication

L’étude commence par le choix de coordonnées adaptées, puis les symétries et le principe de Curie réduisent les variables; on détermine ensuite la direction du champ avant le calcul analytique. Calculer d’abord ou choisir les coordonnées après coup inverse cette démarche.

QCM : Outils mathématiques en électrostatique (34 questions)

Questions et réponses du QCM

1. Pour représenter la direction et le sens d’un vecteur associé sans conserver sa longueur, quelle propriété doit avoir le vecteur utilisé ?

2. Dans un modèle, la température est définie en chaque point d’une région de l’espace. Quelle nature de champ décrit cette grandeur ?

3. En chaque point d’une région, un modèle attribue une flèche représentant à la fois une direction et un sens. Comment classer cette fonction ?

4. Deux vecteurs ont des normes de 3 et 5 et forment un angle de 60∘60^\circ60∘. Quelle valeur obtient-on pour leur produit scalaire ?

5. Un arc de cercle de longueur 2π2\pi2π mètres est tracé sur un cercle de rayon 444 mètres. Quelle mesure en radians correspond à l’angle plan associé ?

6. Une calotte sphérique d’aire 121212 mètres carrés est délimitée sur une sphère de rayon 333 mètres. Quelle est la mesure de l’angle solide correspondant ?

7. Pour une fonction de deux variables f(x,y)=x2y+3yf(x,y)=x^2y+3yf(x,y)=x2y+3y, quelle expression donne sa différentielle ?

8. Un calcul porte successivement sur une variable le long d’une courbe, deux variables sur une surface, puis trois variables dans une région de l’espace. Quelle association entre intégrales et objets géométriques convient ?

9. Si fff et ggg sont différentiables et qu’en un point leurs valeurs sont respectivement 222 et 555, tandis que df=3 dxdf=3\,dxdf=3dx et dg=4 dxdg=4\,dxdg=4dx, quelle est la différentielle de leur produit en ce point ?

10. Que désigne le développement limité d’ordre nnn d’une fonction au voisinage de zéro ?

11. Pour approcher exe^xex près de zéro par un polynôme de degré deux, quelle expression faut-il retenir, avec un reste négligeable devant x2x^2x2 ?

12. Pour calculer la circulation d’un champ vectoriel associé à un trajet donné, sur quel objet faut-il intégrer le champ ?

13. Un champ vectoriel traverse une surface orientée et l’on veut mesurer sa contribution normale à cette surface. Quelle opération définit le flux ?

14. Un déplacement infinitésimal en coordonnées cartésiennes comporte les variations dxdxdx, dydydy et dzdzdz. Quelle expression donne son vecteur déplacement élémentaire ?

15. Pour un petit élément de volume décrit en coordonnées cylindriques par dρd\rhodρ, dθd\thetadθ et dzdzdz, quel facteur géométrique faut-il inclure dans son élément de volume ?

16. En coordonnées sphériques, un point est décrit par rrr, θ\thetaθ et φ\varphiφ. Quelle expression donne son déplacement infinitésimal selon la composante angulaire dφd\varphidφ ?

17. Pour calculer le volume d’une petite région en coordonnées sphériques, quelle expression différentielle faut-il intégrer ?

18. En coordonnées cartésiennes, quelle opération associe à un champ scalaire un champ vectoriel formé par ses dérivées partielles selon les axes ?

19. Pour un potentiel scalaire U(x,y,z)=x2+3y+z2U(x,y,z)=x^2+3y+z^2U(x,y,z)=x2+3y+z2, quelle expression donne sa différentielle au point considéré, en fonction des déplacements dx,dy,dzdx,dy,dzdx,dy,dz ?

20. Lorsqu’on calcule la divergence d’un champ vectoriel en coordonnées cartésiennes, quelle nature a le résultat ?

21. Un champ scalaire U(x,y,z)U(x,y,z)U(x,y,z) est étudié en un point où ses dérivées partielles secondes selon xxx, yyy et zzz valent respectivement 444, −1-1−1 et 222. Quelle valeur prend son Laplacien en ce point ?

22. Un champ vectoriel est défini sur une surface bordée par un contour fermé orienté. Quelle quantité de surface permet de calculer sa circulation autour du contour avec le théorème de Stokes ?

23. Pour appliquer le théorème d’Ostrogradski à un volume fermé, dans quel sens faut-il orienter la normale à sa surface ?

24. On veut additionner une matrice de taille 2×32 \times 32×3 et une matrice de taille 3×23 \times 23×2. Quelle conclusion s’applique ?

25. Une matrice AAA possède 444 lignes et 222 colonnes, tandis qu’une matrice BBB possède 222 lignes et 555 colonnes. Quelle est la taille de ABABAB ?

26. Pour calculer l’élément de la ligne iii et de la colonne jjj du produit C=ABC=ABC=AB, quelle opération faut-il effectuer ?

27. Lorsqu’un système est inversé par rapport à l’origine, comment se transforme un vecteur axial qui lui est associé ?

28. Un vecteur axial est transformé par un plan de symétrie. Quel est son comportement ?

29. Un plan miroir met en correspondance des charges situées de part et d’autre de lui. Quel critère distingue un plan de symétrie d’un plan d’antisymétrie pour ces charges ?

30. Une distribution de charges est inchangée par réflexion dans un plan. En appliquant le principe de Curie, quelle propriété doit aussi présenter le champ électrostatique produit ?

31. Une opération géométrique transforme un système physique sans en modifier l’état. Comment appelle-t-on cette opération de symétrie ?

32. En un point situé dans un plan de symétrie du système, quelle orientation doit avoir un champ électrique, qui est un effet vectoriel ?

33. Un point appartient à un plan d’antisymétrie d’une distribution de charges. Quelle orientation le champ électrique doit-il avoir en ce point ?

34. Pour déterminer le champ électrostatique d’une distribution présentant des symétries, quelle démarche respecte l’ordre logique de l’étude ?

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4. Deux vecteurs ont des normes de 3 et 5 et forment un angle de $60^\circ$ . Quelle valeur obtient-on pour leur produit scalaire ?

5. Un arc de cercle de longueur $2\pi$ mètres est tracé sur un cercle de rayon $4$ mètres. Quelle mesure en radians correspond à l’angle plan associé ?

6. Une calotte sphérique d’aire $12$ mètres carrés est délimitée sur une sphère de rayon $3$ mètres. Quelle est la mesure de l’angle solide correspondant ?

7. Pour une fonction de deux variables $f(x,y)=x^2y+3y$ , quelle expression donne sa différentielle ?

9. Si $f$ et $g$ sont différentiables et qu’en un point leurs valeurs sont respectivement $2$ et $5$ , tandis que $df=3\,dx$ et $dg=4\,dx$ , quelle est la différentielle de leur produit en ce point ?

10. Que désigne le développement limité d’ordre $n$ d’une fonction au voisinage de zéro ?

11. Pour approcher $e^x$ près de zéro par un polynôme de degré deux, quelle expression faut-il retenir, avec un reste négligeable devant $x^2$ ?

14. Un déplacement infinitésimal en coordonnées cartésiennes comporte les variations $dx$ , $dy$ et $dz$ . Quelle expression donne son vecteur déplacement élémentaire ?

15. Pour un petit élément de volume décrit en coordonnées cylindriques par $d\rho$ , $d\theta$ et $dz$ , quel facteur géométrique faut-il inclure dans son élément de volume ?

16. En coordonnées sphériques, un point est décrit par $r$ , $\theta$ et $\varphi$ . Quelle expression donne son déplacement infinitésimal selon la composante angulaire $d\varphi$ ?

19. Pour un potentiel scalaire $U(x,y,z)=x^2+3y+z^2$ , quelle expression donne sa différentielle au point considéré, en fonction des déplacements $dx,dy,dz$ ?

21. Un champ scalaire $U(x,y,z)$ est étudié en un point où ses dérivées partielles secondes selon $x$ , $y$ et $z$ valent respectivement $4$ , $-1$ et $2$ . Quelle valeur prend son Laplacien en ce point ?

24. On veut additionner une matrice de taille $2 \times 3$ et une matrice de taille $3 \times 2$ . Quelle conclusion s’applique ?

25. Une matrice $A$ possède $4$ lignes et $2$ colonnes, tandis qu’une matrice $B$ possède $2$ lignes et $5$ colonnes. Quelle est la taille de $AB$ ?

26. Pour calculer l’élément de la ligne $i$ et de la colonne $j$ du produit $C=AB$ , quelle opération faut-il effectuer ?